新华师大版九年级数学下册导学案（全套）

华师大第27章二次函数全章导学案

第二十七章 二次函数 第1课时 27.1 二次函数

一、学习目标：

1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 二、知识点：

一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________． 三、基本知识练习

3

1．观察：①y＝6x2；②y＝－2 x2＋30x；③y＝200x2＋400x＋200．这三个式

子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________．

2．函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数．

3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y＝1－3x2 （2）y＝3x2＋2x （3）y＝x (x－5)＋2 （4）y＝3x3＋2x2 1

（5）y＝x＋x

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四、课堂训练 1．y＝(m＋1)x

m2?m－3x＋1是二次函数，则m的值为_________．

2．下列函数中是二次函数的是（ ） 1

A．y＝x＋2

B． y＝3 (x－1)2

1

D．y＝x2 －x

C．y＝(x＋1)2－x2

3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为 s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A．28米 B．48米 C．68米 D．88米 4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球

队数n之间的关系式_______________________． 5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3． 求：（1）函数y与x的函数关系式；

1

（2）当x＝4时，y的值；（3）当y＝－3 时，x的值．

6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

五、目标检测

1．若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数，则（ ） A．a＝1 B．a＝±1 C．a≠1 D．a≠－1 2．下列函数中，是二次函数的是（ ） A．y＝x2－1

B．y＝x－1

8C．y＝x

8

D．y＝x2

3．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式． 4．已知二次函数y＝－x2＋bx＋3．当x＝2时，y＝3，求 这个二次函数解析式．

第2课时 二次函数y＝ax2的图象与性质

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一、学习目标：1．知道二次函数的图象是一条抛物线；

2．会画二次函数y＝ax2的图象；3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．

二、探索新知：

画二次函数y＝x2的图象．

【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】 列表：

x y＝x2

? ?

－3 －2 －1

0

1

2

3

? ?

描点，并连线

由图象可得二次函数y＝x2的性质：

1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．

2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．

3．自变量x的取值范围是____________．

4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．

5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线y＝x2的_________．

因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________． 6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”） ． 三、例题分析

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1

例1 在同一直角坐标系中，画出函数y＝2 x2，y＝x2，y＝2x2的图象． 解：列表并填：

? －4 －3 －2 －1

12

y＝ x ?

2

x 0

1

2

3

4

? ?

y＝x2的图象刚画过，再把它画出来．

x ? －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ? 2

y＝2x ? ?

1

归纳：抛物线y＝2 x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a_______0；顶点都是

__________；

对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．

1

例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－2 x2， y＝－2x2的图

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象．

列表：

x y＝x2

? ? ? ?

－3 －4

－2 －3

－1 －2

0 1 2 3 ? ?

x 12

y=－ x

2

－1 0 1 2 3 4 ?

?

x

y＝－2x2 ? ? －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ? ?

1

归纳：抛物线y＝－x2，y＝－2 x2， y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是______，对称轴是_________，顶点是抛物线的最_______点（填“高”或“低”） ． 四、理一理

1．抛物线y＝ax2的性质

图象（草图） a＞0

开口

方向

对称

顶点

轴

有最高或最低点

最值 当x＝____时，y有最_______值，是______． 当x＝____时，y有最_______值，是______．

a＜0

2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称，因此，抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_______对称，开口大小_______________．

3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越______；当a＜0时，｜a｜ 越大，抛物线的开口越_____； 因此，｜a｜ 越大，抛物线的开口越____，反之，｜a｜ 越小，抛物线的开口越________． 五、课堂训练 1．填表：

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22y＝ x 3y＝－8x

2

开

口顶对称方点 轴 向

有最高或

最低点

最值

当x＝____时，y有最_______值，是______．

2．若二次函数y＝ax2的图象过点（1，－2），则a的值是___________． 3．二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下，则m____________． 4．如图， ① y＝ax2 ② y＝bx2 ③ y＝cx2 ④ y＝dx2

比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接． ___________________________________ 六、目标检测

3

1．函数y＝7 x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________， 当x＝___________时，有最_________值是_________． 2．二次函数y＝mx

m2?2有最低点，则m＝___________．

3．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值 范围为___________．

4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．

第3课时 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质

一、学习目标：1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；2．掌握

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二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；

3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．

二、探索新知：在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．

解：先列表

x ? －3 －2 －1 0 1 2 3 ?

2

y＝x＋1 ? ?

描点并画图

y＝x2－1 ? ?

观察图象得：

1．

开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 最值

y＝x2 y＝x2－1 y＝x2＋1

2．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．

3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________． 三、理一理知识点 1．

开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点

最值

y＝ax

a＜0时，当x＝______时，y有最___值为________．

增减性

2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；

抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________． 因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________；

把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．

2

y＝ax＋k

a＞0时，当x＝______时，y有最___值为________；

2

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3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状

__________，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状__________________．

四、课堂巩固训练

1．填表

函数 y＝3x y＝－3x2＋1 y＝－4x2－5

2

草顶最

开口方向 对称轴 对称轴右侧的增减性 图 点 值

2．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．

3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．

4．抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________． 五、目标检测

1．填表

开口方向

y＝－5x2＋3

函数 y＝7x2－1

顶点 对称轴 最值

对称轴左侧的增减性

11

2．抛物线y＝－3 x2－2可由抛物线y＝－3 x2＋3向___________平移_________个单位得到的．

3．抛物线y＝－x2＋h的顶点坐标为（0，2），则h＝_______________． 4．抛物线y＝4x2－1与y轴的交点坐标为 ，与x轴的交点坐标为_____．

第4课时 二次函数y＝a(x-h)2的图

象与性质

一、学习目标：

1．会画二次函数y＝a（x-h）2的图象；2．掌握二次函数y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用； 1

二 、探索新知： 画出二次函数y＝－2 (x＋1)2，y

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1

－2 (x－1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．

先列表：

x

1

y＝－ (x＋1)2

21

y＝－ (x－1)2

2

描点并画图． 1．观察图象，填表：

? －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ?

? ?

?

?

函数 1

y＝－ (x＋1)2

21

y＝－ (x－1)2

2

开口方向 顶点

对称轴

最值

增减性

1

2．请在图上把抛物线y＝－2 x2也画上去（草图）．

111

①抛物线y＝－2 (x＋1)2 ，y＝－2 x2，y＝－2 (x－1)2的形状大小____________．

11

②把抛物线y＝－2 x2向左平移_______个单位，就得到抛物线y＝－2 (x＋1)2 ； 11

把抛物线y＝－2 x2向右平移_______个单位，就得到抛物线y＝－2 (x＋1)2 ． 三、整理知识点 1．

开口方向 顶点 对称轴 最值

y＝ax2

y＝ax2＋k y＝a (x-h)2

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增减性

（对称轴左侧）

2．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状______，只是_____不同． 四、课堂训练

1．填表

图象（草图）

12y＝ x 2y＝－5 (x＋3) y＝3 (x－3)2

2

开口

顶点

方向

对称轴

对称轴

最值

右侧的增减性

2．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是_____，与x轴的交点坐标为_____． 3．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为_______．

2

把抛物线y＝3x向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为______．

1

4．将抛物线y＝－3 (x－1)x2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为． 5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式 ___________________________． 五、目标检测

1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口__________；顶点坐标为__________________；

对称轴是____；当x＞－3时，y______；当x＝－3时，y有___值是______．

2

2．抛物线y＝m (x＋n)向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x2

－4)，则m＝__________，n＝___________．

3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．

4．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．

第5课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k

的图象与性质

一、学习目标：1．会画二次函数的顶点式y＝a (x－h)2＋k的图象；2．掌握二次函数y＝a (x－h)2＋k的性质；3．会应用二次函数y＝a (x－h)2＋k的性质

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解题．

二、探索新知：

1

画出函数y＝－2 (x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．

列表：

x

12

y＝－ (x＋1)－1

2由图象归纳： 1．

函数

12

y＝－ (x＋1)－1

2

开口

顶点

方向

对称轴

最值

增减性

? ?

－4

－3 －2

－1

0

1

2

? ?

1

2．把抛物线y＝－2 x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______1

个单位，就得到抛物线y＝－2 (x＋1)2－1． 三、理一理知识点

y＝ax

2

y＝ax＋k

2

y＝a (x-h)

2

y＝a (x－h)＋k

2

开口方向 顶点

对称轴

最值

增减性（对称轴右侧）

2．抛物线y＝a (x－h)2＋k与y＝ax2形状_________，位置________________．

四、课堂练习 1．

开口方向 顶点 对称轴

1222

y＝3x y＝－x＋1 y＝ (x＋2)2 y＝－4 (x－5)－3

2

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最值

增减性（对称轴左侧）

2．y＝6x2＋3与y＝6 (x－1)2＋10____________相同，而____________不同．

1

3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝2 x2相同的解析式为（ ）

1

A．y＝2 (x－2)2＋3 1

C．y＝2 (x＋2)2＋3

1

B．y＝2 (x＋2)2－3

1

D．y＝－2 (x＋2)2＋3

4．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________．

5．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，

得到抛物线的解析式为_______________________．

6．若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且x＝1时，y＝－3，求a、k的值．

7．若抛物线y＝a (x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为 __________________． 五、目标检测

1． 开口方向 顶点 对称轴

y＝x＋1 y＝2 (x－3)

22

2

y＝－ (x＋5)－4

2．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最______值是________．

3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似A B C D 地用下列哪幅图表示（ ）

4．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所

得抛物线的表达式为________________________．

5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向

下，则这条抛物线的解析式为________________________．（任写一个）

第6课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质

一、学习目标：

1．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；

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2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式；3．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象． 二、探索新知：

1

1．求二次函数y＝2 x2－6x＋21的顶点坐标与对称轴．

1

解：将函数等号右边配方：y＝2 x2

－6x＋21

1

2．画二次函数y＝2 x2－6x＋21的图象．

1

解：y＝2 x2－6x＋21配成顶点式为_______________________． 列表：

x ? 3

4

5

6

7

8

9

? ?

12

y＝ x－6x＋21 ? 2

3．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴． 三、理一理知识点：

开口方向 顶点

y＝ax2 y＝ax2＋k y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c

对称轴

增减性 （对称轴左侧）

四、课堂练习

最值

1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．

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2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．

3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．

4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．

五、目标检测

1

1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝2 x2－2－1的顶点坐标． 2．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．

第7课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质

一、复习知识点：第6课中“理一理知识点”的内容． 二、学习目标：

1．懂得求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法；2．知道二次函数

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中a，b，c以及△＝b2－4ac对图象的影响． 三、基本知识练习

1．求二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为___，与x轴的交点坐标___． 2．二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为______，对称轴为______________． 3．一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式△＝______________． 4．二次函数y＝x2＋bx过点（1，4），则b＝________________． 5．一元二次方程y＝ax2＋bx＋c（a≠0），△＞0时，一元二次方程有________， △＝0时，一元二次方程有_________，△＜0时，一元二次方程_______________． 四、知识点应用

1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（含y＝0时，则在函数值y＝0时，x的值是抛物线与x轴交点的横坐标）．

例1 求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标．

2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点（含x＝0时，则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标）．

例2 求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标．

3．a、b、c以及△＝b2－4ac对图象的影响．

（1）a决定：开口方向、形状 （2）c决定与y轴的交点为（0，c）

b

（3）b与－2a 共同决定b的正负性

??0与x轴有两个交点? （4）△＝b2－4ac??0与x轴有一个交点

??0与x轴没有交点? 例3 如图，

例4 已知二次函数y＝x2＋kx＋9．

①当k为何值时，对称轴为y轴；

②当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点； ③当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点． 五、课后练习

由图可得： a_______0 b_______0 c_______0 △______0

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1．求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________，与y轴的交点坐标为_______．

2．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝__________． 3．如图： 由图可得： a_______0 b_______0 c_______0

△＝b2－4ac______0

六、目标检测

1．求抛物线y＝x2－2x＋1与y轴的交点坐标为_______________．

2．若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点，求m的范围．

3．如图：

由图可得：a _________0 b_________0 c_________0

△＝b2－4ac_________0

第8课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法

一、学习目标：1．会用待定系数法求二次函数的解析式；2．实际问题中求二次函数解析式．

二、课前基本练习

1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为____________．

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2．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为 ．

3．将抛物线y＝－(x－1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为____________________．

1

4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－2 x2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解析式为________________________________． 三、例题分析

例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．

例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式． 例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）． 求抛物线的解析式． 四、归纳

用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：

1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．

2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．

3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标）， 设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标） 五、实际问题中求二次函数解析式

例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安

一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？

六、课堂训练

1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．

2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次

函数的解析式．

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3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与

y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．

4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A

开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．

A

P

BQ

七、目标检测

1．已知二次函数的图像过点A（－1，0），B（3，0），C（0，3）三点，求这

个二次函数解析式．

C第9课时 用函数观点看一元二次方程

一、学习目标：

1．知道二次函数与一元二次方程的关系． 2．会用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac判断二次函数 y

＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个数．

二、探索新知

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1．问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2． 考虑以下问题：

（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间？ 2．观察图象： （1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点，则

一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0；

（2）二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有_______个交点，则一元二次方程

x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝_______0；

（3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点，

则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△_______0．

三、理一理知识

1．已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程 __________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数 __________________的函数值为3的自变量x的值．

一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，

可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac． （1）当△＝b2－4ac＞0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；

（2）当△＝b2－4ac＝0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；

（3）当△＝b2－4ac＜0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．

四、基本知识练习

1．二次函数y＝x2－3x＋2，当x＝1时，y＝________；当y＝0时，x＝_______． 2．二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝________时，y＝3． 3．如图，

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0

的解为________________

第19页共88页

4．如图

5．如图

五、课堂训练

1．特殊代数式求值： ①如图 ②如图

一元二次方程ax2＋bx＋c＝3 的解为_________________

填空：

（1）a________0 （2）b________0 （3）c________0

（4）b2－4ac________0

看图填空：

（1）a＋b＋c_______0 （2）a－b＋c_______0 （3）2a－b _______0 2a＋b _______0

第20页共88页

4a＋2b＋c_______0

2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 （1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________； （2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________；

（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________；

（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________；

（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________；

（6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．

六、目标检测 根据图象填空： （1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0； （4）△＝b2－4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0； （6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0； （8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________； （9）当y＞0时，x的范围为___________； （10）当y＜0时，x的范围为___________； 七、课后训练

1．已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上，则k＝____________．

第21页共88页

2．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围___________．

3．已知函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程

ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等实数根 D．无实数根

4．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：

①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3； ③a＋b＋c＞0；

④当x＞1时，y随x的增大而增大．

正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）．

第10课时 实际问题与二次函数（1）

一、学习目标：

几何问题中应用二次函数的最值． 二、课前基本练习

1．抛物线y＝－(x＋1)2＋2中，当x＝______时，y有_______值是__________．

1

2．抛物线y＝ x2－x＋1中，当x＝_______时，y有_______值是__________．

23．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，当x＝_____时，y有____值是__________．

第22页共88页

三、例题分析：

用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？ 四、课后练习

1．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？

2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

3．如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC＋BD＝10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？ AD

E DC

A

BCF

4．一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12．用这块废料

剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应造在何处？

五、目标检测

如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形．当 GDC点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？

H

F ABEB第11课时 实际问题与二次函数（2）

商品价格调整问题

一、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．应用二次函数的性质解决问题． 二、探索新知

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？

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解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_______件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．

（2）设每件降价x元，则每星期多卖______件，实际卖出__________件． 三、课堂训练

1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？

2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：

上市时间x/（月份） 1 市场售价P（元/千克） 10.5 2 9 3 7.5 4 6 5 4.5 6 3

这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月

份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．

（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市

时间x（月份）的函数关系式；

（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的

函数关系式；

（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最

大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本） 四、目标检测

某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定介增加x元，求：

（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；

（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？

第12课时 实际问题与二次函数（3）

一、学习目标：1．会建立直角坐标系解决实际问题；2．会解决桥洞水面宽度问题．

二、基本知识练习

1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________________________________．

1

2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y＝－4 x2，当拱桥下水位线在AB位置时，水面宽为12m，这时水面离桥拱顶端的高度h是（ ）

A．3m B．26 m C．43 m

第24页共88页

D．9m 3．有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为46

米，水位上升4米，就达到警戒线CD，这时水面宽为43 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？

三、课堂练习

1．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m，跨度20m，图① 相邻两支柱间的距离均为5m．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），

2

其关系式y＝ax＋c的形式，请根据所给的数据求出a、c的值； （2）求支柱MN的长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的

一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．

2．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位

上升3m时，水面CD的宽是10m．

（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式． （2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此

桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

第13课时 二次函数综合应用

一、复习二次函数的基本性质 二、学习目标：

灵活运用二次函数的性质解决综合性的问题． 三、课前训练

1．二次函数y＝kx2＋2x＋1（k＜0）的图象可能是（ ）

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2．如图：

（1）当x为何范围时，y1＞y2? （2）当x为何范围时，y1＝y2? （3）当x为何范围时，y1＜y2?

3．如图，是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a＝____________．

135

4．若A（－4 ，y1），B（－1，y2），C（3 ，y3）为二次函数y＝－x2－4x＋5图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3

5．抛物线y＝(x－2) (x＋5)与坐标轴的交点分别为A、B、C，则△ABC的面积为__________．

6．如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动，同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A→B→C→D的路线做匀速运动．当点P运动到点D时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动． （1）求点P从点A运动到点D所需的时间． （2）设点P运动时间为t（秒）

①当t＝5时，求出点P的坐标． ②若△OAP的面积为S，试求出S与

t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．

五、目标检测

如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过A（－1，0），B（3，0）两交点，且交y轴于点C．

（1）求b、c的值；

（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，

点M为此抛物线的顶点，试确定△MCD的形状．

华师大版第28章圆全章导学案

【学习课题】第

1课时 圆的认识

【学习目标】1、能说出圆的概念 2、知道点和圆有哪些位置关系，并能进行判断。

一、 学习准备 1、探究活动

让我们大胆的设想一下，如果我们的自行车轮做成正方形，会怎样？

第26页共88页

如图：E、B表示车轮边缘上的两点，它们到轴心O的距离大小如何？

这样会导致会导致什么后果？

如果将车轮换成如图形状，是否保证车轮能够平稳地滚动？

如图：A、B表示车轮边缘上任意两点，则它们到轴心O的距离：___________ 二、解读教材圆的概念

三、平面上：________________________________________叫做圆，其中__________圆心，____________半径，以点O为圆心的圆记作___________，读作___________________。

确定一个圆需要两个要素：一是位置，圆的__________确定圆的位置；二是大小，圆的__________确定圆的大小。

即时练习：

①以3cm为半径可以画______个圆，以点O为圆心可以画______个圆，____________________只能画一个圆。

②我们所学的圆，就是我们日常所说的__________（填圆面或圆周） 3、点与圆的位置关系

如图是一个圆形靶的示意图，O为圆心，小明向上面投了A、B、C、D、E 5枚飞镖，则 ①__________在⊙O内，__________在⊙O外，点B在__________ ②试比较每个点到O点的距离与⊙O 半径r的大小 __________ ＞r __________ = r __________ ＜r

小结：（1）点与圆的位置关系有________，它们是__________________________________________________。

（2）点与圆的位置关系可以按以下方法判断 点在圆上 点在圆内 点在圆外

三、挖掘教材

例1：在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于D，AC = 2cm，BC = 4cm，， 以C点为圆心，多长为半径画⊙C时，点D在⊙C上？点B在⊙C上？

例2：设AB = 3cm，画图说明具有下列性质的所有点组成的图形是怎样的图形？

像这样条件和结论可以互推的我们用“O

O

? 点到圆心的距离d等于圆的半径r，即：d = r

? 点到圆心的距离d________圆的半径r，即：d ____ r ? 点到圆心的距离d________圆的半径r，即：d ____ r ?”表示，读作“等价于” C

A B

D

第27页共88页

①到点A的距离等于2cm的所有点组成的图形 ②到点B的距离等于2cm的所有点组成的图形；

③到点A、B的距离等于2cm的所有点组成的图形； ④到点A、B的距离小于2cm的所有点组成的图形

【达标检测】

1、已知平面上有一个半径为5cm的⊙O和A、B、C三点，OA = 4.5cm，OB = 5cm，OC = 5.5cm，则点A在

⊙O____________，则点B在⊙O____________，则点C在⊙O____________。 2、如图所示，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 2cm，BC = 4cm，CM是中线， 以C点为圆心，

5为半径做圆，则A、B、C、M四点在圆外的是________.

3、下列条件中，只能确定一个圆的是（ ）

A、以点O为圆心 B、以2cm长为半径 C、以点O为圆心，5cm长为半径 D、经过已知点A

* 4、若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a ＞ b），则此圆的半径为（ ）

A、

a?ba?b B、 22C、

a?ba?b或 D、a + b或a – b 22【学习课题】 第2课时 垂径定理

【学习目标】1、探索圆的对称性及相关性质 2、结合图形证明并记住垂径定理及推论 3、能用垂径定理及推论进行计算和简单的证明

一．学习准备1、圆的定义：在平面上，到 的距离等于 的所有点所组成的图形叫做圆。 2、圆 轴对称图形，它的对称轴有 条。 二．解读教材

第28页共88页

(1) 圆上任意两点间的部分叫做 。大于半圆的弧叫做 ，小于半圆的弧叫 ，弧AB记作 ，图中劣弧有

(2) 连接圆上任意两点的线段叫做 ，经过圆心的弦叫 图中弦有 ，其中直径是 。

(3) 下列说法正确的有（ ）

A. 直径是圆的对称轴 B.半圆是弧 C.半圆既不是优弧也不是劣弧 D. 直径是弦 E. 圆中两点间的部分为弦 F. 过圆上一点有无数条弦 4、 垂径定理

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD ，使CD? AB于点M

(1) 右图是轴对称图形吗？如果是，对称轴是 ，根据轴对称性质图中相等线段有 ，

CAODB?(2) 垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 ? 弦所对的弧 ? AM=BM 几何语言表示为：在⊙O 中， CD ? AB于 M ?? ??CD是直径? ?AC?= 相等的劣弧有 5、垂径定理的推论

CAOMB?AB如图：AB是⊙O的弦（不是直径）作一条平分AB的直径CD，交E = 于点 AD(1)图形是轴对称图形吗？

(2)发现的等量关系有： 垂径定理的推论：平分弦( ) 几何语言表示：在⊙O中

的直径垂直平分 ADCOEDB?CD ?AB____?? ? ? ? ________

____?? ?________

三．挖掘教材

6、你也能得到下面的结论

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的另一条弧。(3)还有其它结论吗？事实上，垂径定理及推论是指

（当①③为条件时，要对另一条弦增加它不是 的限制） 7、垂径定理的运用

一条直线在 ①直线过圆心 ② 垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 五个条件中任意具备两个条件，则必具有另外三个结论，简记 “知二推三” (1)平分弦所对的一条弧的直径，必垂直平分弦，并平分弦所对的另一条弧.

例1， 在直径650mm的圆柱形油槽中一些油后，截面如图。若油面宽AB=600mm，求油的最大

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深度。

解:过⊙O作OF?设EF=xmm

AB于E，交⊙O于F，连接OA

垂经定理是涉及圆内计B?OE=21?650-x=325-x ?OE?AB

AOE?AE= AB=

2在Rt?AOE中，?OA= +

即 = +

算的重要定理 F解得x1= ， x2= 答：油槽的最大深度为 例2，本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选A,B,C三根木柱，使得A,B之间的距离A,C之间的距离相等。并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，请帮她们求出滴水湖的半径。

即时练习 1，已知圆的半径为5，两平行弦长为6和8，则这两条弦的距离为 2，已知AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，OE交AC于D，AC=8，DE=2，求OD的长。 四．反思小结

1.圆是 图形，其对称轴是任意一条 。

2.垂直于弦的 平分这条弦，并且平分弦所对的 。

3.垂径定理及推论与勾股定理进行计算是常考内容，一般是在 三角形中研究。所以常见辅助线 ，常用数学思想有 【达标检测】

1、下列命题正确的是( )

A．弦的垂线平分弦所对的弧 B. 平分弦的直径垂直于这条弦

C. 过弦的中点的直线必过圆心 D. 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 2、如图已知⊙Ｏ的半径为30mm, 弦AB=36mm,点O到AB的距离是 ，?OAB 的余弦值为

AOB?的中点，∠Ａ＝40o,则?BOC3、如图 在⊙Ｏ中，点Ｃ是ABＡ． 40 Ｂ.50 Ｃ.70 Ｄ.80

o

o

o

o

等于（ ）

4，圆的直径为8cm,弦CD垂直平分半径OA，这弦CD的长为

?5，已知在圆中，弦AB∥CD,求证：AC=BD

【学习课题】 第3课时 圆的对称性（2）

【学习目标】1、知道圆心角、弦心距的概念。 2、了解圆的中心对称性和圆的旋转不变性。

3、理解四组量之间的关系定理及推论，并会运用其证明有关的问题。

【学习重点】圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理。 一、学习准备 动手画一圆

1）把⊙O沿着某一直径折叠，两旁部分互相重合观察得出：圆是 对称图形；

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2）若把⊙O沿着圆心O旋转180°时，两旁部分互相重合，这时可以发现圆又是一个 对称图形。

3）若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这是圆的 不变性。

二、解读教材 1、认识圆心角、弦心距、弧的度数

1） 圆心角的定义： 。 2） 弦心距的定义： 。

3） 弧的度数：①把顶点在圆心的周角等分成 份时，每一份的圆心角是1°的角。 ②因为在同圆中相等的圆心角所对的 相等，所以整个圆也被等分

成360份，这时，把每一份这样得到的 叫做1°的弧。 ③圆心角的度数和它们对的弧的 相等。

2、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理

自制两个圆形纸片(要求半径相等)，并且在两个圆中，画出两个相等的圆心角，探究：在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A′OB′时，它们所对的弧AB和A'B'，弦AB和A′B′，弦心距OM和O′M′是否也相等呢？

定理总结：在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相

等，所对弦的 也相等。

3、命题的证明

如图，已知：∠AOB=∠A′OB′，求证： 弧AB和A′B′，弦AB和A′B′，弦心距OM和OM′相等。 证明： 把∠AOB连同

B?M?A?绕圆心O旋转，使射线OA与O A′重合

OMAB ?∠AOB=∠A′OB′ ∴射线OB与 重合 又? OA=O A′，OB=

∴点A与点 重合，点B与点B′重合。

这样，弧AB和A'B'重合，弦AB和A′B′重合，从点O到AB的垂线段OM和从点O到A′B′的垂线段OM′也重合。即

= ，AB= ，OM= 。

问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提,是否还有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论。(小组讨论、交流)

举出反例： 。 即时训练： 判断：

1）圆心角相等，则圆心角所对的弧也相等； ( ) 2）在同圆或等圆中，弦的弦心距相等；

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( )

3）弦的弦心距相等，则弦相等； ( ) 4）相等的圆心角所对的弧相等。 ( ) 问题2：在同圆或等圆中,若圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗？这个两个圆心角相等吗？你是怎样想的？如果弦相等呢？你会得到什么结论？

归纳推论：在 中，如果两个 、两条 、两条 或两条弦的 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。（简记：“知一推三”）

即时训练：已知:AB、CD是⊙O的两条弦,OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空。

1）如果AB＝CD，那么 ， ， ；

2）如果OE＝OG，那么 ， ， ；

3）如果=，那么 ， ， ；

4）如果∠AOB＝∠COD，那么 ， ， 。

三、挖掘教材 例1、如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD。

A

POCDB第32页共88页

例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？

⌒⌒即时训练：从⊙O外一点P向⊙O引两条割线PAB、PCD交⊙O于A、B、C、D，且AB=CD，求证：圆心O必在∠BPD的平分线上

例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=DC，△ABC与△DCB全等吗？为什么？

即时训练：

已知：如图，AD=BC，求证：AB=CD。

【达标检测】 1、判断题：

1）相等的圆心角所对弦相等。 ( ) 2）相等的弦所对的弧相等。 ( ) 3）两条弧的长度相等,则这两条弧所对应的圆心角相等。 ( ) 2、在⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对的圆心角是 度。 3、下面的说法正确吗？为什么？

如图，因为∠AOB=∠COD，根据圆心角、弧、弦、弦心距关系定理可知

AODBCAEODCB=

。

4、如图，O为两个同圆的圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，OE垂直于AB，垂足为E，

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若AC=2.5cm，ED=1.5cm，OA=5cm，则AB= cm。

（4题图） （5题图） 5、已知：如图AB、DE是⊙O的直径，AC∥DE，AC交⊙O于C，求证：BE=EC。 6、在⊙O中，AB=BC，求证：∠OAB=∠OCB。

7、 已知：AB是⊙O的直径，M、N分别是AO和BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证：AC=BD。

【学习课题】

DCABODBOCOOACADBCEDBEACAMONB第4课时 圆周角与圆心角的关系

【学习目标】 1、圆周角的概念及圆周角定理 2、了解分类讨论及转化的思想 【学习重点】 圆周角的概念及圆周角定理 一、 学习准备

1、 叫圆心角。 2、等弧所对的圆心角 。 二、解读教材 3、圆周角的概念

第34页共88页

顶点在 ，两边 ，像这样的角叫圆周角。 4、及时练习 ①下列各图是圆周角的是（ ）

A B C D E

②指出下图的圆周角

5、议一议

看图1、2、3猜一猜，圆心角∠AOC与圆周角∠ABC之间的大小关系 。 先讨论特殊情况：∠ABC的一边经过圆心，如图1

OCABOCADEAADOBCDBCO

三、挖掘教材

B图1图2图3例1 量角器外缘边上有A、P、Q三点，它们所表示的读数分别是180°、 70 °、30° ，则∠

QPAQ是多少度？ 即时练习

APOA题1CB１如图， Ａ、Ｂ、Ｃ是⊙O上三点，∠AOC=100°，则∠ABC=

2 如图， 四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是 弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC

AOD第35页共88页 BC

的度数是 。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 。

【达标测评】

1、如图，在⊙O中 ∠BOC=150°，∠BAC= 。 α BB

AOCDAOCAα

BAODDOβBαCC3题

1题2题4题2、如图，在⊙中,∠BOC=50°,则∠BAC= ，∠BDC= 。3

3、如图, A,B,C,D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°,则∠BOD= ，∠BAD= 。 4、如图, AB,CD是两条直径，连AC，那么∠α∠β的数量关系是 。

5、如图，在世界杯足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴已经助攻冲到B点。有两种射门方式：第一种时甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门。仅从射门角度考虑，应选择 种射门方式。

P Q

AB【学习课题】 第5 课时 圆周角与圆心角的关系（2） 【学习目标】１、记住并能熟练使用圆周角与圆心角的关系定理

２、通过推理证明得出圆周角与圆心角的关系定理的推论 ３、会熟练运用定理及推论解决相关问题

一、学习准备

１、圆周角与圆心角关系定理：一条弧所对的 等于它所对的 的 。

２、如图１，在⊙Ｏ中∠ＡＢＣ中，∠ABC= ，∠AEC= ，∠ADC= 。

第36页共88页

二、解读教材

3、在图1中，由题2中可得，∠ABC= = = 推论1. 所对的圆周角相等。

4、图2中，因为∠ACB与∠ADB共对弧 ，而弧 所对的圆心角为 ，由圆周角与圆心角的关系定理可得 ∠ACB= °=∠ADB

推论2.直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 例题1 如图3，AB是⊙Ｏ直径，BD是⊙Ｏ的弦，延长BD到C，使 AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？ 解：BD=CD。理由是： 如图，连接AD ∵AB是⊙Ｏ的直径 ∴∠ADB= 即AD BC

OACABOD图1EABOAEOC 又∵AC=AB C B图2D图3∴BD=CD 即时练习

DBCF图4 5、如图4，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,以腰AC为直径作半圆交AB于点E，交BC于点F，若∠A=50°，求弧EF、弧AE、弧FC的度数

三、挖掘教材

5、例题2 如图5，△ABC中，D为AB中点，CD等于AB的一半，求证：△ABC为直角三角形

ABDC图5第37页共88页

推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 6、例题3 如图6，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径 求证：AB2ＡＣ＝ＡＥ2ＡＤ

注意 在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质。 四、反思小结

１、圆周角与圆心角的关系定理及推论的作用是什么？

２、根据定理及推论，设想一下，在解决圆的有关问题时，常用辅助线有哪些？ 【达标测评】

1、如图7，写出所有相等的角。

2、若⊙Ｏ是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD=48°，则 ∠BAC= 。

3、△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，若BC=2∠A的度数为

4、在⊙O中，直径AB=10cm，弦AC=6cm，∠A CB的平分线交⊙O 于D，则BC= Cm，AD= cm，BD= cm。

5、如图8，点D在以AC为直径的⊙O 上，如果∠BDC=20°，那么∠ACB= 。 6、如图9，AB为⊙O 的直径，弦AC=3cm，BC=4cm，CD⊥AB， 垂足为D，求AD、BD和CD的长。

7、如图10，OA是⊙O 的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，求证：D是AB中点。

【学习课题】第【学习目标】：

不在同一直线上的三个点确定一个圆，过不在同一直线上的三个点作圆的方法 【学习重点】过在不同一直线上的三个点作圆的方法 一、学习准备

图10ACDOADADBEODAC图6AODC图7CCB图83cm，则

BBO图9B6课时：不在同一条直线上的三点共圆

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1、经过一点有_________条直线。 2、经过二点有-_________条直线。 二、解读教材 3、作圆

在平面上有A、O1、O2、O3、点 以O1为圆心，O1A为半径画图 以O2为圆心，O2A为半径画图 以O3为圆心，O3A为半径画图

在平面上有A、B两点， 连结AB，作AB的中垂线EF， 在EF上任意取点为圆心 结论：经过一点能作______个圆

结论，经过两点能______个圆

4、 探究：经过不在同一直线上的三点A、B、C作圆

结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

因此，三角形的三个点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

三、挖掘教材 5、三角形的外心在哪里？ 己知下面三个三角形，分别作出它们的处接圆，它们外心的位置有怎样的特点？

结论：（1）三角形外心的位置： 锐角三角形 外心在其内部 直角三角形 外心在斜边中点 钝角三角形 外心在其外部 无论哪种三角形，它们的外心就是各边垂平分线的交点。

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锐角三角形 直角三角形 钝角三角形

（2）只要三角形确定，那么它们的外心外接圆的半径就确定。 6、四点共圆 ⑴四点共圆的概念

如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么四边形叫圆内接四边形。这个圆叫做这个四边形的外接圆。我们就说这四点共圆。

性质1：如果这四点首尾顺次连接成的四边形的对角互补，那么这四点共圆。

性质2：如果这四点首尾顺次连接成的四边形的一个外角等于它的内对角，那么这四点共圆。 性质3：共边的两个三角形，在这条边的同侧且共边所对的角相等，那么这四点共圆。、

小结：经过任意四点不一定作圆。 【达标测评】1、判断正误：

（1）任意一个三角形一定有一个外接圆，任意一个圆也只有一个内接三角形

（2）三角形的外心在三角形的外部 （3）三角形的外心是三角形角平分线的交点 （4）三形的外心到三边的距离相等

2、己知点A、B，经过A、B作圆，则半径为2㎝的圆的个数为___个。 3、己知△ABC，AC=15。BC=8，AB=17，求△ABC的外接圆半径。 4、能在同一个圆上的是（ ）

A、平行四边形的四个顶点 B、等腰梯形四边的中点 C、矩形四边的中点 D、正方形四边中点

【资源链接】如图,A、B、C、表示三个村庄,现要建一座深水井泵站,向三个村庄分别送水,为使三条输水管线长度相同,请画出图,并说明理由.

第7 课时 直线与圆的位置关系

【学习目标】

1、 理解直线和圆的位置关系，掌握直线和圆的三种位置关系的判定方法。 2、 能用d和r的三种数量关系判断直线与圆的位置关系。

【学习重点】能根据能用d和r的三种数量关系判断直线与圆的位置关系 【学习过程】 一、 学习准备

1、 如图1 ⊙O的半径为r若A点在 ，则OA r;若B点在圆上，则OB r

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