初中数学第14章一次函数

明镜学院讲义 讲课人：邓威

第十四章 一次函数

测试1 变量与函数

学习要求

1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）

2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．

3．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．

课堂学习检测

一、填空题

1．设在某个变化过程中有两个变量x和y，如果对于变量x取值范围内的______，另一个变量y都有______的值与它对应，那么就说______是自变量，______是的函数．

2．设y是x的函数，如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量的值为______时的______． 3．对于一个函数，在确定自变量的取值范围时，不仅要考虑______有意义，而且还要注意问题的______．

4．飞轮每分钟转60转，用解析式表示转数n和时间t（分）之间的函数关系式： （1）以时间t为自变量的函数关系式是______． （2）以转数n为自变量的函数关系式是______．

5．某商店进一批货，每件5元，售出时，每件加利润0.8元，如售出x件，应收货款y元，那么y与x的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______．

6．已知5x＋2y－7＝0，用含x的代数式表示y为______；用含y的代数式表示x为______． 7．已知函数y＝2x2－1，当x1＝－3时，相对应的函数值y1＝______；当x2??5时，相对应的函数值y2＝______；当x3＝m时，相对应的函数值y3＝______．反过来，当y＝7时，自变量x＝______． 8．已知y?x y ? 26,根据表中 自变量x的值，写出相对应的函数值． x－4 －3 －2 －1 ? 1 20 1 21 2 3 4 ? 二、求出下列函数中自变量x的取值范围 9．y?x?x?5 12．y?

x2x?110．y?4x 2x?311．y?2x?3

13．y?31?2x

14．y?x?3 x?2 1 / 26

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x015．y?

x?116．y?3x?2

|x?2|17．y?2x?3?3?2x

综合、运用、诊断

一、选择题

18．在下列等式中，y是x的函数的有（ ）

3x－2y＝0，x2－y2＝1，y?x,y?|x|,x?|y|.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

19．设一个长方体的高为10cm，底面的宽为xcm，长是宽的2倍，这个长方体的体积

V（cm3）与长、宽的关系式为V＝20x2，在这个式子里，自变量是（ ） A．20x2 B．20x C．V D．x

20．电话每台月租费28元，市区内电话（三分钟以内）每次0.20元，若某台电话每次通

话均不超过3分钟，则每月应缴费y（元）与市内电话通话次数x之间的函数关系式 是（ ）

A．y＝28x＋0.20 B．y＝0.20x＋28x C．y＝0.20x＋28 D．y＝28－0.20x 二、解答题

21．已知：等腰三角形的周长为50cm，若设底边长为xcm，腰长为ycm，求y与x的函数

解析式及自变量x的取值范围．

22．某人购进一批苹果到集市上零售，已知卖出的苹果x（千克）与销售的金额y元的关系

如下表：

x（千克） y（元） 1 2+0.1 2 4+0.2 3 6+0.3 4 8+0.4 5 10+0.5 ? ? （1）写出y与x的函数关系式：______；

（2）该商贩要想使销售的金额达到250元，至少需要卖出多少千克的苹果？

拓展、探究、思考

23．用40m长的绳子围成矩形ABCD，设AB＝xm，矩形ABCD的面积为Sm2，

（1）求S与x的函数解析式及x的取值范围；

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（2）写出下面表中与x相对应的S的值： x S ? 8 9 9.5 10 10.5 11 12 ? ?

（3）猜一猜，当x为何值时，S的值最大？

（4）想一想，如果打算用这根绳子围成的面积比（3）中的还大，应围成么样的图形？

并算出相应的面积．

测试2 函数的图象

学习要求

初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，能初步学会依据函数的图象分析（或回答）该函数的某些性质（即“看图识性”）．

课堂学习检测

一、解答题 1．回答问题．

（1）什么是函数的图象？

（2）为什么要学习函数的图象？

（3）用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤是什么？

2．用“描点法”分别画出下列各函数的图象． （1）y?1x 2 3 / 26

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x y ? －6 －4 －2 0 2 4 ? 解：函数y?（2）y?1x?3 21x的自变量x的取值范围是______． 2

解：函数y?x y ? 1x?3的自变量x的取值范围是______． 2－6 －4 －2 0 2 4 ? 问题：当（2）中的自变量x的取值范围变为－2≤x＜4时，请在上图中标出相应的图象部分． （3）y＝x2

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解：函数y＝x2的自变量x的取值范围是____．

x y ? ? ?3 2 －1 1? 2 0 1 2 1 3 2 ? 从图象可以得到，函数图象的最低点的坐标是______；此图象关于______对称．

3．如图2－1，下面的图象记录了某地一月份某大的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图象回答下面的问题：

图2－1

（1）在这个问题中，变量分别是______，时间的取值范围是______；

（2）20时的温度是______℃，温度是0℃的时刻是______时，最暖和的时刻是_______

时，温度在－3℃以下的持续时间为______小时； （3）你从图象中还能获得哪些信息？（写出1～2条即可）

答：__________________________________________________．

综合、运用、诊断

一、选择题

4．图2－2中，表示y是x的函数图象是（）

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图2－2

5．如图2－3是护士统计一位病人的体温变化图，这位病人中午12时的体温约为（）

图2－3

A．39.0℃ B．38.2℃ C．38.5℃ D．37.8℃

6．如图2－4，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t（小时）与山高h（千米）间的函数关系用图象表示是（ ）

图2－4

二、填空题

7．星期日晚饭后，小红从家里出去散步，图2－5所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题

图2－5

（1）公共阅报栏离小红家有______米，小红从家走到公共阅报栏用了______分； （2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了______分；

（3）邮亭离公共阅报栏有______米，小红从公共阅报栏到邮亭用了______分； （4）小红从邮亭走回家用了______分，平均速度是______米／秒． 三、解答题

8．已知：线段AB＝36米，一机器人从A点出发，沿线段AB走向B点．

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（1）求所走的时间t（秒）与其速度V（米／秒）的函数解析式及自变量V的取值范围； （2）利用描点法画出此函数的图象．

拓展、探究、思考

9．大家知道，函数图象特征与函数性质之间存在着必然联系．请根据图2－6中的函数图象 特征及表中的提示，说出此函数的变化规律．此外，你还能说出此函数的哪些性质？

图2－6

序号 （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）

函数图象特征 曲线与y轴交于点D（0，4） 曲线与x轴分别交于点B（－5，0）、F（2，0）、H（6，0） 曲线经过点E（1，2） 由左至右曲线AC呈上升状态 由左至右曲线CG呈下降状态 由左至右曲线GK呈____________ 曲线上的最高点是C（－2，5） 函数变化规律 自变量的取值范围是______． 当x=______时，y=______． 当x的值分别为时______，y=0． 当x=______时，y=______． 当－6≤x≤－2时，y随x的增大而______． 当______时，y随x的增大而___________． 当______时y随____________． 当x=______时，y有______值，且这个值为 7 / 26

（1） 曲线从点A（－6，－4）至点K（7，2） 明镜学院讲义 讲课人：邓威

____________． （9） （10） 曲线上的最低点是____________ 曲线BCF位于x轴的上方 当x=______时，y有______值，且这个值为____________． 当______时，y______0． 测试3 正比例函数 学习要求

理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y＝kx的图象，能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．

课堂学习检测

一、填空题

1．形如______的函数叫做正比例函数．其中______叫做比例系数．

2．可以证明，正比例函数y＝kx（k是常数．k≠0）的图象是一条经过______点与点（1，______的__________，我们称它为______．

3．如图3－1，当k＞0时，直线y＝kx经过______象限，从左向右______，因此正比例函数y ＝kx，当k＞0时，y随x的增大而______；当k＜0时，直线y＝kx经过______象限，从左向右______，因此正比例函数y＝kx，当k＜0时，y随x的增大反而______．

图3－1

4．若直线y＝kx经过点A（－5，3），则k ＝______．如果这条直线上点A的横坐标xA＝4，那么它的纵坐标yA＝______． 5．若??x??4,是函数y＝kx的一组对应值，则k＝______，并且当x≥5时，y______；当y

?y??6＜－2时，x____________． 二、选择题

6．下列函数中，是正比例函数的是（ ） A．y＝2x

B．y?1 2xC．y＝x2 D．y＝2x－1 7．如图3－2，函数y＝－x（x＜0）的图象是（）

图3－2

8．函数y＝－2x的图象一定经过下列四个点中的（ ） A．点（1，2） B．点（－2，1）

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1C．点(,?1)

2

1D．点(?1,)

29．如果函数y＝（k－2）x为正比例函数，那么（ ） A．k＞0 B．k＞2 C．k为实数 D．k为不等于2的实数 10．如果函数y?(m?2)x|m?1|是正比例函数，那么（ ）

A．m＝2或m＝0

B．m＝2

C．m＝0

D．m＝1

综合、运用、诊断

一、解答题

11．若规定直角坐标系中，直线向上的方向与x轴的正方向所成的角叫做直线的倾斜角．请

在同一坐标系中，分别画出各正比例函数的图象，它们各自的倾斜角是锐角还是钝角？比例系数k对其倾斜角有何影响？

（1）y1?12x,y2?x,y3?32x,y4?3x;

（2）y1??3x,y2??31x,y3??x,y4??x. 22

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12．有一长方形AOBC纸片放在如图3－3所示的坐标系中，且长方形的两边的比为OA：

AC＝2：1.

（1）求直线OC的解析式；

（2）求出x＝－5时，函数y的值； （3）求出y＝－5时，自变量x的值； （4）画这个函数的图象；

（5）根据图象回答，当x从2减小到－3时，y的值是如何变化的？

图3－3

13．如图3－4，居室窗户的高90cm，活动窗拉开的最大距离是80cm．如果活动窗拉开xcm

时，窗户的通风面积是ycm2．

（1）试确定这个函数的解析式并指出自变量x的取值范围； （2）画出这个函数的图象．

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（2）第一批A产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万

元？（说明理由）

12．在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）．现有两种购买

方案：

方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；（总费用＝广告赞助费＋门票费）

方案二：购买门票方式如图8－9所示． 解答下列问题：

（1）方案一中，y与x的函数关系式为______；

方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为______， 当x＞100时，y与x的函数关系式为______．

图8－9

（2）如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请

说明理由；

（3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足场赛门票共700张，花去总费

用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张．

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的坐标．

4．如图7－1，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，二元一次方程组??y?ax?b,的解是________．

y?kx,?

图7－1

5．一次函数y?1x?4和y＝－3x＋3的图象的交点坐标是________． 2二、选择题

6．将方程x＋3y＝7全部的解写成坐标（x，y）的形式，那么用全部的坐标描出的点都在直线（ ）上． 1717C．y??x? D．y??x?

33337．如图7－2所示，图中两条直线l1、l2的交点坐标可以看做是方程组（ ）的解．

A．y?17x? 33B．y?17x? 33?x?y?2,A．?

x?2y?4??x?y?2,C．?

2y?x?4?

?x?y?2,B．?

x?2y?4??x?y?2,D．?

x?2y??4?

图7－2

三、解答题

18．已知：直线y??x?2.

21（1）求直线y??x?2与x轴的交点B的坐标，并画图；

21（2）若过y轴上一点A（0，3）作与x轴平行的直线l，求它与直线y??x?2的交点

2M的坐标； 1（3）若过x轴上一点C（3，0）作与x轴垂直的直线m，求它与直线y??x?2的交

2点N的坐标．

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9．两个一次函数的图象如图7－3所示， （1）分别求出两个一次函数的解析式； （2）求出两个一次函数图象的交点坐标； （3）求这两条直线与y轴围成三角形的面积．

图7－3

综合、运用、诊断

10．如图7－4，某边防部接到情报，近海处有一可疑船只A正向出海方向行驶，边防部迅

速派出快艇B追赶，在追赶过程中，设可疑船只A相对于海岸的距离为y1（海里），快艇B相对于海岸的距离为y2（海里），追赶时间为t（分），图中lA、lB分别表示y1、y2与t之间的函数关系，结合图象解答下列问题：

（1）分别求出y1、y2与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）B需要用多长时间追上A？

图7－4

拓展、探究、思考

11．（1）若直线y＝kx＋b与直线y＝2x－1关于x轴对称，求这条直线的解析式；

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（2）将直线y＝2x－1向左平移3个单位，求平移后所得直线的解析式；

（3）将直线y＝2x－1绕原点顺时针转90°，求旋转后所得直线的解析式．

12．如图7－5，l1、l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯费用y（费用＝灯的售价＋电费，

单位：元）与照明时间x（时）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．

（1）根据国象分别求出l1、l2的函数关系式；

图7－5

（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？

（3）若照明时间不超过2000小时，如何选择这两种灯具，能使使用者更合算？

测试8 一次函数与一元一次不等式

学习要求

1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．

2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．

课堂学习检测

一、填空题 1．由于任何一元一次不等式都可以转化为______的形式，所以解一元一次不等式可以看作：______．

2．如图8－1，直线y＝kx＋b与x轴交于点（－4，0），则y＞0时，x的取值范围是______．

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图8－1 图8－2

3．如图8－2，直线y＝kx＋b与y轴交于（0，3），则当x＜0时，y的取值范围是______． 4．一次函数y＝kx＋b的图象如图8－3，则当x______时，y＜4．

5．一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2的图象如图8－4所示，则当x______时，y1＜y2；当x______时，y1＝y2；当x______时，y1＞y2．

图8－3 图8－4

6．已知：如图8－5，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点M，则点M的横坐标xM＝_____． （1）若k＞0，则当x＜xM时，y______0；当x＞xM时，y______0； （2）若k＜0，则当x＜xM时，y_____0；当x＞xM时，y______0．

图8－5

二、选择题

7．函数y＝kx＋b的图象如图8－6所示，则关于x的不等式kx＋b＜0的解集是（ ） A．x＞0 B．x＜0 C．x＞2 D．x＜2

图8－6

8．如图11－8－7，l1反映了某公司的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量（ ）

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A．小于3吨 C．大于3吨 三、解答题

9．已知：一次函数y＝－2x＋3．

（1）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）当x为何值时，y＞0？ （3）当x为何值时，y≤1？

（4）当－2≤x≤3时，求y的变化范围，并指出当x为何值时，y有最大值？ （5）当1＜y＜5时，求x的变化范围．

图8－7

B．小于4吨 D．大于4吨

综合、运用、诊断

10．已知：y1??

13x?1，y2?x?5,试用图象法比较y1与y2的大小． 22拓展、探究、思考

11．如图8－8，某公司专销A产品，第一批A产品上市40天内全部售完．该公司对第一批

A产品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中甲图中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；乙图中的折线表示的是每件A产品的销售利润与上市时间的关系．

图8－8

（1）试写出第一批A产品的市场日销售量y与上市时间t的关系式：

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（2）第一批A产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万

元？（说明理由）

12．在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）．现有两种购买

方案：

方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；（总费用＝广告赞助费＋门票费）

方案二：购买门票方式如图8－9所示． 解答下列问题：

（1）方案一中，y与x的函数关系式为______；

方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为______， 当x＞100时，y与x的函数关系式为______．

图8－9

（2）如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请

说明理由；

（3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足场赛门票共700张，花去总费

用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张．

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