七年级数学培优竞赛二合一讲练教程（共15讲，含答案）

数的整除（一）

【知识精读】

如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.

一些数的整除特征 除 数 2或5 4或25 能被整除的数的特征 末位数能被2或5整除 末两位数能被4或25整除 8或125 末三位数能被8或125整除 3或9 11 7,11,13 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324) 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除 (如143,1859,1287,908270等) 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等) 能被7整除的数的特征：

①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除）

又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：

①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）

又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）

【分类解析】

例1已知两个三位数328和2x9的和仍是三位数5y7且能被9整除。求x,y

解：x,y都是0到9的整数，∵5y7能被9整除，∴y=6. ∵328＋2x9＝567，∴x=3

例2己知五位数1234x能被12整除，求X。

解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4X能被4整除时，X＝0，4，8 ∴X＝8

例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数。

解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，

但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可，

∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

【实战模拟】

1 分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）

①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 2 若四位数987a能被3整除，那么 a=_______________ 3 若五位数12X34能被11整除，那么 X＝__________- 4 当 m=_________时，35m5能被25整除

n能被7整除 5 当 n=__________时，96106 能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________

7 能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 8 8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，

能被下列各数整除的有（填上编号）：

6________,8__________,9_________,11__________

9 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个， 能被3整除但不是5的倍数的共______个。

10 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除

的数共有几个？为什么？

11 己知五位数1234A能被15整除，试求A的值。 12 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。

13 在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿

参考答案

1.④ 22×32×7×3 ⑤ 3×7×13×37 ⑥ 23×32×11×13 2. 0，3，6，9 3. 0 4. 2，7 5. 3

6. 10010，9990 7. 9996，9992

8. 6：B 8：F，G 9：B，D 11：G，H

9. 16；27

10. 没有一个，∵1＋2＋3＋4＋5＝15是3的倍数，与数字的位置无关

11. 仿例2，a＝5

12. 10269（由最小五位数10234调换末两位数）

13. 11111111100

（2）倍数 约数

【知识精读】

1、两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。

2、因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。

3、整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。

4、整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。

5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。

6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。 7、在有余数的除法中，

被除数＝除数×商数＋余数 若用字母表示可记作：

A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除

例如23＝3×7＋2 则23－2能被3整除。 【分类解析】

例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。

解：列表如下

正整数 2 22 1，2， 1，2 正约数 个 数 计 2 1，2，4 3 正整数 3 32 1，3， 1，3，32 正约数 个数正 整 正约数 个数计 计 数 1，3 2 3 2×3 22×3 1，2， 3，6 1，2，3， 4，6，12 1，2，3， 4 6 9 23 4，8 4 33 32，33 4 22×32 4，6，9， 12，18，36 24 1，2，4， 8，16 5

34 1，3，32， 33，34 5 其规律是：设A＝ambn(a，b是质数,m，n是正整数) 那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1) 例如求360的正约数的个数 解：分解质因数：360＝23×32×5，

360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）

例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数 解：∵24＝23×3，90＝2×32×5

∴最大公约数是2×3， 记作（24，90）＝6 最小公倍数是23×32×5＝360， 记作[24,90]=360 例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N 解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数 ∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6 经检验1和2不合题意，∴N＝6，3

例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数 分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。

解： ∵[10,9,8]=360, ∴所以所求的数是359

【实战模拟】

1、12的正约数有_________,16的所有约数是_________________ 2、分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________ 3、用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。 4、一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________

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