第一章 行 列 式- 实验教学示范中心

第一章 行 列 式

【课题】 第1 讲 排列及其逆序数、【学时数】 2

【教学目的】1.理解排列及其逆序数的概念；

2.熟练掌握二、三阶行列式的计算

【教学重点】 二、三阶行列式的计算 【教学难点】 三阶行列式的展开式 【教学过程】

n阶行列式的定义

§1.1 排列及其逆序数

一、 排列与逆序的概念

1、排列

问：现在给 1,2,3,4，四个数字，能够组成多少个没有重复数字的四位数？4!?24个，4231就是一个，且是一个排列，1234称为标准排列．

下面一般的给出定义

定义1.1.1 由1,2,?,n这n个数组成的一个有序数组称为一个n阶排列，记为

p1p2?pn，其中排列12?n称为标准排列.

1,2,?,n的n阶排列共有 n?n?1??n?2?2、逆序数 定义1.1.2

2?1?n! 个.

逆序 在一个n阶排列中，当某二个数，较大的排在较小的前面，则称这两个数有一个

逆序，

逆序数 这个n阶排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数.

排列p1p2?pn的逆序数记为??p1p2?pn?

偶排列 当逆序数为偶数时，称这个排列为偶排列，

奇排列 当逆序数为奇数时，称这个排列为奇排列.

若pi?i?2,3,?,n?的前面有ti个比它大的数，就说pi的逆序数是ti. 则排列

p1p2?pn的逆序数为： t2?t3???tn??ti.

n??51?1?3?0?5， 是奇排列； 例1 ??4231??1?1?3?3?8， 是偶排列； ??53412 问：??12345??0 ， 是偶排列.

i?2??12?n??0 是偶排列. 标准排列的逆序数为0.

二、 对换及性质

对换 在排列中, 对调任意两个元素, 其余元素位置不变, 而得到新排列的做法叫做对换，相邻两个元素的对换, 叫做相邻对换.

??1?1?3?0?5???41325??1?1?2?0?4 为偶排列 现看 ??42315??1?1?3?3?8???54312??1?2?3?3?9 为奇排列 ??53412性质1 一个排列中，任意对换两数，则排列改变奇偶性. 证 （见书 略）

性质2

偶排列变成标准排列的对换次数为偶数， 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数.

例如 32154?????12354?????12345

证 （可略） 因为标准排列的逆序数为0，是偶数，再由定理1.1.1知对换一次，奇偶性改变一次，从而偶排列变为偶排列，其对换次数应为偶数，奇排列变为偶排列，其对换次数为奇数.

1,3对换5，4对换§1.2 n阶行列式的定义

一、 二阶与三阶行列式

1、二阶行列式

用消元法解二元一次方程组 ??a11x1?a12x2?b1, （1）

?a21x1?a22x2?b2.为消去未知数x2,以第一个方程乘以a22减去第二个方程乘以a12,得

?a11a22?a12a21?x1?b1a22?b2a12，

类似地可消去x1,得 ?a11a22?a12a21?x2?b2a11?b1a21， 当a11a22?a12a21?0时,求得

x1?b1a22?b2a12,a11a22?a12a21x2?b2a11?b1a21. (2)

a11a22?a12a21为了便于记忆,引入下面定义.

定义1.2.1 由四个数a11,a12,a21,a22,排成二行二列 (横排为行,竖排为列) 的数表

a11a21a12a22所确定的表达式 a11a22?a12a21 称为二阶行列式,记为

D?a11a21a12a22?a11a22?a12a21 . (3)

其中数aij?i?1,2;j?1,2?称为行列式(3)的元素,第一个下标i称为行标, 第二个下标j称为列标, 数aij表示是位于行列式的第i,第j列的元素.

如图1.1中a11至a22的实联线称为主对角线, a12至a21虚联线称为副对角线,于是二阶行列式的值等于主对角线上两个元素的乘积减去副对角线上二个元素的乘积, 这种计算方法称为二阶行列式的对角线法则.

图1.1

例1 计算二阶行列式 D＝32＝15???4?＝19.

?25利用行列式的定义, (2)式中的分子也可写成二阶行列式,即

b1a22?a12b2?若记 D?可写成

b1b2b1b2a12a22a12a22a12,b2a11?b1a21?,D2?a11b1a11b1a21b2.

a11a12a21a22,D1?a21b2a11, 则(2)式, 即方程组(1)的解

b1x1?b1ba22D1?2,a11a12Da21a22x2?ab2D2?21. a11a12Da21a22注意, 这里的分母D是方程组(1)中的未知数的系数按原次序排列而成的二阶行列式,

D1是用常数项b1,b2替换D中x1的相应系数a11,a21而得到的二阶行列式, D2是用常数项b1,b2替换D中x2的相应系数a12,a22而得到的二阶行列式.

例2 解二元一次方程组

?3x1?x2?5, ??2x1?4x2??6.解 由于

31??12?2??14?0;

2?451D1???20???6???14;

?6?435D2???18?10??28;

2?6D?所以 x1?D1?14D?28?1, x2?2???2. ?14DD?14下面类似的定义三阶行列式. 2、三阶行列式

定义1.2.2 由3?9个数排成三行三列的数表

2a11a12a13 a21a22a23 (4)

a31a32a33a11并记 D?a21a12a22a32a13a23 a33a31

?a11a22a33?a13a21a32?a12a23a31?a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32 (5)

则(5)式称为数表(4)所确定的三阶行列式.

三阶行列式所含6项的元素及符号可按图1.2记忆，即三阶行列式的值等于各实线上三个元素乘积之和减去各虚线上三个元素乘积之和. 这种计算方法称为三阶行列式的对角线法则.

图1.2

例3 计算三阶行列式

1 D?02345?24?(?10)?0?(?12)?0?0?26

?106从三阶行列式的展开式中，我们看出有如下的规律（现只用三阶行列式说明）： （1）三阶行列式是一个数，它为3！=6项的代数和.

（2）每一项都是三个元素的乘积，这三个元素是取自不同行及不同列的元素，且每行每列只能有一个元素.

（3）对于项a1p1a2p2a3p3，其中p1p2p3为数1,2,3的一个全排列，当??p1p2p3?为偶数时a1p1a2p2a3p3前面取正号；当??p1p2p3?为奇数时a1p1a2p2a3p3前面取负号；这样三阶行列式的每一项可以写成??1?所以, 三阶行列式可写成

?(p1p2p3)a1p1a2p2a3p3.

a11a21a31a12a22a32a23????1?a33

a13??p1p2p3?a1p1a2p2a3p3.

二、 n阶行列式的定义

定义1.2.3 由n个数, 排成n行n列的数表

2a11a21?an1并记

a12?a1na22?a2n??an2?ann

a11 D?a12a22an2a1na2nann????1??(p1p2pn)a21an1a1p1a2p2anpn. (6)

称此式为上述n行n列的数表所确定的n阶行列式.

其中p1p2?pn为1,2,?,n的一个排列，?表示对一切n阶排列求和；(6)式右边的和式称为n阶行列式D的展开式；显然D的展开式中共有n!项，其中每一项都是取自D的不同行、不同列的n个元素的乘积，而且每个乘积项前面所带符号的规律为：当逆序数

??p1p2?pn?为偶数时取正号，而当逆序数??p1p2?pn?为奇数时取负号.

行列式有时简记为D?det?aij?, aij?i?1,2,?,n;j?1,2,?,n?表示行列式D中第i行第j列的元素.

特别的, 当n?1时，a11?a11称为一阶行列式，注意不要与绝对值记号相混淆. 主对角线以下(上)的元素都为0的行列式叫做上(下)三角行列式.

例4 证明下三角行列式

a11a21D?a31?an10a22a32?an200a33????000?a11a22?ann. ?an3?ann证 由行列式定义，其展开式的一般项为 a1p1a2p2?anpn,

在D中，第一行只有a11可能不为0，则取p1?1 ；第二行中，只有a21,a22可能不为0，而a11已经取了，所以a21不能取(与a11同列)，故只能取a22，即p2?2 ；这样继续下去，D中可能不为0的项只有一项 ??1???12?n?a11a22?ann.

又由于??12?n??0为偶数，符号取正，所以得

D?a11a22?ann.

例如

23D =

120420003100?2?4?3?5?120 05

同理有上三角行列式

a11D?0?0类似可推得

a12a22?0a13?a1na23?a2n?a11a22?ann.

??0?ann

aa?D2n??bbabba?a?bb.

aa?ba?bc1?c2n解 Dbb?a?bba?ba?a?b?aaba?bb?a?b0?0ba?b?a?ba?b?

?

c2?c2n?1?cn?cn?1a?ba?br2n?r1

r2n?1?r2?rn?1?rn0?(a?b)n(a?b)n?(a2?b2)n

小结：本次课我们学习了行列式的性质，重点要掌握如何灵活应用行列式的性质来计算行

列式。

作业：P24～25 习题一 5(6)～(9)、6(1)～(3)

【课题】 第3 讲 行列式按行（列）展开 【学时数】 2

【教学目的】1.理解行列式的余子式和代数余子式的概念；

2.熟练掌握按某行(列)展开行列式来计算行列式； 3.熟练掌握按k行(列)展开行列式来计算行列式

【教学重点】按某行(列)展开行列式来计算行列式 【教学难点】按某行(列)展开行列式来计算行列式 【教学过程】

§1.4 行列式按行（列）展开

上一节，用行列式的性质，把行列式化为三角（或下三角）行列式的方法计算行列式的值，下面要介绍的内容就是如何把高阶行列式化为低阶行列式来计算的方法.

现看三阶行列式

a11D?a21a31a22a32a12a22a32a23a33a13a23a33?a11a22a33?a13a21a32?a12a23a31?a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32

?a11?a22a33?a23a32??a12?a21a33?a23a31??a13?a21a32?a22a31??a11

?a12a21a31a23a33?a13a21a31a22a32

一、 行列式的余子式和代数余子式

定义1.4.1 在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，由剩下的元素按原有的次序构成的n?1阶行列式称为aij的余子式，记为Mij. 令 Aij?(?1)Mij，称为元素aij的代数余子式.

a22a23aaaa例如 D?a11?a122123?a132122 中

a32a33a31a33a31a32a22a32a23a33是a11的余子式，其代数余子式为

i?jA11???1?1?1a22a32a23a33?a22a32a21a31a21a31a23a33

类似 a12的代数余子式为A12???1?1?2a23a21??a33a31a22a21?a32a31a23 a33a22 a32a13的代数余子式为A13???1?1?3a11所以 D?a21a12a22a32a13a23?a11A11?a12A12?a13A13 a33a31二、行列式按某行（列）展开

定理1.4.1 n阶行列式D?det?aij?等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代

数余子式乘积的和，即

D?ai1Ai1?ai2Ai2??ainAin,(i?1,2,,n).或 D?a1jA?anjAnj,(j?1,2,,n). 1j?a2jA2j?

定理1.4.2 n阶行列式D?detaij的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于零，即

??ai1Ak1?ai2Ak2???ainAkn?0,(i?k)， 或 a1jA(j?k). 1k?a2jA2k???anjAnk?0,证 作一个行列式D1，使D1的第i行与第k行的对应元素相同，即

a11a12a1nai1D1?ai1ai2ainan2?第k行?ai2ain?第i行?,

an1an2由行列式性质2推论知D1?0，再将D1按第k行展开，就有

ai1Ak1?ai2Ak2???ainAkn?0,同理可证 a1jA1k?a2jA2k???anjAnk?0,(i?k)，

(j?k)，

综合上面两个定理的结论，得到代数余子式的重要性质：

?D,aA???ijkjj?1?0,n?D,对列而言 ?aijAik??i?1?0,n对行而言

(i?k),

(i?k).(j?k),

(j?k).例1 计算4阶行列式

31?1251?11?513?4c1?2c3?1113?1 D?201?1c4?c300101?53?3?5?530511511r?r2按r3按c33?31?3?621??1??1?111?1??1??620?40

?5?5展开?5?50?5?50.

例2 计算4阶行列式

a?baaaaa?baa. D4?aaa?caaaaa?cbb00b000解 Dr1?r2aa?baac?2c1a?ba4aaa?caa0?ac

aaaaaa?ca0a?ac?baa按r1展开b???1?1?10a?ca按c1展开?b2???1?1?1a?c0aa?ca??b2[(a2?c2)?a2]?b2c2.

例3 证明范德蒙德（Vandermonde）行列式

1111x1x2x3xnDn?x21x22x23x2n?1??j?i?n(xi?xj)

xn?11xn?1xn?1xn?123n这里

1?jΠ?i?n(xi?xj)?(x2?x1)(x3?x1)(xn?x1)

?(x3?x2)(xn?x2)

?(xn?xn?1).

证 用数学归纳法： （1）当n = 2时，D2?11xx2?x1. 所以,命题成立.

1x?2（2）假设对于n?1阶范德蒙德行列式结论成立，即

Dn?1?1?j??i?n?1(xi?xj).

现证明对于n阶行列式也成立.

对Dn从第n行起，各行减去前一行的x1倍，得到

111?10(x2?x1)(x3?x1)?(xn?x1)Dn?0x2(x2?x1)x3(x3?x1)?xn(xn?x1)

????0xn?2(xn?2(xn?222?x1)x33?x1)?xn(xn?x1)aa?c

1按c1展开,并提取各列的公因子1x3???1xn ??x2?x1??x3?x1???xn?x1?x2?n?2x2n?2n?2x3?xn由假设(x2?x1)(x3?x1)(xn?x1)?(xi?xj)??(xi?xj) 成立.

2?j?i?n1?j?i?n例4 计算n阶行列式

11Dn?1??n!22325?233335??j2???各列提n!1n5公因子??nn31112224?13234????1n2n4?.

122n?132n?1?n2n?11?j?i?n122n?232n?2?n2n?2??i?

三、行列式按k行（列）展开

定义1.4.2 在n阶行列式D中，任意选定k行及k列(1?k?n)，位于这些行及列交叉处的k2个元素，按原来顺序构成一个k阶行列式N，称为D的一个k阶子式.划去这k行,k列后，余下的元素按原来的顺序构成一个n?k阶行列式M，叫做k阶子式N的余子

式；假定N所在的行的序数是i1,i2,?,ik，所在的列的序数是j1,j2,?,jk，那么

(?1)i1,?i2?叫做k阶子式N的代数余子式.

?ik?j1?j2??jkM.

定理1.4.3（拉普拉斯定理）若在n阶行列式D中，取定某k行(1?k?n)，则这k行的元素组成的所有k阶子式分别与它们的代数余子式的乘积之和等于D.（证明略）

31例4 利用拉普拉斯定理计算四阶行列式D?00N1?2603505500. 46解 取定第一、二行，且不为零的二阶子式只有3个，即

323525?16，N2???5，N3???30. 1610601?2?1?2其对应的代数余子式分别为

5441?2?1?30A1?(?1)?10，A2?(?1)?12，

563604A3?(?1)1?2?2?3?0,

06因而有 D?N1A1?N2A2?N3A3?16?10???5??12???30??0?100.

例5 设

D?D1C0D2a11?a1k, 其中 D1??b11?b1nak1?, D???. ?akkbn1?bnn证明： D?D1?D2.

??1?1???r?1???rD2?D2, 所以, 由拉普拉斯定理得 D?D1?D2.

20100证 将D按前k行展开, 因为前k行的k阶子式除D1外全为零,而D1的代数余子式是

1210020135??8?1?2??2?14 例6 求 D?01200?121?242613501230924

小结：本次课我们学习了按某行(列)展开行列式和按k行(列)展开行列式来计算行列式。 作业：P24～25 习题一 7(1)～(4)

【课题】 第4 讲 克莱姆法则 【学时数】 1

【教学目的】1.熟练掌握用克莱姆法则解线性方程组；

2.熟练掌握用克莱姆法则解齐次线性方程组

【教学重点】用克莱姆法则解线性方程组 【教学难点】用克莱姆法则解线性方程组 【教学过程】

§1.5 克莱姆法则

现在，我们应用n阶行列式来解含有n个未知量的n个线性方程的方程组.

一、克莱姆（Cramer）法则

定理1.5.1 （克莱姆法则）若线性方程组

?a11x1?a12x2??ax?ax??211222 ????an1x1?an2x2?的系数行列式

?a1nxn?b1,?a2nxn?b2,?annxn?bn. （1）

D?a11a21?an1a12?a1na22?a2n??an2?annx1??0.

则方程组有且仅有唯一解

D1DD,x2?2,?,xn?n. DDD这里Di是把D的第i列元素a1i,a2i,?,ani换成方程组（1）的常数项b1,b2,?,bn得到的行

列式.

证

Dx1?a11x1a21x1?an1x1a12a22?an2?a1n?a2n??ann

a11x1?a12x2???a1nxnc1?xjcj(j?2,3,?,n)a12?a1na22?a2n??an2?ann

a21x1?a22x2???a2nxn?an1x1?an2x2???annxn?b1b2?bna12a22?an2?a1n?a2n??ann?D1.

可类似推得 Dxi?Di,当D≠0时，有

(i?2,,n),

DD1D,x2?2,?,xn?n. （2） DDD这就证明了：线性方程组（1）当D≠0时，如果有解，那么就只是（2）式.

x1?现在验证（2）式是方程组（1）的解，也就是要证明

D1DD?ai22???ainn?bi,(i?1,2,,?,n)， DDD即 ai1D1?ai2D2???ainDn?biD.

考虑有两行相同的n?1阶行列式

biai1ainai1b1B?b2bna11a21an1a1na2n?0,ann(i?1,2,,n),

按第一行展开. 由于第一行第j?1列的元素aij的代数余子式为

b1A1j?1???1?1?j?1a11a21an1a1j?1a2j?1anj?1a1j?1a2j?1anj?1a1na2nann,

b2bn把A1j?1的第1列依次与第2列、第3列、…、第j列互换，有

A1j?1?(?1)2?j?(?1)j?1Dj??Dj,

所以有

biD?ai1D1???ainDn?0,这就表明了（2）式就是方程组（1）的解. 学生总结用克莱姆法则解线性方程组的步骤：

例1 解线性方程组

(i?1,2,?,n).

?x1?x2?x3?2x4?2?2x?x3?4x4?4?1 ?3x?2x?x??123?1???x1?2x2?x3?2x4??4解 计算系数行列式

D?1?11?21?11?220?14r4?r120?143?1221?10230211000

11?2?20?2按r42?14＝504＝?2?0展开3103102?11?2121?240?1424?14D1?＝?2， D2＝＝4

?12103?110?42?12?1?4?121?12?21?112204420?14D3＝＝0 D4???1

32?10321?1?12?42?12?1?4所以有唯一解

x1?D1?2??1,D?2D30??0,D?2x2?D24???2 D?2D4?11?? D?22x3?x4?推论 若已知方程组（1）无解，或解并非唯一，则其系数行列式D=0.

二、克莱姆法则的推论

如果方程组（1）的常数项b1?b2???bn?0，即

?a11x1?a12x2??ax?ax??211222 ????an1x1?an2x2?称为齐次线性方程组.

显然，x1?0,x2?0,?,xn?0是方程组（3）的解，称为方程组（3）的零解. 如果方程组（3）除零解外，还有不全为零的x1,x2,?,xn为其解，这种解称为方程组（3）的非零解.

由克莱姆法则，可得出下面两个推论：

推论1 齐次方程组（3），当其系数行列式D?0时，其只有零解. 推论2 若齐次线性方程组（3）有非零解，则其系数行列式D=0. 例2 问?,?为何值时，齐次线性方程组

?a1nxn?0，?a2nxn?0，?annxn?0. （3）

??x1?x2?x3?0??x1??x2?x3?0 ??x?2?x?x?023?1有非零解？

解 要其有非零解，则系数行列式D = 0，而

??11?2?0??11?2?D?1?10??0???????1?

r?r0??12?12312?111r1?r3???1,??0时D?0

所以 ??1,??0时，方程组有非零解

因为

练习 k为何值时方程组有非零解

kx1?x4?0k0??x1?2x2?x4?012? ? D?k?2?1??k?2?x1?x2?4x4?0?21?2x1?x2?3x3?kx4?0

010?1????3?5k?5?

043k小结：本次课我们学习了用克莱姆法则解线性方程组和齐次线性方程组 作业：P24～25 习题一 8(1)～(3)、9

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