2012广东高考数学理科试题及答案(word版)

2012广东高考数学理科试题及答案(word版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设i为虚数单位，则复数

5 6ii

A．6 5i B．6 5i C． 6 5i D． 6 5i 2. 设集合U 1,2,3,4,5,6 ,M 1,2,4 ，则CUM

A．U B． 1,3,5 C． 3,5,6 D． 2,4,6

3. 若向量BA (2,3),CA (4,7)，则BC

A．( 2, 4) B．(2,4) C．(6,10) D．( 6, 10) 4. 下列函数中，在区间(0, )上为增函数的是

1 1

．y D．y x

x 2

x

A．y ln(x 2) B

．y y 2

5. 已知变量x,y满足约束条件 x y 1，则z 3x y的最大值为

x y 1

A．12 B．11 C．3 D． 1 6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为

A．12 B．45 C．57 D．81

7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为

0的概率是

A．C．

4929

B． D．

1319

α ββ β

8. 对任意两个非零向量α,β，定义α β=a,b的夹角 (0,,若向量a,b满足|a| |b| 0，

4

)，

且a b和b a都在集合

n

|n Z 中，则a b=

2

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A．

12

B．1 C．

32

D．

52

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 （一）必做题（9~13题）

9. 不等式|x 2| |x| 1的解集为 。

1x

10. (x2

（用数)的展开式中x的系数为63

字作答）

11. 已知递增的等差数列 an 满足a1 1,a3 a22 4，则

an

12. 曲线y x3 x 3在点(1,3)处的切线方程

为 。

13. 执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为 。

（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）

14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2参数方程分别

为

x x t

t为参数

)和

y y

( 为参数)，则曲线C1和C2

的交点坐标为 。

15. （几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，A,B,C为圆

周上的三点，满足 ABC 30 ，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA 。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. （本小题满分12分）

已知函数f(x) 2cos( x

6

)（其中 0,x R）的最小正周期为10

1）求 的值；

5 65 16

) ,f(5 ) 2）设 , [0,],f(5 ，求cos( )的值。

2

3

5

6

17

2012广东高考数学理科试题及答案(word版)

某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：

40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 。

1）求图中x的值；

2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为 ，求 的数学期望。

18. （本小题满分13分）

如图5，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，

PA 平面ABCD，点E在线段PC上，PC 平面BDE

（1）证明：BD 平面PAC

（2）若PA 1,AD 2，求二面角B PC A的正切值。 19．（本小题满分14分）

n 1*

设数列 an 的前n项和为Sn，满足2Sn an 1 2 1,n N，且a1,a2 5,a3成等差数列。

（1）求a1的值；

（2）求数列 an 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有

1a1

1a2

1an

32

。

2012广东高考数学理科试题及答案(word版)

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:

C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.

xa

22

yb

22

1(a b

0)的离心率为e

且椭圆

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点M(m,n)，使得直线l:mx ny 1与圆O:x2 y2 1相交于不同的两点A,B，且 AOB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的 AOB的面积；若不存在，请说明理由。

21.（本小题满分14分）

设a 1，集合A x R|x 0 ,B x R|2x2 3(1 a)x 6ax 0 ，D A B （1）求集合D（用区间表示）；

（2）求函数f(x) 2x3 3(1 a)x2 6ax在D内的极值点。

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数学（理科）参考答案：

1—8: DCAAB CDB

注：第8题解析：

因为a b

n2

a bb b

|a||b|

cos cos

2

，b a

b aa a

|b||a|

cos cos 1

且a b和b a都在集合{

|b||a|

|n Z}中，

所以，b a cos

12

，

|b||a|

12cos

，所以a b

|a||b|

cos 2cos 2

2

2

a b 2，故有a b 1

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9. ( ,]（写成集合形式也给分 x|x

21

1

） 10. 20 11. 2n 1 2

12. 2x y 1 0 13. 8 14. (1,1)

第9题注解：

|x 2| |x| 1 |x-(-2)|-|x-0| 1 即数轴上到-2的点与到0点距离只差小于1的点的集合。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. （本小题满分12分）

已知函数f(x) 2cos( x （1）求 的值； （2）设 , [0, 解：（1）由题意

2

6

)（其中 0,x R）的最小正周期为10

2

],f(5

5 3

) 15

65

,f(5

5 6

)

1617

，求cos( )的值。

10 ，解得 。

3 64

sin 2cos( ) cos 2555

（2）由题 ，即 ，又 , [0,]，可得 ，

2 2cos 16 sin 15 cos 8

171717

所以cos( ) cos cos sin sin

45

817

35

1517

1385

。

17. （本小题满分13分）

某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：

40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 。

（1）求图中x的值；

（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为 ，求 的数学期望。

解：（1）由题意：(0.054 0.01 0.006 3 x) 10 1，解得x 0.018；

（2）80~90分有50 0.01 850 0.00 61 0人。

所有可能的取值为

0, 1, 2

1 0人；90~100分有

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P( 0)

C9C

2

212

12221222

; P( 1)

922

C9C3C

212

11

922

; P( 0)

C3C

2

212

122

故 E 0 1 2

122

12

。

18. （本小题满分13分）

如图5，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，

PA 平面ABCD，点E在线段PC上，PC 平面BDE

（1）证明：BD 平面PAC

（2）若PA 1,AD 2，求二面角B PC A的正切值。

（1）证明：∵PA 平面ABCD，∴PA BD；∵PC 平面BDE，∴PC BD。

又PA PC P，∴BD 平面PAC。

（2）解：设AC,BD交于O，连结OE，由题PC BE, PC OE，所以 BEO即为二面角

B PC A的平面角。

由（1）知，BD AC，所以四边形ABCD为正方形，

易得OC

12AC

PC

3。

由（1）知 OEC PAC 90 又 OCE PCA，有 OEC PAC， 故

OEPA

OCPC

，OE PA

OCPC

3

。在Rt BOE中，tan BEO

OBOE

3。

所以二面角B PC A的正切值为3 19．（本小题满分14分）

n 1*

设数列 an 的前n项和为Sn，满足2Sn an 1 2 1,n N，且a1,a2 5,a3成等差数列。

（1）求a1的值；

（2）求数列 an 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有

1a1

1a2

1an

32

。

2a1 a2 22 1 a1 1 3

a

1. 解：（1）由题 2(a1 a2) a3 2 1，解得 a2 5

，故1

2(a 5) a a a 19

213 3

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（2）当n 1时，a1 1

；

当n 2时，2Sn an 1 2n 1 1 ① 2Sn 1 an 2n 1 ② 由①-②得： 2an an 1 an 2n，整理得3an an 1 2n, 故

3

为公比为的等比数列， 1(n 2) n

2 2

an 12

n 1

1

3an

(n 1)， 22

an

首项为

n

a22

2

1

n

94

，故

an2

n

1

9

3n 23n () ()， 422

an 3 2，经验证当n 1时，a1 1 3 2

综上an 3n 2n(n N*)。 （3）当n 3时

an 3 2 (1 2) 2 1 Cn 2 Cn 2 Cn 1 Cn 2 Cn 2 Cn

1

2

2

n 1

n

n

n

n

1

2

2

n 1

2

n 1

2 2

nn

2

n 1

Cn 2 2n(n 1)

22

又因为a2 5 2 2 (2 1)，所以，an 2n(n 1),n 2。 所以，

1an1a1

12n(n 1)1a2

1a3

1(1

1n)

2n 11an

所以， 1

12

(1

12

13

14

1n 1

1n

) 1

12

(1

1n

)

32

.

20. （本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:

到Q(0,2)的距离的最大值为3. （1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点M(m,n)，使得直线l:mx ny 1与圆O:x y 1相交于不同

的两点A,B，且 AOB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的 AOB的面积；若不存在，请说明理由。 解：（1

）由e

ca

c

2

2

2

xa

22

yb

22

1(a b

0)的离心率为e

且椭圆C上的点

23

a，所以b2 a2 c2

2

13

a

2

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设P(x,y)是椭圆C上任意一点，则

xa

22

yb

22

1，所以x a(1

22

yb

22

22

) a

3y

|PQ|

3

y

3

)

①

当

3

a 1

3

a，即a y 1时，|PQ

| 3，

可得a

3

b 1,c

3

②当

1，即0 a

y 时，|PQ

| 3，可得

a

所以b 1,c 故椭圆C的方程为：

x

2

3n

2

y

2

2

1.

（2）因为M(m,n)在椭圆C上，所以

m3

2

2

1，m 3

2

32

n

2

mx ny 1设A(x1,y1)，B(x2,y2)由 2，得(m2 n2)x2 2mx 1 n2 0 2，

x y 1

所以， 4m 4(m n)(1 n) 4n(m n 1) 4n(2

2mm n

2

2

22222222

12

n) 0，可得n 4

22

并且：x1 x2 ，x1x2

1 n

2

22

m n

1 mx11 mx21 m(x1 x2) mx1x21 m

所以，y1y2

222

nnnm n

22

所以，|AB|

（

亦可|AB|

，其中d为圆心到直线

mx ny 1的距离）

设点O到直线AB的距离为h

，则h

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所以S OAB 设t

1m n

2

12

2

|AB| h

1

12

n (1,3)，所以，t

(,1) 23

，由0 n2 4，得m2 n2 3

1

S OAB

12

t (,1)

312

所以，当t

时，S OAB面积最大，最大为

。

此时，M(0, 21.（本小题满分14分）

设a 1，集合A x R|x 0 ,B x R|2x2 3(1 a)x 6ax 0 ，D A B （1）求集合D（用区间表示）；

（2）求函数f(x) 2x3 3(1 a)x2 6ax在D内的极值点。 解：（1）对于方程2x2 3(1 a)x 6a 0

判别式 9(1 a)2 48a 3(a 3)(3a 1) 因为a 1，所以a 3 0 ① 当

13

a 1时， 0，此时B R，所以D (0, )； 13

② 当a 当a

13

时， 0，此时B {x|x 1}，所以D (0,1) (1, )；

2

时， 0，设方程2x 3(1 a)x 6a 0的两根为x1,x2且x1 x2，则

x1

4

，x2

4

B {x|x x1或x x2}

③ 当0 a

13

时，x1 x2

32

(1 a) 0，x1x2 3a 0，所以x1 0,x2 0

此时，D (x,x1)

(x2, )

4

4

)

④ 当a 0时，x1x2 3a 0，所以x1 0,x2 0

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此时，D (x2, ) 4

)

（2）f (x) 6x2 6(1 a)x 6a 6(x 1)(x a)，a 1

所以函数f(x)在区间[a,1]上为减函数，在区间( ,a]和[1, )上为增函数 ① 当

13

a 1时，因为D ，所以f(x)在D内没有极值点； 13

② 当a 时，D (0,1) (1, )，所以f(x)在D内有极大值点a

13

13

；

③ 当0 a 时，

4

4

D )

由0 a

13

，很容易得到

4

4

a 1

（可以用作差法，也可以用分析法） 所以，f(x)在D内有极大值点a； ④ 当a 0时，

4

D )

由a

04

1

此时，f(x)在D内没有极值点。 综上所述：

当0 a 当

13

13

时，f(x)在D内有极大值点a。

a 1或a 0时，f(x)在D内没有极值点。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lfa4.html