全等三角形难题集锦超级好

全等三角形练习题 德胜教育

1.如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP于M，连接AM,求证：（1）BP=CE； （2）试证明：EM-PM=AM.

2、点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN交于点F。求证： （1）AN=MB.（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？ （3）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。

NNECPMAB22题M O

FEE CBA COMF 图①

A 图②

B5.已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB?AC，AD?AE，?BAC??DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE?CD；②AM?AN；

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180?，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写

C 出（1）中的两个结论是否仍然成立. C N E N D A B M M D B A E 图② 图①

1 打造品牌教育 共铸美好明天

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6.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：

① AD=BE； ② PQ∥AE； ③ AP=BQ；

④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60° ⑥CP=CQ ⑦△CPQ为等边三角形．

E C A ⑧共有2对全等三角形 ⑨CO平分∠AOP ⑩CO平分∠BCD

恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．

10.已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，

A 使DE?DB，连接AE，CD．

（1）求证：△AGE≌△DAC；

D G （2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样E 的三角形，试证明你的结论．

C B F 打造品牌教育 2 共铸美好明天

P Q B

O

D

全等三角形练习题 德胜教育

11、如图１，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断△ABCE 与△AEG面积之间的关系，并说明理由．

G A

D

F

C B （图１）

9如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：

① AD=BE； ② PQ∥AE；

B

O

D

P Q ③ AP=BQ；

E C ④ DE=DP； A

⑤ ∠AOB=60°．

恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．

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全等三角形练习题 德胜教育

如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，且A、B、D三点共线．下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③HB平分∠AHD；④∠AHC=60°，⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD．其中正确的有（ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

，1、在△ABC中，AB?BC?2，?ABC?120°将△ABC绕点B顺时针旋转角

AC、BC于D、F两点．如图1，观察并猜想，在?(0°???90°)得△A1BC1，A1B交AC于点E，AC11分别交

旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；

C

D F B C C1

A1 E A D F B C1

A1 A E

2. 如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

C D F

A

E

B

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全等三角形练习题 德胜教育

3.如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF相交于点F.

? 如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：

① 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ； ② 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ； ③ 请证明你的上述两猜想.

? 如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明

，已知Rt△ABC中，AC?BC，∠C?90?，D为AB边的中点，?EDF?90°

?EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． 当?EDF绕D点旋转到DE?AC于E时（如图1），易证S△DEF?S△CEF?1S△ABC． 2当?EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． A E C

A A D

D D

B

F E 打造品牌教育 C 5 B 共铸美好明天

C

图2

F

B

E

图3

F 图1

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1.已知AC//BD,∠CAB和∠DBA的平分线EA、EB与CD相交于点E. 求证:AB=AC+BD.

2.等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC=120°，BD=DC．∠MDN=60°射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，

①当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．

②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明． ③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．

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全等三角形练习题 德胜教育

3.如图1，BD是等腰RtΔABC的角平分线，∠BAC=90?.

（1）求证BC=AB+AD； B

（2）如图2，AF⊥BD于F，CE⊥BD交延长线于E，求证：BD=2CE；

打造品牌教育 7 共铸美好明天

ADCA D E F B

图2

C

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1、已知，如图1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。

2、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，则∠B与∠ADC互补.为什么？

D

C

A

E

B

3、如图4，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD,求证AD平分∠BAC.

A

D B

C

打造品牌教育 8 共铸美好明天

全等三角形练习题 德胜教育

4.如图，在△ABC中∠ABC,∠ACB的外角平分线交P.求证:AP是∠BAC的角平分线 A

C 3B42

1

P

图十一5、如图在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＋∠ABC＝180度，CE⊥AD于E，猜想AD、AE、AB之间的数量关系，并证明你的猜想， E D

C A B 图2

6、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

EA

BO

DC7．如图所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC，垂足为F，DB=DC，求证：BE=CF

E

DB ACF

打造品牌教育 9 共铸美好明天

全等三角形练习题 德胜教育

8、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作

全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交

于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然

成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

B

B M

E E D

F F D

P O

9．已知：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD，求证：（1）△BDE≌△CDF （2） 点D在∠A的平分线上

B ED

CAF

10、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

10 打造品牌教育 共铸美好明天

BPC12A图①

N

A

图②

C

A 图③

C D

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11、（2007年成都）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。 (!)求证：BF=AC； (2)求证：CE=

1BF； 2 (3)CE与BC的大小关系如何？试证明你的结论。

12、（2009年赤峰市）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线。

DAFCB

1、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．?AEF?90，且EF交正方形外角?DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE?EF．

11 打造品牌教育 共铸美好明天

? 全等三角形练习题 德胜教育

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． A

D

F

B E C 图1

G

B

E C 图2 A

D

F G

B 图3

C E G

F A

D

3.△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

12 打造品牌教育 共铸美好明天

全等三角形练习题 德胜教育

4.问题背景，如下命题：

① 如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角∠ACK的平分线,若∠ANM=60°,则AN=NM ② 如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点，CM为正方形外角∠DCK的平分线，若∠ANM=90°，则AN=NM ③ 如图3,在正五边形ABCDE中,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角∠DCK的平分线,若∠ANM=108°,则AN=NM

E

ADA

AD MMM

BBNCKCKC BNNK图3图1图2

任务要求：

? 请你证明以上三个命题； ? 请你继续完成下面的探索：

① 如图4,在正n（n≥3）边形ABCDEF…中,N为BC边上任一点,CM为正n边形外角∠DCK的平分线,问当∠ANM等于多少度时,结论AN=NM成立（不要求证明）.

② 如图5,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD,N为BC延长线上一点,CM为∠DCN的平分线,若∠ANM=∠ABC,请问AN=NM是否还成立？若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由.

FEAABDB图5DMNC图4KCN

13 打造品牌教育 共铸美好明天

全等三角形练习题 德胜教育

5.（1）如图，已知在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N．试判定线段MD与MN的大小关系；

（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上或AB延长线上任意一点”，其余条件不变．试问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

6.如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F为垂足．求证：PE+PF=AB．

1..如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 后，点P与点Q第一次在△ABC的 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）

14 打造品牌教育 共铸美好明天

全等三角形练习题 德胜教育

2.已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE，解答下列各题：如果AB=AC，∠BAC=90°． （i）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段BD，CE之间的位置关系为（ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？为什么？

3.（2012?内江）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．

（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD； （2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

1.在△ABC中，AD⊥BC, BE⊥AC, D、E为垂足，AD与BE交与点H，BD=AD

求证：BH=AC BE⊥AD

B 15 打造品牌教育 共铸美好明天

A E H D

C

全等三角形练习题 德胜教育

2.（08河北中考第24题）如图14-1，在△ABC中，BC边在直线l上，AC⊥BC，且AC = BC．△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

A E A E A （E）

Q

l B l C l B F P F P B C P C （F）

图14-1 图14-2 Q 图14-3

16 打造品牌教育 共铸美好明天

全等三角形练习题 德胜教育

3.（2006年辽宁沈阳25题）.如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE；②AF⊥DE.(不需要证明)

(1)如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”)

(2)如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

4.如图1，A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，试说明BD平分EF；若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时，其余条件不变，BD是否还平分EF，请说明理由。

17 打造品牌教育 共铸美好明天

全等三角形练习题 德胜教育

5.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

求证：（1）AE＝CD； （2）若AC＝12 cm，求BD的长．

6．如图，两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，∠DEA=∠ACB=90°，∠DAE=∠ABC=30°，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．

7.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系

QFADPBEC18 打造品牌教育 共铸美好明天

全等三角形练习题 德胜教育

8. 在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H． ①求证：DG=DC

②判断FH与FC的数量关系并加以证明．

（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）

B

AGFDBHGECADCE

30、如图，AD//BC，AD=BC，AE⊥AD，AF⊥AB，且AE=AD，AF=AB，求证：AC=EF DCE

19 打造品牌教育 共铸美好明天

ABF 全等三角形练习题 德胜教育

1.直线CD经过?BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且?BEC??CFA???． （1）若直线CD经过?BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若?BCA?90?,???90?，则EF BE?AF（填“?”，“?”或“?”号）；

②如图2，若0??BCA?180，若使①中的结论仍然成立，则 ??与?BCA 应满足的关系是 ； （2）如图3，若直线CD经过?BCA的外部，????BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

B

B B

2.已知：如图，四边形ABCD中，AC平分?BAD，CE?AB 于E，且?B+?D=180?，求证：AE=AD+BE

E C 图1

F

D

C A

图2

A E F D

E C F A

??图3

D

A 1 D 2 E B

C

20 打造品牌教育 共铸美好明天

全等三角形练习题 德胜教育

方法一：由△ABC≌△DEF，点B与点E重合， 得∠BAC=∠BDF，BA=BD． ∴点B在AD的垂直平分线上， 且∠BAD=∠BDA．

∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF， ∴∠OAD=∠ODA．

∴OA=OD，点O在AD的垂直平分线上． ∴直线BO是AD的垂直平分线，BO⊥AD．

方法二：延长BO交AD于点G，同方法一，OA=OD． 在△ABO和△DBO中， AB=DB BO=BO OA=OD ∴△ABO≌△DBO，∠ABO=∠DBO．

在△ABG和△DBG中， AB=DB ∠ABG=∠DBG BG=BG ∴△ABG≌△DBG，∠AGB=∠DGB=90°．

∴BO⊥AD．点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握．

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性在△ABG和△ADF中，

由 AB=AD ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF ， 可得△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，

又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE， ∴△AEG≌△AEF（SSS）， ∴∠EAG=∠EAF，

∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90° ∴∠EAG+∠EAF=90°， ∴∠EAF=45°．

答：∠EAF的角度为45°．点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证∠EAG=∠EAF是解题的关键．

例2 D为等腰Rt?ABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 （1） 当?MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：等腰直角三角形的性质得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，

MCFAEBADFBEC质．分析：延长EB使得BG=DF，易证△ABG≌△ADF

（SAS）可得AF=AG，进而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题．解答：解：延长EB使得BG=DF，

计算题．分析：（1）连CD，根据

A则∠BCD=45°，∠

CDA=90°，由∠DM⊥DN得∠EDF=90°，根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，根据全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到

26 打造品牌教育 共铸美好明天

N 全等三角形练习题 德胜教育

结论；

（2）由△DCE≌△ADF，则S△DCE=S△ADF，于是四边形DECF的面积=S△ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得S△ACD，从而得到四边形DECF的面积．解答：解：（1）连CD，如图， ∵D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点， ∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA， ∴∠BCD=45°，∠CDA=90°， ∵∠DM⊥DN， ∴∠EDF=90°， ∴∠CDE=∠ADF， 在△DCE和△ADF中，

∠DCE=∠DAF DC=DA ∠CDE=∠ADF ， ∴△DCE≌△ADF， ∴DE=DF；

（2）∵△DCE≌△ADF， ∴S△DCE=S△ADF，

∴四边形DECF的面积=S△ACD， 而AB=2， ∴CD=DA=1，

∴四边形DECF的面积=S△ACD=1 2 CD?DA=1 2 ．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质． 1、已知四边形

A

B E

M

B A

E M

D

A

B F C D

C F D

C N

F N

N

（图3）

E

M

（图1） （图2）

ABCD中，AB?AD，BC?CD，AB?BC，∠ABC?120?，∠MBN?60?，∠MBN绕B点旋转，

AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AE?CF时（如图1），易证AE?CF?EF．

当∠MBN绕B点旋转到AE?CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

它的两边分别交

27 打造品牌教育 共铸美好明天

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2、（西城09年一模）已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.

(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

3、在等边?ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为?ABC外一点，且?MDN?60?,?BDC?120?,BD=DC. 探

究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及?AMN的周长Q与等边?ABC的周长L的关系．

图1 图2 图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时

Q? ； L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM?DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q= （用x、L表示）．

考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）由DM=DN，∠MDN=60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC

28 打造品牌教育 共铸美好明天

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是等边三角形，CD=BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN，此时 QL =2 3 ；

（2）在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；

（3）首先在CN上截取CM1=BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC-BM=MN．解答：解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN． 此时 Q L =2 3 ． （2分）． 理由：∵DM=DN，∠MDN=60°， ∴△MDN是等边三角形， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°，

∵BD=CD，∠BDC=120°， ∴∠BDC=∠DCB=30°， ∴∠MBD=∠NCD=90°， ∵DM=DN，BD=CD， ∴Rt△BDM≌Rt△CDN，

∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN， ∴DM=2BM，DN=2CN， ∴MN=2BM=2CN=BM+CN； ∴AM=AN，

∴△AMN是等边三角形， ∵AB=AM+BM， ∴AM：AB=2：3， ∴Q L =2 3 ；

（2）猜想：结论仍然成立． （3分）．

证明：在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．（4分） ∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD， ∴△DBM≌△DCM1，

∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，M1C=BM， ∵∠MDN=60°，∠BDC=120°， ∴∠M1DN=∠MDN=60°， ∴△MDN≌△M1DN，

∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，

∴△AMN的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC， ∴Q L =2 3 ；

（3）证明：在CN上截取CM1=BM，连接DM1．（4分） 可证△DBM≌△DCM1， ∴DM=DM1，（5分） 可证∠CDN=∠MDN=60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN=M1N，（7分）．

∴NC-BM=MN．（8分）．点评：此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．

29 打造品牌教育 共铸美好明天

全等三角形练习题 德胜教育

例8．（2005年马尾）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如

CF图13—1），通过观察或测量BE，

的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．分析：（1）利用全等三角形的判定得出△ABE≌△ACF即可得出答案；

（2）根据已知可以得出∠BAE=∠CAF，进而求出△ABE≌△ACF即可；

（3）利用四边形AECF的面积S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC求出即可．解答：解：（1）得出结论是：BE=CF，

证明：∵∠BAC=∠EAF=60°， ∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC， 即：∠BAE=∠CAF，

又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，

∴ ∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴BE=CF， （2）还成立，

证明：∵∠BAC=∠EAF=60°， ∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC， 即∠BAE=∠CAF，

又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，

即 ∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴BE=CF，

（3）证明：∵△ABE≌△ACF， ∴S△ABE=S△ACF，

∴四边形AECF的面积S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC； 而S△ABC=1 2 S菱形ABCD，

∴S=1 2 S菱形ABCD．点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积，熟练利用全等三角形判定求出是解题关键． 解：（1）BE=CF.

证明：在△ABE和△ACF中， ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠CAF.

∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）. ∴BE=CF.

30 打造品牌教育 共铸美好明天

全等三角形练习题 德胜教育

（1）如图1，AE=AF．理由：证明△ABE≌△ADF（ASA） （2）如图2，PE=PF．

理由：过点P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，则PM=PN．由此可证得△PME≌△PNF（ASA），从而证得PE=PF．

（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系．

当点P在AC的中点时，PE、PF才具有（2）中的数量关系．点评：本题考查的是正方形的性质以及全等三角形的判定．

例8．（2005年马尾）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

解：（1）BE=CF.

证明：在△ABE和△ACF中， ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠CAF.

∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）. ∴BE=CF.

（2）BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△ABE和△ACF

1、用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（如

A图所示），通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明D你的结论； F

BEC（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图所示），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由。

6、 已知∠AOB=90°，∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直

角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、OB或它们的反向延

FAD36 打造品牌教育 共铸美好明天 BCE 全等三角形练习题 德胜教育

长线相交于D、E。

当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：CD=CE

当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2图3这两种情况下，上述结论是否成立，请给予证明，若不成立，请写出你的猜想，不需证明。

10、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合）， 以C为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。

（1）说明：△BCG≌△DCE；（2）BG与CD有何关系？为什么？（3）将正方形GCEF绕点C顺时针旋转，在旋转过程中，（1）、（2）中的结论还成立吗？画出一个图形，直接回答，不必说明理由。

如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数； （3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．

ACODAMDCOEBMEBADOCEMBADGHFCE接EN． 的费尔马点，分别以△ABC则点M即为△

B

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB； （2）连接MN，由（1）的结论证明△BMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；

（3）根据（2）中费尔马点的定义，又△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点．解答：解：（1）证明：∵△ABE为等边三角形， ∴AB=BE，∠ABE=60°． 而∠MBN=60°， ∴∠ABM=∠EBN． 又∵BM=BN，

∴△AMB≌△ENB．

（2）连接MN．由（1）知，AM=EN． ∵∠MBN=60°，BM=BN， ∴△BMN为等边三角形． ∴BM=MN．

37 打造品牌教育 共铸美好明天

全等三角形练习题 德胜教育

∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．

∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC=180°-∠NMB=120°； ∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120°； ∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°．

（3）由（2）知，△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．

因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点．点评：本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大．

1.(2004河北)如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA?AF． 求证：DE?BF． AD

E

FCB

2.E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF?45?，AH?EF，H为垂足，求证：AH?AB．

ADFHBEC

38 打造品牌教育 共铸美好明天

全等三角形练习题 德胜教育

3.在等边?ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为?ABC外一点，且?MDN?60?，?BDC?120?，BD?CD，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及?AMN的周长与等边?ABC的周长L的关系．

?如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时Q=__________ L?如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DM?DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

?如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示)

4.如图，正方形ABCD中，?FAD??FAE．求证：BE?DF?AE．

ADFBEC

39 打造品牌教育 共铸美好明天

全等三角形练习题 德胜教育

11.已知：?ABC中，AM是中线．求证：AM?(AB?AC)．

2

AB?AC，?EDB??FDC．2.如图，在等腰?ABC中，过A作AE?DE，且AE?AF．求证： AF?DF，D是BC的中点，

A

EF

BDC40 打造品牌教育 共铸美好明天

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