初中数学_数学教学设计学情分析教材分析课后反思

第十二课时 一元二次方程及应用

一、复习目标：

1.理解一元二次方程的概念和一般形式，能把一个一元二次方程化为一般形式.

2.理解配方法，会用因式分解法、直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式.

3.能用一元二次方程解决实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.

二、复习重点和难点：

（一）复习重点：

1、用因式分解法、直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程.

2、应用一元二次方程知识解决实际问题。

（二）复习难点：配方法，列一元二次方程解决实际问题，并检验解的合理性.

三、复习过程：

（一）知识梳理：

1、一元二次方程定义：

必须满足四个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数最高次数为2；（3）整式方程；

（4）最高次项的系数不能为零。如、05)3()2(22=+-+--x m x m m 是关于x 的一元二次方程，

求m 的值；

2、一元二次方程的一般形式：

一元二次方程的一般形式为，在处理一元二次方程的问题时，要将方程化为一般形式：左边是个按降幂排列的二次三项式，右边是0，同时还要特别注意

这个条件。每个一元二次方程一般形式不唯一，而是无数多个，但习惯上总把二次项系数符号化为正号，各项系数（包括常数项）化为整数（各项系数有公因式就要约去）。如、把方程(x+3)(3x-4)=(x+2)2化成一般形式；

强调：对于方程02=++c bx ax ，如果有0≠a 的条件，就说明此方程为一元二次方程；如果没有0≠a ，就说明方程02=++c bx ax 有可能为一元二次方程，此时0≠a ，也有可能为一元一次方程，此时0=a 。

3、一元二次方程的解法

（1）用直接开平方法与配方法解一元二次方程：

用直接开平方法解一元二次方程时，实际上是利用平方根的定义，运用平方根的定义解形如

方程时，特别要注意有正负两个解，不可丢掉一个。 配方法是初中数学中一种重要的数学方法，，它是推导公式法的基础，也是解一元二次方程的通法．用配方法解一元二次方程步骤：（1）方程两边同除以二次项的系数，将二次项的系数化为1；（2）移项，使方程左边只有二次项和一次项，常数项在右边；（3） 配方，方程的两边要加上一次项系数的一半的平方，使方程左边变为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；（4）如果右边是非负数，两边直接开平方解这个一元二次方程；（5）如果右边是负数，则原方程无解.强调：当二次项系数a=1,b 为偶数，常数项比较大时，采用配方法较合适，如y 2-2y-399=0。

强调：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。

（2）用公式法解一元二次方程：、

对于它的解是：a

ac b b x 242-±-=)04(2≥-ac b ，我们把这个称之为一元二次方程的求根公式，要特别注意

条件的运用，要求准确记忆，而推导过程也要求会。

公式法是解一元二次方程的通法，也是最常用的方法，较配方法简单．在上述两种方法都很难求解的情况下可考虑利用公式法求解。注意用公式法求解时。 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a 、b 、c 的值；③求出b 2－4ac 的值；④若b 2－4ac ≥0，则代人求根公式，求出x 1 ,x 2．若b 2－4a ＜0，则方程无解．

（3）用因式分解法解一元二次方程：

是最简单的解一元二次方程的方法，也是最常用的方法，当一个一元二次方程一边是零，而另一边易于分解成两个一次因式时，可以使每个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是一元二次方程的解。

强调：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）；

4、一元二次方程与判别式：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ?=-确定．

设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-则

①0?>?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0?=?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a

==-

． ③0?

-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a ≠0.

（2）用判别式去判定方程的根时，一定要先把方程变化为一般形式，再求出判别式的值；

（3）上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0?>；有两个相等的实数根时，0?=；没有实数根时，0?<．

（4）一元二次方程有实数根，就包含了一元二次方程有有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根两种情况，此时判别式应满足0≥?，反之，当一元二次方程的判别式满足0≥?，就说明一元二次方程有有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根。

（6）当240b ac ?=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．

5、一元二次方程的应用：

列一元二次方程解应用题的一般步骤：“审”，“设”，“列”，“解”，“答”。

（1）“审”是指读懂题目，审清题意，明确题目中的已知与未知的数量关系。

（2）“设”是指设未知数，分为直接设和间接设。

（3）“列”就是列方程，找出题中的相等关系，列出方程。

（4）“解”就是求出所列方程的解。

（5）“答”即检验并写出答案，注意看答案与实际问题是否相符。

增长（降低）率问题的数量关系。

6、强调两个公式：

（1）理解平均增长（降低）率公式：平均增长（降低）率的基本关系式为(1)n a x b ±=，其中a 是增长（降低）前的基础数量，x 是平均增长（降低）率，n 是增长（降低）的次数，b 是增长（降低）后的数量。

（2）商品利润问题

商品总利润＝每件利润×数量，每件利润＝售价－价价；利润率=

进价利润； （二）典例精析： 例1

已知方程(m ＋2)x ||m ＋2mx －5＝0是关于x 的一元二次方程，则m ＝

________.

例2、分别使用配方法、公式法、因式分解法解方程：

(x－3)2＝5x(x－3)．

跟踪练习(用你认为简单的方法，最快的计算)

(4x+2)2＝x(2x+1)

分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。

例3、已知关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2x－1＝0有实数根，则k的取值范围是________．

例42010年某市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率来实现，在2012年全市国民生产总值达到1726亿元．

(1)求全市国民生产总值的年平均增长率

例5如图22－1所示，在长为10 cm，宽为8 cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．

例6、（2011.枣庄).某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元

【方法总结】：此类题一定要紧紧抓住总利润与每件利润、销售数量之间的数量关系，将这几个量用数字或含未知数的式子来表示，再根据题意列出相应的方程。

例7一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?

当堂小结;本节课你学会了什么？

当堂检测

1．一元二次方程3x2+x=0的根是________．

2.（2015烟台）等腰三角形三边长分别为a,b 2，且a,b 是关于 的一元二次方程x2-6x+n -1=0 的两根，则 n 的值为（ ）

A ．9 B. 10 C. 9或10 D. 8或10

3．解方程．

(x+3）（x -4）=6

4、已知方程 的

032=+-m x x 一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是 。

5、（2010济宁）已知关于 的方程

03)1(222=-++-m x m x （1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设 x1、x2 是方程的两根，且 012)()(21221=-+-+x x x x 求m 的值。

《一元二次方程》学情分析

在本节课之前，已经系统的学习了一元一次方程及相关概念，

学习了整式、分式和二次根式，从知识结构上看他们已经具备了继续探究一元二次方程的基础。这个阶段的学生自主探究和合作交流的能力很强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有一定的提高。但是通过近一阶段的教学，也发现很多问题：解一元一次方程、整式乘法、移项、去分母、去括号、分解因式、合并同类项、乘法公式的应用都还存在一问题，在章张知识的教学中，要加强学生计算能力的培养，巩固以前所学的知识。

《一元二次方程》效果分析

一、课前活动效果分析:

A. 说明一元二次方程的重要性,联系中考,一元二次方程可能会是中考的压轴题型,激励学生学习的积极性。

B. 复习一元一次方程的定义和一般形式:因为一元一次方程是基础,一元二次方

程是延伸, 复习一元一次方程是合乎知识逻辑的。通过比较得出两种方程都是只

含有一个未知数的整式方程,差异仅在于未知数的最高次数不同。由此,很容易建

立起“一元二次方程”的概念, 同时,培养学生类比思想的运用。完成情况较好,

学生积极性较高。

二、用三个应用题目导入效果分析:

通过三个应用题目引出本课课题。通过应用题目的练习这种方法导入新课, 突

破学生学习应用题的重点和难点, 从而提高学生应用题教学的课堂效率与教

学质量。

三、应用拓展效果分析:

学生通过找出是否是一元二次方程的练习引入一元二次方程的一般形式的讲解。通过练习发现学生掌握情况良好。

四、课后小结效果分析:

通过小节,学生对本课知识进行回顾,完成本节课的学习目标,效果良好。

《一元二次方程》教学反思

对于一元二次方程,学生在前面已经学习过一元一次方程、二元一次方程和分式方程的知识,也是以后学习二次函数的基础。是初中教材中一个重要的内容,通过这节课的教学我有如下几点体会:

一、教学之前的思考

基于教材的特点,我把重心放在关注学生的学法上。通过分析本章的难点和所教班的实际情况,我认为教学的难点在于如何理顺配方法、公式法、分解因式法之间的关系以及如何利用一元二次方程解应用题。

二、实施教学所遇到的难点

在把握了本章的重难点之后,我把教学中心放在解一元二次方程的三种方法之间的联系上。在实际的教学过程中,学生虽然已经

清楚三种方法之间的内在联系,但同时也存在以下两方面的问题:第一、基本运算不过关。绝大多数同学都知道解方程的方法,但却不能保证计算的准确性。这里也透露出新教材的一个特点:很重视学生思维上的培养,却忽视了基本计算能力的训练, 似乎认为每个学生都能达到一学就会的理想境界。

第二, 解方程的方法不灵活。学习了三种方法之后,知道了公式法是最通用的方法,所以也就认为公式法绝对比配方法好用多了。但实际并非完全如此, 通用并不意味着简单。

《一元二次方程》教材分析一元二次方程是中学数学的主要内容,在初中代数中占有重要地位,学生已学习了实数、代数式、一元一次方程(包括可化为一元一次方程的分式方程)和二元一次方程组,这些知识和技能是学好一元二次方程内容的基础,也是对上述内容的巩固、加深;同时一元二次方程为后续学习的函数、一元二次不等式以及指数方程、对数方程、三角方程、二次曲线内容等扫清学习上的障碍,总之,本章教学内容起到了承前启后的作用。

一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法），运用一元二次方程分析和解决实际问题。其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备。数学建模思想的教学在本章得到进一步渗

透和巩固。

《一元二次方程》测评练习

1、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为_______

2、设1x 、2x 是方程0242=+-x x 的两根，则①2

111x x +＝ ；②)1)(1(21++x x ＝ 。

3已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x

（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。

4、有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

5、为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？

《一元二次方程》课标分析

1、数学课程标准对一元二次方程教学的要求。

能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程；理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

2、教学大纲对一元二次方程教学的要求。

了解一元二次方程的概念，会用直接开平方法解方程。用配方法

解数字系数的一元二次方程，掌握一元二次方程求根公式的推导，会用求根公式解一元二次方程，会用分解因式法解一元二次方程；理解一元二次方程的根的判别式，会根据根的判别式判断数字系数的一元二次方程的根的情况；掌握一元二次方程根与系数的关系式，会用它们由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，能够列出一元二次方程解应用题，能够发现、提出日常生活、生产或其它学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程。

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