高数复习题2008.6

2007—2008学年度《高等数学》（2）期末考试复习大纲

一．函数的定义域、极限和连续（连续的定义）；

1．函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的：

(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；

(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件． 答（D） 2．证明极限limx2yx?04y?0x?y3不存在．

2[证明]：取不同的直线路径y=kx limxkxx?0?kx?0x4?k3x3?1k2 沿不同的路径极限不同，故由定义

y二重极限不存在．

二．直线与平面的位置关系，空间曲线的切线，空间曲面的切平面； 1．在椭圆抛物面z?x2?2y2上求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线

?2x?y?0? ?y?3z?0解：切平面法向量：n={2x,4y，－1}直线方向向量：s={3,-6,2} n//s， 所求切点：（-3/4,3/4,27/16） 2． 求曲线x?tt = 1 时1 x = 1/2 , y = 2 , z = 1

?t,y?1?t2t,z?t在t = 1处的切线及法平面方程．

解：dx?1dzdtt?1?1?t?2?1,dy??1dtt?1?2

t?14dtt?1t2??1,?2tt?1t?1切线方程：

x?12?y?214?1?z?12

法平面方程：1??x?1?42???y?2??2?z?1??0

3． 求曲面x 2

?－ 2 y ?2 +2 z 2 = 1上过点（1,1,1）的切平面方程． 解：F= x 2 －2 y 2 +2 z 2 – 1 Fx=2x Fy=－4y Fz=4z 切平面方程为：2（x – 1）－4 ( y - 1) + 4 (z - 1) = 0 4．求曲面x2+4y-z2+5=0 垂直于直线x?1?1解：设F(x,y,z)=x2

+4y-z2

+5 2?y2?z的切平面方程．

Fx=2x, Fy=4, Fz=-2z

2x2?42??2z1解得切点：x0=2 y0=-2 z0=-1

切平面 2x+2y+z+1=0

5．求曲面2y3?2xyz?yz2?2在点(?2,1,?4)处的切平面和法线方程 ． 对应的切平面法向量

? n ???8,6,4???2?4,?3,?2? 切平面方程 4(x?2)?3(y?1)?2(z?4)?0 或4x?3y?2z?3?0 法线方程

x?24?y?1?3?z?4?2

??6．求正数?，使曲面xyz与椭球面

xa22?yb22?zc22?1在某点有相同的切平面，并写出切

点的坐标(a?0,b?0,c?0)． 解：设在点(x0,y0,z0)处相切 则

ay0z0x022?20bx0z0y022?cx0y0z0202?t

22即 a??xt,b??yt,由此 3??t

及 a2b2c2?3?x02y02z02t3??2t3 ?2?abc27222c??z0t5

?27?

，故

??abc33

相应点是

?abc??,,???,33??3?abc???,,????,333???abc? ??,?,???333???abc? ?,?,????33??3

三．方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数求导和全微分 1． 点．

解：Gradu={2x,2y,4z} ;方向导数为：

?2,2,4?????1?1?1??8,,??33?3?3求函数u?x?y?2z222在点P0(1,1,1)处沿P0O方向的方向导数，其中O为坐标原

??4,?3?方向的方向导数．

2．求函数u?x?y22在（1，1）点沿??u114解：??2,?2???4,?3???l(1,1)55

3． 求u?xy?z3?xyz在点P（1,2,3）沿分别与坐标轴正向成30○ ，45○，60○角的方向上的方向导数． 解：

?u?z?1,2,3???u?x?1,2,3???y?yz??1,2,3???4,2?u?y?1,2,3???x?xz??1,2,3???2

?3z?xy????1,2,3??25

?2224．函数z?z(x,y)由方程F(x?yz,y?xz)?1所确定，其中F-4cos30-2cos45?25cos60??4?3?2?2?25?1?12.5?23?2

具有一阶连续偏导数，求dz．

解：dz?zxdx?zydy其中zx??F1?1?F2?zF1?y?F2?xzy??F1?z?F2?1F1?y?F2?x5．设z=(1+xy)x ,求dz 解：

dz??z?xdx??z?ydy,先求?z?x令lnz?xln(1?xy)

xy?x???1?xy??ln?1?xy????x1?xy???z

?z?y?x?1?xy?2x?1

?2x?1dx?x(1?xy)dy??6．求函数 u=exyz 在点P0(1,0,-1)沿P0P1方向的方向导数．其中P1的坐标为(2,1,-1)． 解：

因l??P0P1??2?1,1?0,?1?(?1)??{1,1,0}

故cos??gradup0xx?故dz?(1?xy)?ln(1?xy)?1?xy?

12,cos??xyz12,cos??0

xyz?yze?,xzexyz,xye?p0??0,?1,0?

方向导数?u?lp012?1???0,?1,0???,,0???22??2

?x?0 设u=f 7．(x,y,z),而?(x2，ey，z)=0，y=simx 其中f , 且???具有一阶连续偏导数，求du． 解： 由已知

?12x??2ecosx??3??ydx?dzdx?0

??y??12x??2e.cosx??dx?dz3

?z?z,?x?ydu???dz?f1?f2cosx?f3dxdx =

??y??2x??e.cosx12???f1?f2cosx?f3??38．设z=z(x , y)由z?x??e?t解：

0xy2dt确定，求．

z??z?x?xy02e2?t2dt?x

?z?y?e?xy22?e?xyy?1x

9．求函数u??x?t?2222在该点切线方向的方向导数． x?2y?3z在点(1,1,4)处沿曲线?y?t?z?3t3?1?解：在点(1,1,4)处对应的t0= 1，切线方向向量｛1,2t,9t2｝t=1=｛1,2,9｝ cos?=186 cos?=286 cos?=986

?u?x?u?y|(1,1,4)?|(1,1,4)?xx?2y?3z2y222|(1,1,4)?2151251

1251x?2y?3z22|(1,1,4)?2?u?z|(1,1,4)?3zx2?2y2?3z|(1,1,4)?1251

?u?l?151??y2186?251?286??986?1134386四．条件极值； 1．在圆x2?1的x?0,y?0部分上找点

0P，使其到点M(2,1)的距离为最小．

2解：设所求点 P?x22,y0?满足：d222?(x?2)?(y?1)2 最小，条件极值由拉格朗日乘数法设：

F?(x?2)?(y?1)??(x?y?1)Fx?2(x?2)?2?x?0Fy?2(y?1)?2?y?0x?y22

?1解出：

??5?1,x0?255y0?55x?2y?5

的距离．设线

2．利用多元函数求极值的方法，求点P（1，2，-1）到直线??上一点为?x,y,z?，d2??x?1?2??y?2?2??z?1?2

令F=?x?1?2??y?2?2??z?1?2???x?2y?5??u?2x?y?3z?4?

?Fx?2(x?1)???2??0??xF?2(y?2)?2????0?y??的唯一解F?2(z?1)?3??0?z?y?x?2y?5?z????2x?y?3z?4?2x?y?3z?4?2??3212

故d?7

23．利用拉格朗日乘数法，求椭圆抛物面z=x2+2y2到平面x+2y-3z=2的最短距离． 解：点到平面的距离

d?Ax?By?Cz?DA?B?C222?x?2y?3z?21?4?92

22取目标函数u??x?2y?3z?2? 条件函数：x2?2y2?z?0

构造F(x,y,z)?(x?2y?3z?2)???x?2y?z?2?Fx?2(x?2y?3z?2)?2?x?0??Fy?4(x?2y?3z?2)?4?x?0??Fz??6(x?2y?3z?2)???022?x?2y?z?0?11解出驻点：??,,1???6612?最短距离d?

1/6?2/6?1/4?214?148

五．二重积分的计算（直角坐标和极坐标）； 1．设解:

f(x,y)是连续函数，改变二次积分

?0?adx?a?xf(x,y)dy??a0dx?a2xf(x,y)dy的顺序.

?0?adx?a?xf(x,y)dy??1a0dx?2?xa2xf(x,y)dy＝?dy?0?yyayf(x,y)dx

2．更换积分次序：?dx?f?x,y?dy?2x2??dy?f?x,y?dx??dy?f?x,y?dx

0?y1?y142?y3．计算二次积分?dx?sin1x?132ydy2

解： D：1≤x≤3 x-1≤y≤2

改变积分顺序，得：0≤y≤2, 1≤x≤y+1

I??2y?120dy?1sinydx??2)siny20{(y?1?siny2}dy??2ysiny20dy、

??1222siny0?12(1?cos4)4． 计算 I=??xydxdyD：y = x +1, y = x/2 , y = 0, y = 1 所围成 ．

D2y解：I=11?dy?xydx?13?2y2?y?dy?11

0y?12??3y0245． 利用二重积分求不等式r≤2cos?, r≤1所表达的区域的面积． 解法一：利用直角坐标

3??dxdy??2dy?y23321?(1?y2dx??3[21?y2]dy?[y1?y2?arcsiny?y]?2)?2D?3?12?323??3解法二：利用极

2坐标

2????rdrd??2[?3d?1???223

0?0rdr??2?d??2cos0rdr?2(?D36?2?2?cos?d?)?33??26． 计算二重积分???x?y?dxdy 其中Ｄ：x2+y2≤1．

D?解：原积分＝

21??xdxdy???ydxdy?8?cos?d??r2dr?8

DC0037．利用极坐标计算

R2yR?x2R?y22?0e?y2dy?e0dx??R2e?y2dy?e0?x2dx

解：

y R2yR?x2R?y22 ?0e?y2dy?e0dx??R2e?y2dy?e0?x2dx

?R2?2R?r2x ???d??e04rdr????1?e8

六．第一类曲线积分，第二类曲线积分，积分与路径无关； 1．计算曲线积分???0L(x?y)dx?2xydy22．式中L由极坐标方程r?2?sin?所表示的曲线上从

到????2的一段．

?2y

1解：?Q?x?P?y0积分与路径无关，选择沿坐标轴由点(2,0)到(0,1)

??83 原积分＝?x2dx??0dy20

2．设u?u(x,与?L?u?x22y),v?v(x,y)都是具有二阶连续偏导数的二元函数，且使曲线积分?Ludx?vdy1vdx?udy2都与积分路径无关．试证：对于函数

?v?x22u?u(x,y),v?v(x,y)，恒有

??u?y22?0,??v?y22?0．

22解：由积分与路径无关?u?v知：??y?x?u?x?－?v?y于是有?u?x2???v?y?x ?u?y22??v?x?y2由v?v(x,y)具有二阶连续偏导则两2种二阶混合偏导相等，

故代入有?u?x2??u?y22?0同理有：?v?x22??v?y22?03．计算积分

点A(π，0)的弧段．

式中L是从点O(0，0)沿曲线y=sinx到

七．第一类曲面积分，第二类曲面积分，高斯公式； 1．设空间?区域由曲面z?a2?x?y22和平面z?0所围，?为?的表面外侧，求：

??x?2yzdydz?xyzdzdx?z(1?xyz)dxdy222

解：原积分＝

2?aa?r22???(1?2xyz)dvv3??d??rdr?(1?2r0032cos?sin?z)dz?a?24

?y?z?1422032．计算??x?dydz?ydzdx?zdxdy，其中?为球面x2?y?z22?1的外侧．

解：由高斯公式，原积分＝???3?x2v?dv2??3?d??d??rsin?dr?00012?5

3．计算其中∑是z=1－x2－y2在xoy面上方的部分曲面的上侧．

解：补一平面块∑1：z=0,x2+y2≤1，取下侧，

∑和∑1围成立体Ω，由高斯公式

4． 计算

I＝??zdxdy??xdydz?ydzdx ∑：是柱面x2 + y2 = 1被平面z=0,z=3所截得的在

?2第一卦限的部分的前侧． 解：I=?dy?00131321?ydz?2?dx?1?xdz?2?300?cos?d??023?2

八．常数项级数的收敛性，绝对收敛和条件收敛 九．幂级数的收敛域与和函数 1．试求幂函数?(?1)1?n?12nx2n?1的收敛域及和函数．

x=1与x=-1时数项级数一般项不趋于0，故皆发散，收敛

?n?1(2n?1)2解：??limun?1(x)un(x)n???x?1收敛

区间为(-1,1)．设和函数S(x)= ?(?1)12nx2n?1

(2n?1)x?S(x)dx????1?01?n?1x2n2n?1?x???1?1?n?1x2n?12n?1?xS1

S1????1?2n?1??x???1?n?1??2n?1????n?12n?2???1?x1??11?x2,S1?arctanx

??x?x?S(x)???S(x)dx???xarctanx??arctanx?21?x?0?

2． 求幂级数?1?n2n!xn的收敛区间及和函数．

解：?＝lim?an?1ann2n???0?R??n(n?1)!?收敛区间(??,??)设　S?x?1?n!x1n?x?1nxn?1?xS1xn?1

x?S1dx?0?1(n?1)!xx?x?11(n?1)!x?xeS1?(1?x)eS?x(1?x)e??3．求幂级数

?n?1(x?1)nn的收敛区间与和函数．

解：R?1，收敛区间为[0,2)

设

??s(t)??n?1?tn，则

?ns?(t)??n?1n?1t?1?t1,s(t?)?．ln?(t1故)???(x?1)nn的和函数为

． s(x)??ln(?2x4．求幂级数?n?1n?1xn?1n的收敛区间与和函数．

?n3解：收敛区间为[?3,3)．设?n?1?xn?1nn3?s(x)，

(xs(x))???(n3n?1xnn?)???n?1xn?1n3?ln31?x?xln(3?x)1．故s(x)???13?x?3?x?0x?0．

5．求幂级数解：liman?1ann???1?n?2?lnnn当x的收敛域．

nx=1时，是绝对收敛还是条件收敛？并给出证明．

n???limln(n?1)n?1n???nlnn?1

收敛半径R＝1

当x=1时 令 f?x??lnxx，f??x??1?lnx

x2当 x?e时，f??x??0 f?x?单调减

当 n?3 an?f?n??f?n?1??an?1 又 lim故?n?3?n??an?limlnnnn???0

??1?nlnnn为莱布尼兹级数收敛，从而原级数收敛．

?2一般项加绝对值后，当n?时， lnnn?ln2n，

故 ?lnn 发散． 故原级数条件收敛．

当x= -1时即?lnn由上面讨论知发散． 收敛区间(-1,1]

n?1?n?1nn

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