数学建模思想在常微分方程课程教学中的应用

常微分方程是高等师范院校数学与应用数学专业基础课,常微分方程的方法同时也是数学建模中常用的方法。本文探讨了将数学建模思想融入常微分方程教学过程的具体实践。结合常微分方程理论性强和应用性强的特点,探索如何在教材、教学方法等方面融入数学建模思想的方法。

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数学建模思想在常微分方程课程教学中的应用高(北民族大学计算机学院西

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[摘要]常微分方程是高等师范院校数学与应用数学专业基础课，常微分方程的方法同时也是数学建模中常用的方法。本文探讨了将数学建模思想融入常微分方程教学过程的具体实践。结合常微分方程理论性强和应用性强的特点，探索如何在教材、教学方法等方面融入数学建模思想的方法。 [关键词]常微分方程教学中图分类号：62 2 1 G4 .4数学建模文献标识码： A文章编号：0 9 94 (0 9 0 a - 200 10— 1X 20 )3()0 0 - 1

常微分方程是数学的一个重要分支，然而，众多院校在《微分方常程》的教学中过多强调理论的严密性，淡化了该课程的实践性，缺乏对学生的动手能力和应用能力的培养，以致很多学生在学习了这门课程之后不知有何作用。因此，如何在教学中突出其实践性已成为近年来教学改革的热点，而数学建模是解决实际问题的一种方法，是数学学科与社会学科的交汇，它在本质上是一种训练学生思维和应用能力的手段或实验。所以，要解决《微分方程》教学中的问题，在该课程中融入数学建模常 思想非常有必要，势在必行。

注重常微分方程教学方法的改革 ( )采用启发型、讨论型教学方法一在教学中要改变传统的学生被动学习的教学模式，培养学生自主学习 能力，教师应从知识供应商转变成学生学习知识的顾问，引导学生发现问题，分析问题，解决问题.教师在整个课堂教学中充当组织者、管理者例如：在讲解一阶微分方程的初等解法时，老师应引导学生把一些实际问题转化为伯努利方程，再把伯努利方程变换为一阶非齐线性微分方程，讨论并掌握其解法。 ( )采用双语教学方法二在常微分方程教学中，我们试探性地采用了双语教学，采用国外优秀的原版教材，自然地也引入先进的教学思想与方法，因为国外教材有大量的实际应用题，有利于在教学中融入数学建模思想 .在课堂上

主要采用中文讲解，英文板书的模式来进行，对于课本上较浅显的内容让学生自己阅一

应用微分方程的解法，即可得到满足初始条件的解例 2新产品的销售模型种新产品 (电脑、空调等)像问世，人们对其功能尚不熟悉，以销售所速度较慢 .随着销售数量的增加，们对于其越来越了解，人销售速度也增加， 但这类商品销售到一定数量时，因人们不会重复购置，而使销售速度减慢.设计一个数学模型描述产品销售速度.导学生分析，引他们认识到，需求量有一个上界 P,用 Y t表示 t ()时刻已售产品数量，尚未售出量约为 pY t;让则 - ()学生进一步分析知，品的销售速度 d产 y/d与销售量 y t和 P () t ()—y t的乘积成正比，比例系数为 k则 d, y/d=k (- )解此方程得销售数量 y t t y p y, () = P/ (+ e )其中 C任意常数： 1C,是为讨论销售速度的变化情况，需求出销售速度的加速度，是再对方程求导得： Zdt k y t P y一 y y d -k y于 dy 2= d d (- ) k d r d d (一y ),因而，当 Y=P 2 tP 2/时，加速度 dy z= 0即销售速度达到最 zdt,大值 .从而求得 t,使 y t)= P:学生从模型得到结论， t t ( 2当<时，销售速度逐渐增大， t>t时，销售速度逐渐减小，这表明，在销售量当 小于最大销售量的一半时，销售速度是不断增大的，销售量达到最大销售量的一半时，产品最为畅销，后销售速度开始下降.其一

=采用计算机辅助教学计算机辅助教学是一种很好的教学方法，在国外教学中非常流行 .把多媒体引入到微分方程的日常课堂教学中，多媒体课件图文并茂，突破黑板二维空间的局限性，充分调动学生的学习欲望，以校园网为平台，建立网络教学，学习跟踪，在线答疑，在线交流，突破时间和空间的界限，实现最大程度的资源共享 .结合微分方程的理论知识，运用 M p e M t a、 a l、 a lb M te a ia等软件来求解实际问题，为培养学生应用数学的思想方法和 ah m tc计算机科学技术解决实践问题打基础三、注t对学生学法的指导用数学建模思想方法

来指导学生学习常微分方程，会收到事半功倍的学习效果，如指导学生采用徐利治教授倡导的“关系映射反演”组)问 ( 题时，按如下 R I理的图示进行思考。 M原 四 .总结综上所述，改变传统的照本宣科的教学方式，教学过程中引入数学建模的思在想和实例，丰富教学内容，发学生的学激习兴趣。在教学中贯穿数学建模思想，等于教给学生一种好的思想方法，足给学更生一把开启成功大门的钥匙，为学生架起了 座从数学知识到实际问题的桥梁，学生能灵活地根据实际问题构建出使 合理的数学模型，得心应手地解决问题。 参考文献： []高雄等 .微分方程[]北京：等教育出版社， 0 6 1王常 M.高 20. [] 2姜启源，谢金星，叶俊 .学模型[]北京：等教育出版社，数 M .高一

读，这样适量的运用外语，不但没有加重学生的负担，反而激发学生的 好奇心，让学生由被动学习转为主动学习，同时也培养了学生阅读数学外文书籍、资料的能力。 ( )采用案例教学方法三利用课本中已有的相应常微分方程理论、思想方法，结合日常生活中 的实际问题进行建模，这样的教学过程虽然比直接解纯常微分方程问题要麻烦一些，但对学生来说，具有实用性、启发性，其教育价值更大，既加深了学生对常微分方程知识的理解，又强化了学生的应用意识，培养了学生数学建模能力.这将在填补常微分方程理论与其在应用上的鸿沟起到积极的作用。

例 1有 A B C三个容纳盐水的盐水罐，中分别可以容纳 2现，,其 0升， 4 0升， 0的盐水，始状态时，罐盐水含盐量为 l 5升初 A 5克，、C罐含盐量 B为 0克。各盐水罐中盐水的变化如图 l示，究各盐水罐中盐量的变化所研情况。。

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≮… 1盐水罐示意图 t时刻， t个盐水罐的盐量分别为 x。:。、x、x。根据图 1

解：设

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中 A B c个盐水罐的盐量变化情况，立微分方程为：,,建J‘=-) 4 5.

[] 3李大潜 .数学建模思想融入数学类主 f课程[]中国人学数学，将 J.2 0,() 0 6 i

{ 0 x 0 5z L= 1

x s— 2 0 5￣0 x I= .x- , 2 2

步：实例中小矩形的高抽象为 f‘i,故可得到小矩形面积 A= ( i ( ) if‘ ) △X, i由于 f i是小区间卜的任意-的函数值，可用 f ( )代替 f ( )点 X ( i第步：n个小矩形面积之和为∑ f Ii△ x。第四步： ) ( ) i曲边梯形

属性所适合的外延。这里的 l积、路程都具有叠加性。促使学生将所学 A】的概念与原认知结构中适当的概念发生联系，进而使学生原有的认知结构发生同化、顺应，扩展原有的认知结构。 通过对概念实质的把握，提炼出其蕴含的数学观点和数学思想方法。 对学生进行矛盾、运动、发展和变化等观点的教育，让学生在学习过程中潜移默化的形成辩证的认识观和方法论。 这样的教学激发了学生的自我动机、自我实现、进而主动的学习。 有效地增强了学生学习的积极性、独立性、和创造性。所得到的教学效果十分显著，以至在后期的定积分应用教学中学生都能正确的将所学的数

的面积为 A m< i△ x,最终形成_ -i ) i f数学语言，抽象概括出定积分表达

式：(d (i X』 xx∑fI) i f)=△。:、深化精念教学，使学生对概念的认识得到升华。给出定义后，教帅再进一步指出：积就是积累的意思，普通加法是种积累，积分也是一种积累，不过这种积累与普通的加法不同，它要经过取极限的过程。即定积分是一个和式的极限。同时还应强调这些问题是不能用以前学过的初等数学方法来解决，要使学生明确这一问题的本质一

学思想和方法运用到解决实际问题中去。

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