圆锥曲线重要结论

圆锥曲线中的重要性质经典精讲上

性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆

双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为2b)

x2y2??1上，F1,F2为椭圆之左右焦点，点G为△F1PF2内心，试1．已知动点P在椭圆43求点G的轨迹方程.

x2y2??1上，F1,F2为双曲线之左右焦点，圆G是△F1PF2的内2．已知动点P在双曲线

43切圆，探究圆G是否过定点，并证明之.

性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。

椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数

112?? |AF1||BF1|ep双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB在同支时

112112?? AB在异支时|?|? |AF1||BF1|ep|AF1||BF1|ep112?? |AF||BF|ep抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数

x2y2??1，F为椭圆之左焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点，是否存在 3.已知椭圆43实常数?，使AB??FA?FB恒成立.并由此求∣AB∣的最小值.

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性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数

112?e2椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ??|AB||CD|2ep11|2?e2|双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ??|AB||CD|2ep112?e2抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ??|AB||CD|2epx2y2??1，F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线l1,l2分别交椭圆于A，B两4． 已知椭圆43点和C，D两点，且l1?l2，是否存在实常数?，使AB?CD??AB?CD恒成立.并由此求四边形ABCD面积的最小值.

性质四：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值

x2y2??1，点F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线l1分别交椭圆于A，B两点，5．已知椭圆84设直线AB与y轴于点M，MA??AF1,MB??BF1,试求???的值.

性质五：椭圆、双曲线的焦半径向量模的比之和为定值

过椭圆或双曲线上任点A作两焦点的焦点弦AB，AC，其共线向量比之和为定值．即

AF1??F1B1?e2AF2??F2C????2?定值 21?ex2y26．已知方向向量为e?(1,3)的直线l过点A(0,?23)和椭圆C:2?2?1(a?b?0)ab的焦点，且椭圆C的中心O和椭圆的右准线上的点B满足：OB?e?0,AB?AO.

⑴求椭圆C的方程；

⑵设E为椭圆C上任一点，过焦点F1,F2的弦分别为ES,ET,设

EF1??1F1S,EF2??2F2T，求?1??2的值.

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圆锥曲线中的重要性质经典精讲中

?a2?性质一：过圆锥曲线焦点所在轴上任意一点N（t,0）的一条弦端点与对应点??t,0??的连线

??所成角被对称轴平分。

x2y2??1，点F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线l1分别交椭圆于A，B两点，1. 已知椭圆84问是否在x轴上存在一点P，使得斜率kPA?kPB?0.

x2y2??1，过N(t,0)点的直线l1交双曲线于A，B两点，问是否在x轴上2.已知双曲线

31存在一点P，使得斜率kPA?kPB?0.

3.抛物线y?4x，直线l过点P(t,0)并交抛物线于A,B两点，点A关于x轴的对称点A’,则点A，B，P’(-t,0)三点共线。

性质二：过圆锥曲线上一定点作倾角互补的两直线与曲线的另两交点的连线的倾角为定值

4. 过点P(1,2)作抛物线y?4x的直线PA、PB，且斜率kPB+kPA?0. （1）探究直线AB的斜率是否为定值.

（2）试研究三角形PAB的面积是否有最大值.

性质三：椭圆的弦的斜率与其中点和椭圆中心连线的斜率积为定值KPA?KPB22b2??2

ab2?2 a双曲线的弦的斜率与其中点和双曲线中心连线的斜率积为定值KPA?KPB椭圆上动点对直径端点的斜率积为定值KPA?KPBb2??2

ab2?2 a双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值KPA?KPB

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x2y2??1的动弦AB的中点为M，试研究斜率kABkOM是否为定值（O为原点）5.已知椭圆。 846.已知定点A(?3,0),B(3,0)，动点P满足，直线PA，PB的斜率kPA?kPB??1，试探求点2P的轨迹.

x2y231??7．已知椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为，且过点?3,?。

22?ab?（1）求椭圆C的方徎;

（2）设椭圆的左右顶点分别为A、B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线L :x?34分别交于M，N两点，求线段MN长度的最小值。 15（法1：设直线AS：x=my-2,得点S纵坐标与m的关系，同理设BS： x=ny+2得点S纵坐标与n的关系，进而易得mn=-4，成为MN最值分析的条件。 法2，直接使用上述结果可得斜率之积为定值KPA?KPB得关健条件，后面过程相同，简化了运算。）

b2??2=-1/4，或转为直接证明之ab2性质四：椭圆切线与切点和中心连线的斜率积为定值KPO?KL??2

ab2双曲线切线与切点和中心连线的斜率积为定值KPO?KL?2

ax2y2??1上的动点，设点P的切线斜率为k，试研究斜率kOPk是否为7.已知点P为椭圆84定值（O为原点）。

性质五：在圆锥曲线焦点所在轴上必存在一定点，它与焦点弦端点所张的向量数量积为定值，

?c?3?e2??c224,0?1?e?e,此时的定点坐标为?且该定值为??，抛物线时定点为原24????点。

x2y2??1，直线过焦点F(1,0)交椭圆于A、B两点，是否存在一定点P使8.已知椭圆43PA?PB为定值.

??x2y2??1，9.已知椭圆直线过点Q(1,0)交椭圆于A、B两点，是否存在一定点P使QA?QB41??为定值.

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圆锥曲线中的重要性质经典精讲下

性质一：以圆锥曲线上一定点为顶点作直角三角形，则斜边所在直线必过定点。

1.抛物线y2?x上一点P(1,1)，A,B是抛物线上两动点，且PA?PB?0，问直线AB是否过定点？定点坐标是什么？

性质二：直角三角形的直角顶点在中心，斜边的端点在圆锥曲线上,则中心在斜边上的射影

轨迹是圆。

x2y22.若直角三角形ABO的直角顶点O在椭圆2?2?1的中心，OA，OB交椭圆于A,B两点，

ab求证：点O在斜边上的射影H的轨迹是圆。

x2?y2?1，直线l交椭圆于P,Q两点，若OP?OQ?0,试求直线l在y轴上截3.椭圆2距的取值范围。

x2y24. (2009山东卷理)设椭圆E： 2?2?1过M（2，2） ，N(6,1)两点，O为坐标原

ab点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且

OA?OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

x2y25. （2009北京理）已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，右准线方程为abx?3 322（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l是圆O:x?y?2上动点P(x0,y0)(x0y0?0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A,B，证明?AOB的大小为定值。

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x2y2性质三：椭圆2?2?1中垂直于长轴的弦的端点对长轴顶点的连线的交点轨迹为与椭圆

abx2y2x2y2共顶点的双曲线2?2?1 双曲线2?2?1中垂直于长轴的弦的端点对实轴顶点的

ababx2y2连线的交点轨迹为与双曲线共顶点的椭圆2?2?1.

abx2y2??1的动弦MN垂直交x轴于点P(x0,0)，椭圆的长轴端点分别为6.已知椭圆84B1,B2，试探求直线B1N与B2M交点的轨迹.

性质四： 椭圆、双曲线、抛物线准线上点对焦点弦端点及焦点斜率成等差数列。（推广：x

x2y2a2轴上一定点Q(t，0)的直线交椭圆2?2?1于两点A，B，则在直线x?上

abt任一点对弦AB端点及定点的连线的斜率成等差数列。）

7.过抛物线y2?2px(p?0)的对称轴上的定点M(m,0)(m?0)，作直线AB与抛物线相交于A,B两点.

（Ⅰ）试证明A,B两点的纵坐标之积为定值；

（Ⅱ）若点N是定直线l:x??m上的任意一点，分别记直线AN,MN,BN的斜率为

k1、k2、k3，试探求k1、k2、k3之间的关系，并给出证明.

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