2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）理科数学试题

2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）

数 学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．

2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回． 参考公式：①柱体的体积公式V?Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高． ②锥体的体积公式V?1n13Sh，其中S为柱体的底面积，h为锥体的高．

③标准差s?[(x1?x)?(x2?x)???(xn?x)]，其中x为样本x1,x2,?,xn的平均数．

222一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i为虚数单位，则复数

i2?i12121212A．?i B． ??i C．?i D．??i

55555555等于

2．命题p: ?x?R,x2?1?1，则?p是

A．?x?R,x?1?1 B．?x?R,x2?1?1 C．?x?R,x?1?1 D．?x?R,x?1?1

3．已知a?(1,2)，b?(0,1)，c?(k,?2)，若(a?2b)?c，则k? A．2 B．8 C．?2 D．?8

4．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的 三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．9 B．10 C．11 D．

·1·

正视图

3 2222 2 侧视图

2321 1 俯视图

第4题图

5．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是 A．x甲?x乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 B．x甲?x乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 C．x甲?x乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 D．x甲?x乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛

?y?x?6．已知实数x,y满足?x?y?1，则目标函数z?2x?y的最大值为

?y??1?第5题图

A．?3 B．

12 C．5 D．6

7．已知集合M??x|x?4|?|x?1|?5?，N??xa?x?6? ,且M?N??2,b?,则a?b? A．6 B．7 C．8 D．9

8．对于函数y?f(x)，如果存在区间[m,n]，同时满足下列条件：①f(x)在[m,n]内是单调的；②当定义域是[m,n]时，f(x)的值域也是[m,n]，则称[m,n]是该函数的“和谐区间”．若函数

f(x)?a?1a?1x(a?0)存在“和谐区间”，则a的取值范围是

15A．(0,1) B． (0,2) C．(,) D．(1,3)

22二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)

9．已知函数y?f(x)是奇函数，当x?0时，f(x)=log2x，则f(f())的值等于 ．

4110．已知抛物线x?4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是_____． 11．函数y?sinx?sin?x???2???的最小正周期为 ，最大值是 ． 3?? ·2· 0 1 2 3 12．某学生在参加政、史、地 三门课程的学业水平考试中，取得

A等级的概率分别为

P 6125 a b 24125 45、

35、

25，

且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立.记?为该生取得A等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望E?的值为______________. 13．观察下列不等式： ①

12?1；②12?16?2；③12?16?112?3；?

则第5个不等式为 ．

(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)

14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l过点(1,0)且与直线??l极坐标方程为 ．

?3（??R）垂直，则直线

15．（几何证明选讲）如图，M是平行四边形ABCD的边AB的 中点，直线l过点M分别交AD,AC于点E,F． 若AD?3AE，则AF:FC? ．

A D E F M l

第15题图

C

B

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）

?如图，在△ABC中，?C?45，D为BC中点，BC?2.

A

记锐角?ADB??．且满足cos2???（1）求cos?； （2）求BC边上高的值．

725．

C D B

第16题图

·3·

17．（本题满分12分）

数列?an?的前n项和为Sn?2n?1?2，数列?bn?是首项为a1，公差为d(d?0)的等差数列，且

b1,b3,b11成等比数列．

（1）求数列?an?与?bn?的通项公式； （2）设cbnn?a，求数列?cn?的前n项和Tn．

n

18．（本题满分14分）

如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD?13DB，点C为圆O上一点，且BC?3AC．

点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD?DB． （1）求证：PA?CD；

（2）求二面角C?PB?A的余弦值．

·4·

P A D O B C 第18题图

19．（本题满分14分）

某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式

C?3?x，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式

k??5, (0?x?6)?3x? S??x?8?14, (x?6)?已知每日的利润L?S?C，且当x?2时，L?3． （1）求k的值；

（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 20．（本题满分14分）

设椭圆

xa22?yb22?1(a?b?0)的左右顶点分别为A(?2,0),B(2,0)，离心率e?32．

过该椭圆上任一点P作PQ?x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|QP|?|PC|． （1）求椭圆的方程；

（2）求动点C的轨迹E的方程；

（3）设直线AC（C点不同于A,B）与直线x?2交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．

21．（本题满分14分）

x设g(x)?e，f(x)?g[?x?(1??)a]??g(x)，其中a,?是常数，且0???1．

（1）求函数f(x)的极值；

e?1xx（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式?1?a成立；

+（3）设?1,?2?R，且?1??2?1，

证明：对任意正数a1,a2都有：a1a2??1a1??2a2．

·5·

?1?2

2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）

数学试题（理科）参考答案和评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 题号 1 2 3 4 5 答案 A C B C D 6 C 7 B 8 A 95二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．?1 10．?4 11．2?（2分），13．

12161121201305

3 （3分） 12．

?????14．2?sin(???6)?1（或2?cos(???3)?1、?cos??3?sin??1） 15．1:4

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分） 解析：（1）∵cos2??2cos??1??∵??(0,?2)，∴cos??352725，∴cos??2925，

． -----------------5分

1?cos??2（2）方法一、由（1）得sin??45，

∵?CAD??ADB??C???45?，

∴sin?CAD?sin(???4)?sin?cosCD?4?cos?sinADsin?C?4?210， -----------------9分

在?ACD中，由正弦定理得：

2sin?CAD?，

∴AD?CD?sin?Csin?CAD1??2?5， -----------------11分

A 210则高h?AD?sin?ADB?5?45?4． -----------------12分 方法二、如图，作BC 边上的高为AH 在直角△ADH中，由（1）可得cos??DBAD?35，

C D B 第16题图 H 则不妨设AD?5m, 则DH?3m,AH?4m -----------------8分

?注意到?C=45，则?AHC为等腰直角三角形，所以CD?DH?AH ，

·6·

则1?3m?4m -----------------10分 所以m?1，即AH?4 -----------------12分

17．（本题满分12分）

解析：（1）当n?2，时an?Sn?Sn?1?2n?1?2n?2n， -----------------2分 又a1?S1?21?1?2?2?21，也满足上式，

所以数列{an}的通项公式为an?2n． -----------------3分

b1?a1?2，设公差为d，则由b1,b3,b11成等比数列，

得(2?2d)2?2?(2?10d)， -----------------4分 解得d?0（舍去）或d?3， ----------------5分 所以数列{bn}的通项公式为bn?3n?1． -----------------6分 （2）由（1）可得Tn?b1a1?b2a2?b3a3???bnan521?2281?522?823???3n?12n， -----------------7分

2Tn?2??22???3n?12n?1， -----------------8分

两式式相减得

Tn?2?321?322???32n?1?3n?12n， -----------------11

分

3Tn?2?2(1?1?121n?1)?3n?12n?5?3n?52n， -----------------12

2分

18．（本题满分14分）

解析：（Ⅰ）法1：连接CO，由3AD?DB知，点D为AO的中点， 又∵AB为圆O的直径，∴AC?CB，

?由3AC?BC知，?CAB?60，

P ∴?ACO为等边三角形，从而CD?AO．-----------------3分

·7·

A D O B ∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D， ∴PD?平面ABC，又CD?平面ABC， ∴PD?CD，-----------------5分

由PD?AO?D得，CD?平面PAB，

又PA?平面PAB，∴PA?CD． -----------------6分 （注：证明CD?平面PAB时，也可以由平面PAB?平面ACB得到，酌情给分．） 法2：∵AB为圆O的直径，∴AC?CB，

在Rt?ABC中设AD?1，由3AD?DB，3AC?BC得，DB?3，AB?4，BC?23，

BDBCBCAB32∴??，则?BDC∽?BCA，

∴?BCA??BDC，即CD?AO． -----------------3分 ∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D， ∴PD?平面ABC，又CD?平面ABC，

∴PD?CD， -----------------5分 由PD?AO?D得，CD?平面PAB，

又PA?平面PAB，∴PA?CD． -----------------6分 法3：∵AB为圆O的直径，∴AC?CB，

?在Rt?ABC中由3AC?BC得，?ABC?30，

设AD?1，由3AD?DB得，DB?3，BC?23， 由余弦定理得，CD?DB?BC?2DB?BCcos30?3，

222∴CD?DB?BC，即CD?AO． -----------------3

222?分

∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D， ∴PD?平面ABC，又CD?平面ABC，

∴PD?CD， -----------------5分

由PD?AO?D得，CD?平面PAB，

又PA?平面PAB，∴PA?CD． -----------------6分

·8·

（Ⅱ）法1：（综合法）过点D作DE?PB，垂足为E，连接CE． -----------------7分

P 由（1）知CD?平面PAB，又PB?平面PAB， ∴CD?PB，又DE?CD?D， ∴PB?平面CDE，又CE?平面CDE， ∴CE?PB，-----------------9分

∴?DEC为二面角C?PB?A的平面角． -----------------10分 由（Ⅰ）可知CD?3，PD?DB?3，

E A D O B （注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．） C ∴PB?32，则DE?PD?DBPB?932?322，

63∴在Rt?CDE中，tan?DEC?CDDE?3322?，

∴cos?DEC?155，即二面角C?PB?A的余弦值为155． -----------------14分

????????????法2：（坐标法）以D为原点，DC、DB和DP的方向分别为x轴、y轴和z轴的正向，建立如图

所示的空间直角坐系． -----------------8分 （注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CD?AB，酌情给分．） 设AD?1，由3AD?DB，3AC?BC得，PD?DB?3，CD?∴D(0,0,0)，C(3,0,0)，B(0,3,0)，P(0,0,3)，

????????????∴PC?(3,0,?3)，PB?(0,3,?3)，CD?(?3,0,0)，

标

3，

????由CD?平面PAB，知平面PAB的一个法向量为CD?(?3,0,0)． -----------------10

分

设平面PBC的一个法向量为n?(x,y,z)，则

???????n?PC?0?3x?3y?0，即，令y?1，则x??????????3y?3z?0?n?PB?0z P 3，z?1，

∴n?(3,1,1)，-----------------12分 设二面角C?PB?A的平面角的大小为?，

·9·

A C D O B y ????n?CD则cos???????|n|?|CD|?35?3??155，-----------------13分

∴二面角C?PB?A的余弦值为19．（本题满分14分）

155．-----------------14分

k??2,0?x?6?2x?解析：（Ⅰ）由题意可得：L??， -----------------2分 x?8?11?x,x?6?因为x?2时，L?3，所以3?2?2?k2?8?2. -----------------4分

解得k?18. -----------------5分 （Ⅱ）当0?x?6时，L?2x?18x?818x?8?2，所以

L?（2x?8）??18=?[2(8?x)?188?x]?18≤?2（28?x）?188?x?18?6．-----------------8

分

当且仅当2(8?x)?188?x当x?6时，L?11?x?5． -----------------12

，即x?5时取得等号． -----------------10分

分

所以当x?5时，L取得最大值6．

所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元． -----------------14分

20．（本题满分14分）

解析：（1）由题意可得a?2，e?分

∴b?a?c?1，

x22222ca?32，∴c?3， -----------------2

所以椭圆的方程为分

4?y?1． -----------------4

·10·

?x0?x?x?x0?（2）设C(x,y)，P(x0,y0)，由题意得?，即?1， -----------------6

y?2y0??y0?x?2分 又x042?y?1，代入得

20x24?(1222y)?1，即x?y?4．

2即动点C的轨迹E的方程为x2?y2?4． -----------------8分 （3）设C(m,n)，点R的坐标为(2,t)， ∵????????A,C,R三点共线，∴AC//AR，

而????????AC?(m?2,n)，AR?(4,t)，则4n?t(m?2)，

∴t?4nm?2，

∴点R的坐标为(2,4nm?2)，点D的坐标为(2,2nm?2)， n?2n∴直线CD的斜率为k?m?2?(m?2)n?2nm?2m2?4?mnm2?4，

而m2?n2?4，∴m2?4??n2，

∴k?mn?n2??mn， ∴直线CD的方程为y?n??mn(x?m)，化简得mx?ny?4?0，

∴圆心O到直线CD的距离d?4m2?4?2?r，

?n24所以直线CD与圆O相切．

21．（本题满分14分）

解析：（1）∵f?(x)??g?[?x?(1??)a]??g?(x)， ·11·

-----------------10分

-----------------12分

-----------------14分 -----------------1分

由f?(x)?0得，g?[?x?(1??)a]?g?(x)，

∴?x?(1??)a?x，即(1??)(x?a)?0，解得x?a，-----------------3分 故当x?a时，f?(x)?0；当x?a时，f?(x)?0；

∴当x?a时，f(x)取极大值，但f(x)没有极小值．-----------------4分

ex?1x（2）∵?1x?1?e?xx，

又当x?0时，令h(x)?ex?x?1，则h?(x)?ex?1?0， 故h(x)?h(0)?0， 因此原不等式化为ex?x?1xx?a，即e?(1?a)x?1?0， 分

令g(x)?ex?(1?a)x?1，则g?(x)?ex?(1?a)，

由g?(x)?0得：ex?1?a，解得x?ln(1?a)，

当0?x?ln(1?a)时，g?(x)?0；当x?ln(1?a)时，g?(x)?0． 故当x?ln(1?a)时，g(x)取最小值g[ln(1?a)]?a?(1?a)ln(1?a)， 分 令s(a)?a11?a?ln(1?a),a?0，则s?(a)?(1?a)2?11?a??a(1?a)2?0．故s(a)?s(0)?0，即g[ln(1?a)]?a?(1?a)ln(1?a)?0． 因此，存在正数x?ln(1?a)，使原不等式成立． 分

（3）对任意正数ax1x21,a2，存在实数x1,x2使a1?e，a2?e， 则a?1?2?1x11a2?e?e?2x2?e?1x1??2x2，?x1x21a1??2a2??1e??2e，

原不等式a?1?2???1x1??2x21a2??1a12a2?e??1ex1??2ex2，

?g(?1x1??2x2)??1g(x1)??2g(x2)-----------------14分

由（1）f(x)?(1??)g(a)恒成立， 故g[?x?(1??)a]??g(x)?(1??)g(a)， 取x?x1,a?x2,???1,1????2，

·12·

-----------------6

-----------------8-----------------10

即得g(?1x1??2x2)??1g(x1)??2g(x2)， 即e?x??112x2??1ex1??2ex2，故所证不等式成立． -----------------14

分

·13·

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ldp3.html