上海市浦东新区2012届高三上学期期末质量抽测数学试题

上海市浦东新区2011—2012学年度第一学期期末质量抽测高三数学试题2012.01

注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．已知函数f(x)?x2?1(x?0)的反函数为f?1(x)，则f?1(5)?_____.

x2y2??1的焦点坐标为____________. 2．椭圆95??3．方向向量为d?(3,4)，且过点A(1,1)的直线l的方程是______.

n4．若lim(1?a)?0，则实数a的取值范围是 . n??5．某个线性方程组的增广矩阵是???102??，此方程组的解记为(a,b)，则行列式32b的值是_ . ??011?a102126．某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人。为了调查师生的健康状况，采用分

层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数为 .

a9)的二项展开式中x3的系数为?84，则实数a?____________. x8．已知向量a?(sin?,1)，b?(1,cos?)，若a?b，则??______. 9．从集合{1,2,3,4，5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选一个数b，则a?b的概率为_____.

10．已知函数f(x)?1?loga(x?1)(a?0且a?1)的图像恒过定点P，又点P的坐标满足方程mx?ny?1，则mn的

7．若(x?最大值为 .

11．已知正三棱锥O?ABC的底面边长为1，且侧棱与底面所成的角为60?，则此三棱锥的体积为 . 12．已知函数f(x)?|x|?则m?n?______.

CA13．函数f(x)?sinnx?cosnx(n?N*,n?2,x?R)的最小正周期为__________. 14．若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：

B①X?M、??M；

第11题图 ②对于X的任意子集A、B，当A?M且B?M时，有A?B?M；

③对于X的任意子集A、B，当A?M且B?M时，有A?B?M； 则称M是集合X的一个“M—集合类”.

例如：M?{?,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}是集合X?{a,b,c}的一个“M—集合类”。已知集合X?{a,b,c}，则所有含{b,c}的“M—集合类”的个数为 . 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

215．“x?1”是“x?x?0”的 （ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

16．l1,l2,l3是空间三条不同的直线，下列命题正确是 （ ）

4，当x?[?3,?1]时，记f(x)的最大值为m，最小值为n，|x|O

A. l1?l2，l2?l3?l1//l3

B. l1?l2，l2?l3?l1?l3

C. l1//l2，l2//l3?l1//l3 D. l1//l2//l3?l1,l2,l3共面

17．动点P从点(1,0)出发，在单位圆上逆时针旋转?角，到点M(?顶点为(0,0)，且终边与角?的终边关于x轴对称，则下面结论正确的是 （ ）

11 A. ??2k??arccos,k?Z B. ??2k??arccos,k?Z

33 C. ??2k????arccos,k?Z D. ??2k????arccos,k?Z

高三数学 第1页

122已知角?的始边在x轴的正半轴，,)，

33131318．已知共有k(k?N*)项的数列{an}，a1?2，定义向量cn?(an,an?1)、dn?(n,n?1)

(n?1,2,3,?,k?1)，若|cn|?|dn|，则满足条件的数列{an}的个数为 （ ）

A. 2 B. k C. 2 D.2

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤. 19．（本题满分12分）设复数z满足z?10，且?1?2i?z(i是虚数单位)在复平面上对应的点在直线y?x上，求z.

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平

?分别为AB、BC、DE的中点，F为弧AB的中点，G为弧BC的中点. 平移后形成的封闭体。O1、O2、O2（1）求这个几何体的表面积；

?所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）. （2）求异面直线AF与GO2

?O2ED21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第?2小题满8分.

?ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

k?1k(k?1)2cosA?64，a?，

55AF??（1）当B?时，求b的值；

3???（2）设B?x?0?x?O1?B?O2C?2??，求函数f(x)?b?43cos2x的值域. 2G?22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.

设满足条件P:an?an?2?2an?1(n?N*)的数列组成的集合为A，而满足条件Q:an?an?2?2an?1(n?N*)的数列组成的集合为B.

（1）判断数列{an}:an?1?2n和数列{bn}:bn?1?2n是否为集合A或B中的元素？

（2）已知数列an?(n?k)3，研究{an}是否为集合A或B中的元素；若是，求出实数k的取值范围；若不是，请说明理由.

（3）已知an?31(?1)i?log2n(i?Z,n?N*)，若{an}为集合B中的元素，求满足不等式|2n?an|?60的n的值组成的集合.

23. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.

如图所示，在平面直角坐标系xOy上放置一个边长为1的正方形PABC，此正方形PABC沿x轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点P位于原点处,设顶点P?x,y?的纵坐标与横坐标的函数关系是y?f(x)y?f(x),x?R，该函数相邻两个零点之间的距离为m.

（1）写出m的值并求出当0?x?m时，点P运动路径的长度l；

（2）写出函数y?f(x),x??4k?2,4k?2?,k?Z的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：

函数性质 奇偶性 递增区间 单调性 递减区间 零点 结 论

yCPOBAx（3）试讨论方程f(x)?ax在区间??8,8?上根的个数及相应实数a的取值范围.

高三数学 第2页

浦东新区2011学年度第一学期期末质量抽测

高三数学（理科）试卷 2012.01

参考答案及评分标准

一、填空题

1． __2___.2．(?2,0)(2,0)3．4x?3y?1?0 .4．(0,2)5．?2.6． 50 .7．?18．k??9．

?4,k?Z.

?41310．11．.12．913．n为奇数时，2?；n为偶数时，.14． 10 . 58212二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．（ A ）16．（ C ）17．（ D ）18．（ C ） 三、解答题

19．解：设z?x?yi（x、y?R）， ??????????????????????1分 ∵|z|?10，∴x2?y2?10， ????????????????????3分 而(1?2i)z?(1?2i)(x?yi)?(x?2y)?(2x?y)i， ????????????6分

又∵?1?2i?z在复平面上对应的点在直线y?x上，

∴x?2y?2x?y， ??????????????????????????8分

?x2?y2?10?x?3?x??3即?，∴?或?；????????????????10分

?y??1?y?1?x??3y即z??(3?i).????????????????????????????12分 20.解：（1）S表?S侧?S底?2?rh?2?2rh?2??6??8； ????6分

?，则AF//GC， （2）连结AF、GC、CO2?GC或其补角为异面直线AF与GO2?所成的角. ??9分 所以?O2?GC中，O2?G?O2?C?在?O222?12?5，

GC?12?12?2，??????????????????12分

?G2?GC2?O2?C2O25?2?510?GC?因为cos?O2， ???2O2G?GC102?5?2?GC?arccos所以?O210. 10?所成的角的大小为arccos所以，异面直线AF与GO221．解：（1）sinA?10.??14分 103，???????????????????????2分 5ba??2，?b?3；??????????????6分 sinBsinAba??2，得b?2sinx，????????????7分 （2）由

sinBsinA2x ?f(x)?2sinx?43cos 2?2sinx?23cosx?23 ????????????9分

??4sin(x?)?23， ??????????????11分

3????5?? ?0?x?,?x???,?，

23?36??高三数学 第3页

???1??∴sin?x????,1?, ??12分

3??2??∴f(x)的值域为2?23,4?23.????????????14分

22．解：（1）an?an?2??1?2n???1?2(n?2)???4n?2，2an?1?2?1?2(n?1)???4n?2

∴an?an?2?2an?1

∴{an}为集合A中的元素，即{an}?A.???????????????2分

??bn?bn?2??1?2n???1?2n?2??2?5?2n，2bn?1?2?1?2n?1??2?4?2n

∴bn?bn?2?2bn?1

∴{bn}为集合B中的元素，即{bn}?B.???????????????4分

（2）an?an?2?2an?1?(n?k)3?(n?2?k)3?2(n?1?k)3?6(n?1?k)， 当k?2时，an?an?2?2an?1对n?N*恒成立，此时，{an}?A；????7分 当k?2时，令n?1，n?1?k?0，an?an?2?2an?1；

设?k?为不超过k的最大整数，令n??k??1，n?1?k?0，

an?an?2?2an?1，此时，{an}?A，{an}?B.??????????10分

（3）|2n?an|?|2n?31log2n|?60，令cn?2n?31log2n，

n?1cn?1?cn?2?31log2?0，即n?21.8；

n当n?22时，cn?1?cn，于是c22?c23?c24??，

当n?21时，cn?1?cn，于是c1?c2?c3??c21?c22；??????13分 ∵|c4|?|?54|?60，|c5|?|?61.9|?60，

|c62|?|?60.6|?60，|c63|?|?59.3|?60，|c140|?58.99?60，|c141|?60.7?60， ∴有c1，c2,c3,c4和c63,c64,?,c140项，共82项.????????16分

23. 解：（1）m?4，????2分

?2???；??4分 l??1??2??????2??x?4k?2?24k?2?x?4k?1?2? （2）f(x)??1??x?4k?1?4k?1?x?4kk?Z；??7分

?2?1??x?4k?1?4k?x?4k?1??2??x?4k?2?24k?1?x?4k?2?

函数性质 奇偶性 递增区间 单调性 递减区间 结 论 偶函数 ?4k,4k?2?，k?Z ?4k?2,4k?，k?Z 零点 x?4k，k?Z ????10分 （3）（i）易知直线y?ax恒过原点； 当直线y?ax过点?1,1?时，a?1，此时点?2,0?到直线y?x的距离为2，直线y?x

高三数学 第4页

与曲线y?2??x?2?,x??1,3?相切，当x?3时，y?x恒在曲线y?f(x)之上，

2??x?6?,x??5,7?相切时，由点?6,0?到直线y?ax

22（ii）当直线y?ax与曲线y? 的距离为2，a? y?115x的距离为，此时点?5,0?到直线y??1，直线

17171812x与曲线y?1??x?5?,x??4,5?相离； 172（iii）当直线y?ax与曲线y?1??x?5?,x??4,5?相切时，由点?5,0?到直线y?ax 的距离为1，a? 直线y?1166x的距离为?，此时点?6,0?到直线y??2， 2425241212x与曲线y?2??x?6?,x??5,7?相交于两个点； 2411（ⅳ）当直线y?ax过点?5,1?时，a?，此时点?5,0?到直线y?x的距离为

55152?1，直线y?x与曲线y?1??x?5?,x??4,5?相交于两个点； 526116?2，直线y?x与曲线 点?6,0?到直线y?x的距离为5526 y?2??x?6?,x??5,7?相交于两个点；

2 （ⅴ）当a?0时，直线y?0与曲线y?f(x),x???8,8?有且只有5个交点； （ⅵ）当a?0时，直线y?ax与曲线y?f(x),x???8,8?有且只有1个交点； 因为函数y?f(x),x???8,8?的图像关于y轴对称，??????14分 故综上可知：

（1）当a?0时，方程f(x)?ax只有1实数根；

17时，方程f(x)?ax有3个实数根； 1717（3）当a?或a?0时，方程f(x)?ax有5个实数根；

171617（4）当0?a?或时，方程f(x)?ax有7个实数根； ?a?512176（5）当a?时，方程f(x)?ax有9个实数根；

1216（6） 当?a?时，方程f(x)?ax有11个实数根.????????18分

512y

（2）当a?2y?a|x|1

678?8?7?6?5?4?3?2?1O12345x高三数学 第5页

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