圆一

27.1圆的基本性质和概念（一）

一、大家谈谈

1．如何在操场上画一个半径为5m的圆，说出你的理由． 2．你能由此说出圆的形成过程吗？

3．根据圆的形成过程，你能说出什么是圆吗？

如图，在一个平面上到＿＿＿O的距离等于＿＿（OA的长）的所有点组成的图形叫做圆． 定点O叫做＿＿＿ 线段OA叫做圆的＿＿＿

以点O为圆心的圆，记作“＿＿＿”，读作“＿＿＿”． 二、一起探究

1.在一张半透明的纸上以O为圆心画一个圆，将这张纸片沿过点O的直线对折，你发现了什么？

2.将一个圆绕圆心旋转180°后，是否与原图形重合？ 3.这能说明什么事实？

圆是＿＿＿＿＿＿图形，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿都是它的对称轴. 圆也是＿＿＿＿＿＿图形，＿＿＿是它的对称中心。 三、自主学一学

1．连结圆上任意两点的线段（如图AC、AB）叫做＿＿＿； 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做＿＿＿． 2．圆上任意两点间的部分叫做＿＿＿， 简称＿＿＿．以A、B为端点的弧记作 ＿＿＿，读作“＿＿＿，”或“＿＿＿．” 圆的任意一条＿＿＿的两个端点把圆 分成两条弧，每一条弧都叫做＿＿＿．

1

A O B O A C

小于半圆的弧（如图中的 AC ）叫做＿＿＿．

大于半圆的弧（用三点表示，如图中的 ABC ）叫做＿＿＿. 3．能够＿＿＿的两个圆叫做等圆， 能够＿＿＿的两条弧叫做等弧. 半径相等的两个圆是＿＿＿． 五、巩固练习

1.请用圆规和直尺画出一个半径为2cm的圆，并在这个圆上画出长为2cm和3cm的两条弦.

2．下列语句中，不正确的是 （ ） A． 直径是弦 B．经过圆内一定点可以作无数条弦 C．弧是半圆 D． 等弧所在的圆为同圆或等圆

3．如图，按标注的字母，说出图中的 圆心、弦、半径、直径和半圆，并把表 示它们的符号添在下面的表中． 名称 符号

2

B O A C 圆心 弦 半径 直径 半圆

27.1圆的基本性质和概念（二）

一、观察与思考：

在两张半透明的纸上，分别画出半径相等的⊙O1和⊙O2及相等的两条弦AB、CD，把两张纸叠放在一起，使O1和O2重合，AB与CD重合，你发现了什么？

1．在等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的弦相等吗？ 2．在同圆中，相等的弦所对的弧相等吗？等弧所对的弦呢？

在同圆或等圆中，相等的弧所对的＿＿＿相等；相等的弦所对的＿＿＿和＿＿＿分别相等。 二、一起探究

如图，在⊙O中，CD是直径， AB为弦， 且CD⊥AB，垂足为E．

A 将⊙O沿CD所在的直线对折，哪些线段重 合，哪些弧重合？由此你能得出什么结论？

O E D B C 垂径定理：＿＿＿于弦的＿＿＿平分弦，并且平分＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 三、大家谈谈：

如图，⊙O的直径CD交弦AB （不是直径）于点E，AE＝BE． （1）你认为CD与AB垂直吗？为什么？ （2）你认为弧AD与弧BD，弧AC与弧 BC分别具有什么关系？说说你的结论 和理由．

＿＿＿（不是直径）的直径＿＿于弦，并且＿＿＿弦所对的＿＿＿．（垂径定理的逆定理）

3

C O E D

A B

四、例题练习

1．如图所示，在⊙O中，AB为弦，OD⊥AB，垂足为C．

（1）若 AB=8cm，OC=3cm， 则⊙O的半径为 cm，

O CD＝ cm； C B A （2）若⊙O的半径为2cm， D

AB＝23cm，则OC＝ cm,

CD= cm；

（3）若⊙O的半径为13cm，CD=1cm，则OC= cm，AB cm；

（4）若 AB=6cm，CD=1cm，则⊙O的半径为= cm，OC＝ cm．

2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．

3．你知道赵洲桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

A

O B

4

27.2圆心角和圆周角（一）

一、一起探究

1．如图，在⊙O中，∠AOB，∠COD，是圆心角，

（1）如果∠AOB＝∠COD，，那么△AOB与△COD具有什么关系？ AB AB与CD， 与 CD 分别相等吗？为什么？

（2）如果AB＝CD（或AB ＝CD ），那么∠AOB等于∠COD吗？为什么？

AB 2．⊙O1和⊙O2是两个等圆，如果∠AO1B＝∠CO2D，，那么？AB与CD， 与 CD 分别相等吗？反过来，如果AB＝CD（ AB = CD ） 那么∠AOB等于∠COD吗？为什么？

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等；相等的弦或相等的弧所对的 相等．

5

A B

C D O A B

O1 O2

C D

三、例题练习

1．在同圆中，下列四个命题：（1）圆心角是指顶点在圆心的角；（2）两条弦相等，它们所对的弧也相等；（3）两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；（4）等弧所对的圆心角相等；其中真命题有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图：AB、CD是⊙O的两条弦

（1）如果AB=CD，那么 ， ；

(2)如果AB=CD,那么 ， ， ；

；（3）如果∠AOB=∠COD,那么 ， ；

3．在同圆或等圆中，若圆心角∠AOB=∠A′OB′则下列结论一定成立的是（ ）

A.AB=2AB B.AB=2ABC.AB=AB D.AB∧2AB

CD 4．如图，在⊙O中，已知 AB ＝ ，请说明AB＝CD的理由．

A

B C D O 5．如图，在⊙O中，已知AD＝BC，请说明AB＝CD的理由．

C A

D O B

6

27.2圆心角和圆周角（二）

一、做一做

请画一个圆，在这个圆上截取一段 AB ，并画出 AB 所对的任意两个圆周角∠APB和∠AQB，用量角器量出这两个角的大小，这两个角具有什么关系？

所对的圆周角 ． 二、一起探究

1．同弧所对的圆周角和圆心角的位置关系有几种情况？在下面画出来.

2．同弧所对的圆周角和圆心角的大小有何关系？根据上面的图形讨论数量关系.

同弧所对圆周角等于圆心角的 ．

在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 ；半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 .

7

三、例题练习

1．下列命题中，真命题的个数是（ ） ①同弦所对的圆周角相等 ②相等的圆心角所对的圆周角也相等 ③圆周角的度数等于圆心周角度数的一半 ④同弧所对的圆周角相等

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．AB是⊙O的弦，圆周角∠ADB=70°，如果点C是弦AB的中点，那么∠AOC的度数是（ ）． A．70° B．140° C．100° D．35°

3．（1）指出图中，哪个图形中的弦AB是直径，并说明理由．

C

B B

B A

C A C A （1） （2） （3）

（2）如图1，⊙O中，两条弦AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，则⊙O的半径为 ．

C A O

A B O C B

图1 图2

（3）如图2，⊙O的直径AB＝8cm，C为⊙O上一点，∠BAC＝30°，则BC＝ cm． 4．如图OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC． 求证：∠ACB＝2∠BAC．

8

O A B

C

课题：27.3过三点的圆

一、问题情境：我们知道，两点确定一条直线，那么，几个点确定一个圆呢？ 二、观察与思考

1．如图1，⊙O1和⊙O2都经过点A，你认为过点A还可以画出其他的圆吗？如果能画出来，可以画出多少个？

图1 O1 A O2 O1 B 图2 A O2 2．如图2，⊙O1和⊙O2都经过点A和点B，

（1）你认为线段O1 O2与线段AB之间有什么位置关系？

（2）你还能画出经过点A和点B的圆吗？如果能画出来，可以画出多少个？这样的圆的圆心和线段AB有什么位置关系？

三、大家谈谈

1．过已知点A画圆，怎样确定圆心？ 2．过已知点A和点B画圆，怎样确定圆心？

3．过不在同一直线上的三个已知点A，B，C能画出一个圆吗？若能怎样确定圆心？ 小结：

（1）根据圆的定义可知确定一个圆的条件是 和 ．

（2）经过已知点A作圆时，以 为圆心，以 为半径就可以作出，这样的圆有 个；

（3）经过已知点A、B作圆，以 为圆心，以 为半径就可以作出，这样的圆有 个；

9

（4）经过不在同一直线上三点A、B、C作圆，以 为圆心，以 为半径就可以作出，这样的圆有 个； （5）经过同一直线上三点A、B、C可以作圆吗？为什么？ 四、试着做做

已知不在同一直线的三点A，B，C，画出经过A，B，C三点的圆．

五、拓展延伸

由以上结论可知，经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫三角形的 ．

三角形的外心到三角形三个三顶点的距离相等吗？为什么？

六、例题和练习：

1．下列说法正确的是（ ） A．三点确定一个圆

B．一个三角形只有一个外接圆，一个圆只有一个内接三角形 C．三角形的外心到三角形三边的距离相等

D．因为过任意四点不一定可以作一个圆，所以任意四点一定不在同一圆上

2．请分别画出下面三个三角形的外接圆，并说明外心的位置与三角形的形状之间具有什么关系？

10

课题：27.4弧长和扇形面积（第一课时）

一、节前预习

1.半径为r的圆的周长C= ，圆的面积S= 。

2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等。

3. 叫做扇形。

O

4.在一个半径为r的圆中，1°的圆心角所对的弧长应该是圆周长的 。 1°的圆心角所在的扇形面积应该是圆面积的 。

图中的扇形有几个，请用不同颜色的笔把它涂出来。

二、合作探究：

⊙O的半径为r，圆心角∠AOB=n°

O

（1）圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为圆周长

的 ，为 ，那么90°的圆心角所对的弧长为 ，35°的圆心角所对

的弧长为 ， n°的圆心角所对的弧长为 。

（2）圆的面积为 ，圆心角为1°的扇形面积为圆面积的 ，为 ，

那么圆心角为90°的扇积形面为 ，圆心角为35°的扇形面积为 ，圆心角

为n°的扇积形面为 。

在半径为r的圆中，设n°圆心角所对的弧长为l，请同学们自己推导弧长公式吧！并在小组内交流下结果。 弧长公式为： 在半径为r的圆中，设圆心角为n°的扇形面积为S，请同学们自己推导扇形面积公式吧！并在小组内交流下结果。 扇形面积为公式：

11

BAAB

三、精例展示，合作探究 A如图：⊙O的半径为10cm，

（1） 如果∠AOB=100°，求弧AB的长（精确到0.1cm）及

O扇形AOB的面积（精确到0.1cm2）

B（2） 已知⌒=25cm，求∠COB的度数（精确到1°）

C同学们，题的难度不大，可计算时可不要当小马虎哦!

四、练习 1、（2010年广东省广州市）一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为

________． (结果保留?) 2、（2009年兰州）兰州市某中学的铅球场如图10所示，已知扇形AOB的面积是36米2，弧AB的长度为9米，那么半径OA＝ 米．

3、（2009年长春）如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留π）．

4、（2010年济南）如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的EF上，若OA=1，∠1=∠2，则扇形OEF的面积为（ ） A.

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1O2AEFC

πππ2π B. C. D. 6433B

5、（2010珠海）如图，⊙O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积（结果保留π） 6、（2010年宁波市）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE?23，?DPA?45?。 （1）求⊙O的半径;

（2）求图中阴影部分的面积。

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课题：27.4弧长和扇形面积（第二课时）

一、节前预习：

我们把圆锥的 与 的连线叫做圆锥的母线。如图中的线段 。

叫做圆锥的高。如图中的 。

二、新课讲解

1、我们来演示一下圆锥是怎样形成吧：

图中圆锥的母线是 。 圆锥的高是 。

圆锥的高与底面有何关系？圆锥的母线有多少条，它们都相等

吗？

2、以小组为单位，每小组至少有一个收集到的圆锥是能剪开的（如雪榚筒模型），让我们将圆锥沿着母线剪开，观察展开的图形形状吧！它是一个 形。

在展开的过程中，有没有相等关系的量？圆锥的底面圆展开后到哪去了？母线呢？

这个扇形的半径是圆锥的 ，弧长是底面圆的 。

三、精例展示，合作探究

1、已知圆锥的底面半径为r，母线为a

（1）请用r和a表示扇形的弧长以及扇形的面积。 （2）请用r和a表示圆锥的侧面积以及圆锥的表面积。 （注意哟：表面积=侧面积+底面积）

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2、一种烟囱帽是圆锥形，它所对应的圆锥的的底面直径是80cm，母线长50cm，求这种烟囱帽的侧面积（精确到1cm2） O

四、课堂训练营 1、（2010福建德化）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长为6cm，则侧面积为

2

________cm．（结果保留π） 2、（2010福建省晋江）已知圆锥的高是30cm，母线长是50cm，则圆锥的侧面积是 . 3、（2010山东省济宁）如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将

留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ） A．6cm

剪去 4、（2009仙桃）现有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为

了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为（ ）．

A.9° B.18° C.63° D.72°

15

13B．35cm C．8cm D．53cm

5、用硬纸片制作一个有底面的圆锥，要求圆锥的底面半径为5cm，母线长12cm，需要先剪出一个扇形和圆，试确定扇形的圆心角的大小（精确到1°），并求圆锥的表面积（精确到0.1cm2）

补充作业：

蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的.如果想在某个牧区搭建15个底面积为33m2,高为10m(其中圆锥形顶子的高度为2m)的蒙古包.那么至少需要用多少m2的帆布?(结果精确到0.1m2)

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课题：第二十七章 圆（一）回顾与反思

一、小组交流，自主讨论

同学们，本章的内容已经结束了，你掌握的怎么样呢？下面以小组为单位，同学们思考并交流，完成本章的知识结构图。

二、探究复习，回顾旧知，并知识建构。

能力锻炼与提升（一）—— 圆中的有关概念和性质 一、知识点回顾：

1.确定一个圆有两要素，一是 ，二是 ，圆心确定 、半径确定 ； 2.圆既是 对称图形，又是 对称图形；它的对称中心是 ，对称轴是 ，有 条对称轴。

3.在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等。 题1：如图，AB、CD是⊙O的两条弦

① 若AB=CD， 则有 = ， = ② 若 = AB CD ，则有 = ， = ③ 若∠AOB=∠COD， 则有 = ， =

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AOBCD 4.在在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角 ，相等的圆周角所对的弧 ，同弧或等弧所对圆周角是其所对的圆心角的 。

题2.如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠CAB＝∠CBA，∠COB与∠COA相等吗？为什么？

题3．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝30°，则∠BOC= °， ∠OBC= °

5.半圆或直径所对的圆周角都是 °，90°的圆周角所对的弦是圆是 。 题4. 1、如图，AB是⊙O的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °，∠ABD= °

2、如图，⊙O的直径AB=10，弦BC=5，∠B= °

AOBCDCAOB6.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对两条的弧。 即：如图，若AB⊥CD，则有AP PB，AC CB，AD=

D

题5．在前面的条件下，若CD=10，AB=8， 求PC的长？ O

18 ACPB︵︵

题6.某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少？

7．（1）确定圆的条件： 三个点确定一个圆．

（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的 ，圆心就是 的交点，叫做三角形的外心．

题7. 在△ABC中，∠A=62°，点I是外接圆圆心，则∠BIC=___________ 8. 与圆有关的角

（1）圆心角： 叫圆心角． 圆心角的度数等于它所对的弧的度数． （2）圆周角： 的角，叫圆周角．

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半． （3）圆心角与圆周角的关系．

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ． 题8.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（ ） A．60 C．30

○

B．45 D．15

○

○

○

二、基础达标练习

1、“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长（ ） A．12．5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸

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2、如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（ ） A．50° B．80° C．100° D．130°

3、如图，MN所在的直线垂直平分弦A B，利用这样的工具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心

4．如图1－3－9，已知AB是⊙O的直径，AD ∥ OC，∠BAD的度数为80°，则∠BOC=_________.

5．如图1－3-10，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中和∠1相等的角有___ .

6．如图1－3－l1，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.

能力锻炼与提升（二）—— 圆中的有关计算 一、知识点回顾： 1.弧长的计算

如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么，弧长l?

20

题1．填表：

半径r 10 5 圆心角度数n 36° 120° 弧长l 2? 12? （圆周率用?表示即可）

2.扇形面积计算：

方法一：如果已知扇形圆心角为n，半径为r，那么扇形面积

s?

方法二：如果已知扇形弧长为l，半径为r， 那么扇形面积

s? 题2．填表：

3、圆锥的侧面积与表面积

（1）如图1：h为圆锥的 ，l为圆锥的 ，r为圆锥的 ， 由勾股定理可得：l、h、r之间的关系 为：

（2）如图2：圆锥的侧面展开后一个 ：圆锥的母线是扇形的 ，而扇形的弧长恰好是圆锥底面的 。

21

圆锥的侧面积就是圆锥的侧面展开后的扇形的 。

圆锥的表面积= +

题3．看图1、填表

图2

二、基础达标练习：

1．在半径为3的⊙O中，弦AB=3，则AB的长为

2．圆锥底面半径为6cm，母线长为10cm，则它的侧面展开图圆心角等于 ，表面积为 ； 3．已知扇形的圆心角为150°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径是 cm，扇形的面积是 cm；

4．一个圆锥的侧面展开图形是半径为4cm 的半圆, 那么这个圆锥的底面半径等于__ _cm.；

5．若圆锥的底面半径为 3，母线长为5，则它的侧面展开图的圆心角等于 （ ）

A． 108° B． 144° C． 180° D． 216°

6．若圆锥的底面直径为6cm，母线长为5cm，那么圆锥的侧面积为（ ）

A. 7.5πcm B. 30πcm C. 15πcm D. 22.5πcm

22

2

2

2

2

2

能力提高训练

1. 用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（ ）

2.如图，把直角三角形 ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B′C″的位置，设BC=1，AC=3 ，则顶点A运动到 A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是____________（计算结果不取近似值）

3.如图，阴影部分是某一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别为20cm，10cm、∠AOB＝120㎝，求这个广告标志面的周长．

4.在Rt△ABC中，∠C=90o，AB=5，BC=3，以AC所在直线为轴旋转一周，求所得圆锥的侧面展开图的面积.

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