第十章 曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分

10.1 对弧长的曲线积分

一、求曲线x?ecost,y?esint,z?e从t?0到任意点间的那段弧的质量，设

它各点的密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在点(1,0,1)处的密度为

ttt1。

（ 二、计算下列曲线积分：

3(1?1)te）

1.

?L2yds32?x?a(t?sint)?，其中L为旋轮线：?y?a(1?cost)（0?t???）。

（4?a）

(x?y)ds?2. ，其中L是顶点为O(0,0),A(1,0),B(0,1)的三角形边界。

L （1?2）

3.

?eLx2?y2ds，其中L是由极坐标曲线

界

r?a,??0,????所围成的区域的

边曲线。

（

2(ea?1)???aea）

(x?y?z)ds?4. ，其中L由直线AB：A(1,1,0),B(1,0,0)及螺线

L3?22??x?cost,y?sint,z?t(0?t?2?)组成。 （2）

22cosx?yds?L三、 计算

第

，其中L是由y?x,y?限

部

分

的

R2?x2,y?0所围成的

边

界

一象。

（

2sinR???2RcosR）

四、 计算

?L?x2?y2?z2?a22y?zds??，其中L是圆：?x?y。 （2?a）

2xds??五、 计算 ，其中L由直线x?0,y?x及曲线2?y?xL2所围成的第一象

界

限部分的整个边。

255?1?12） （210.2 对坐标的曲线积分

一、设一质点处于弹性力场中，弹力方向指向原点，弹力大小与质点到原点的距离

x2y2?2?12(0,a)kab成正比，比例系数为。若质点从点沿椭圆在第一象限部

分

移

动

到

点

(b0,，

求弹力所做的功。

1k(a2?b2)（2）

二、计算曲线积分

22(x?2xy)dx?(y?2xy)dy?L，其中L是抛物线的

方

向

y?x2(?1?x?1)14（15） ?三、 计算

段

y?yxdx?xedyL2沿

x增加。

，其中L是曲线y?弧

3x从点O(0,0)到点(1,1)的一

。

23（22）

四、 计算

点

2222(x?y)dx?(x?y)dy?L，其中L是曲线y?1?1?x从点(0,0)到

一

段

(2,0)的。

4（3）

五、 计算 ??ABCxdy?ydx22?A(?1,0),B(0,1),C(1,0)x?y?1AB，其中，为圆

2?的上半部分，BC为L是一段抛物线y?1?x（

。

????43）

六、 计算

沿

??xdyLxy??1，其中L是由直线23和两个坐标轴构成的三角形闭路，

逆

时

针

方

向

。

（3）

222(y?z)dx?2yzdy?xdz?L七、 计算

，其中L是曲线x?t,y?t,z?t从

一

段

弧

23t?01（35）

到

t?1的。

??八、已知平面力场F?{y,x}，将单位质量的质点M从坐标原点沿直线移动到椭

x2y2???2?12b圆a在第一象限上，问终点在何处时，力F做功最大？并求出功

的

最

大

值

。

abab,),Wmax?2） 2（2(10.3 格林公式及其应用

?x?a(t?sint)?一、 利用曲线积分计算由旋轮线 ?y?a(1?cost)（0?t???）与x轴所围区

域（3?a）

二、 利用格林公式计算下列曲线积分：

222(x?y)dx?(x?y)dy??L2的面积。

1.

，其中L是顶点为A(1,1),B(3,3),C(3,5)界

，

沿

逆

时

针

方

向

的三角形的边。

（?12）

22xydx?xydy??L2.

，其中L是圆周x?y?R的逆时针方向。

222（0）

2222(x?2xy?y)dx?(x?2xy?y)dy?L3.

，其中L是从点A(0,?1)沿直

22线y?x?1到点M(1,0)，再从点M沿圆周x?y?1的逆时针方向

到点

B(。

2（3）

4.

xx?[f(y)e?my]dx?[f(y)e?m]dy?L，其中f(y)具有连续的导数，L是连接点A(0,y1)和B(0,y2)的任何路径，且L与直线AB所围成的区域的面积为定值S，L总是位于直线AB的左方。

（mS?f(y2)?f(y1)?m(y2?y1)）

xdy?ydxdy22??三、 求 Lx?y，其中L为正方形x?y?1的逆时针方向。

（2?）

2xy?dx?y??x)dyL四、设曲线积分

与路径无关，其中??x)具有连续的导数，

且??????，求??x)，并计算积分

?(1,1)2(0,0)xyd?x??y)xdy。

（

??x)?x2,12）

，其中L是x?y?4的上半圆，

22五、求

由

22(y?2xy)dx?(x?2x?y)dy?L点

A(4到点

B(0的弧段。

（2?）

ydx?xdy??六、求 ，其中L是以A(1,0),B(0,1),C(?1,0)为顶点的三角形

L的（?1）

正向边界曲线。

七、证明：(3x?6xy)dx?(6xy?4y)dy在xOy面上是某一函数u(x,y)的

全

微

32223分

22，

4并求

u(x,y)。

（u(x,y)?x?3xy?y?C） 八、求抛物线(x?y)?ax(a?0)与

2x轴所围区域的面积。

a2（6）

九、设f(x)在(??,??)上有连续导数，求

1?y2f(xy)x22dx?[yf(xy)?1]dyA(3,)2?yy3到点L，其中L是从点

B(1,2)（?4）

的

直

线

段

。

10.4 对面积的曲面积分

一、 计算下列曲面积分：

22(x?y)dS????1.

R ，其中?是球面x?y?z?。

2228?R4（3）

2.

??xyzdS?1在第一卦限部分。 ，其中?是平面x?y?z?3（120）

3.

22(x?y)dS????，其中?是由圆锥面z?锥

体

的

x2?y2和平面z?1所围成

表

面

的圆。

1?(2?1)（2）

4.

??(xy?yz?zx)dS，其中?是圆锥面z??x2?y2被圆柱面

块

曲

面

。

x2?y2?2ax(a?0)642a4（15）

所截下的那

3zdS??5. ，其中?是抛物面z?2?x?2111??y（z?0）10。 （）

2xydS??6. ，其中?是曲面z?x?2?y2（0?z?1）在第一卦限的部分。

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