02牛顿运动定律习题解答

第二章 牛顿运动定律

一 选择题

1．下列四种说法中，正确的为：（ ）

A. 物体在恒力作用下，不可能作曲线运动； B. 物体在变力作用下，不可能作曲线运动；

C. 物体在垂直于速度方向，且大小不变的力作用下作匀速圆周运动； D. 物体在不垂直于速度方向的力作用下，不可能作圆周运动； 解：答案是C。

2．关于惯性有下面四种说法，正确的为：（ ） A. 物体静止或作匀速运动时才具有惯性； B. 物体受力作变速运动时才具有惯性； C. 物体受力作变速运动时才没有惯性；

D. 惯性是物体的一种固有属性，在任何情况下物体均有惯性。 解：答案是D 。

3．在足够长的管中装有粘滞液体，放入钢球由静止开始向下运动，下列说法中正确的是：（ ）

A. 钢球运动越来越慢，最后静止不动；

B. 钢球运动越来越慢，最后达到稳定的速度； C. 钢球运动越来越快，一直无限制地增加； D. 钢球运动越来越快，最后达到稳定的速度。 解：答案是D 。

4．一人肩扛一重量为P的米袋从高台上往下跳，当其在空中运动时，米袋作用在他肩上的力应为：（ ）

A. 0 B. P /4 C. P D. P/2

解：答案是A。 简要提示：米袋和人具有相同的加速度，因此米袋作用在他肩上的力应为0。 5．有两辆构造相同的汽车在相同的水平面上行驶，其中甲车满载，乙车空载，当两车速度相等时，均关掉发动机，使其滑行，若从开始滑行到静止，甲车需时t1，乙车为t2，则有：（ ）

A. t1 = t2 B. t1> t2 C. t1 < t2 D. 无法确定谁长谁短 解：答案是A。

简要提示：两车滑动时的加速度大小均为?g，又因v0?at1= v0?at2=0，所以t1 = t2

6. 若你在赤道地区用弹簧秤自已的体重，当地球突然停止自转，则你的体重将： （ ）

A. 增加； B. 减小； C. 不变； D. 变为0 解：答案是A 。

简要提示：重力是万有引力与惯性离心力的矢量和，在赤道上两者的方向相反，当地球突然停止自转，惯性离心力变为0，因此体重将增加。

7. 质量为m的物体最初位于x0处，在力F = ? k/x2作用下由静止开始沿直线运动，k为一常数，则物体在任一位置x处的速度应为（ ）

A.

k112k113k11k11(?) B.(?) C.(?) D.(?) mxx0mxx0mxx0mxx0解：答案是B。 简要提示： a?dvdvk1 ?v??dtdxmx2vx12k11k1v?(?)， vdv?(?)dx?0?x0mx22mxx02k11(?)。 mxx0所以 v?8. 一质量为m的物体在t = 0时下落，受到重力和正比于其速度（相对于空气）的空气阻力作用，已知相对固定在地面上的坐标系来说，其运动方程为dvm?mg?bv，则相对于以垂直向上速度v0运动的另一运动坐标系（用'表示）dt来说，运动方程变为：（ ）

dv' dv' ?m(g?v0)?bv' A. m??mg?bv' B. mdtdtdv' dv' ?v0)??mg?b(v'?v0) D. m?mg?b(v'?v0) C. m(dtdt解：答案是D。

简要提示：两个坐标系中的速度具有关系：v = v0 + v'，v和v'垂直下，v0

dv垂直向上，因此v = v' ?v0。将上述v代入运动方程m?mg?bv，得到：

dtdv' m?mg?b(v'?v0) dt9. 两个物体A和B用细线连结跨过电梯内的一个无摩擦的轻定滑轮。已知物体A的质量为物体B的质量的2倍，则当两物体相对电梯静止时，电梯的运动加速度为：( )

A. 大小为g，方向向上 B. 大小为g，方向向下 C. 大小为g/2，方向向上 D. 大小为g/2，方向向下 解：答案是B。

简要提示：如图所示，设电梯的加速度为a，方向向下。以电梯为参考系，则物体A和B的动力学方程分别为：

T?2ma?2mg T?ma?mg 两式相减，得：a = g

二 填空题

1. 质量分别为m1和m2的两木块，用一细绳相连，沿一倾角为??且固定的斜面下滑，如图所示，m1和m2与斜面间的摩擦因数分别为?1和?2，且?1＜?2，则下滑过程中m1的加速度为 ，m2的加速度为 ，绳中张力为 。

μm?μ2m2μm?μ2m2gcosθ； gsinθ?11gcosθ；解：答案为：gsinθ?11m1?m2m1?m2(μ2?μ2)m1m2gcosθ。

m1?m2简要提示：两物体的运动方程分别为：

m1gsin???1m1gcos??T?m1a1

T?m2gsin???2m2gcos??m2a2

a1?a2。

联合求解得到：

a1?a2?gsinθ?T?μ1m1?μ2m2gcosθ；

m1?m2(μ2?μ2)m1m2gcosθ。

m1?m22. 如图所示，一根轻弹簧的两端分别固连着质量相等的两个物体A和B，用轻线将它们悬挂起来，在将线烧断的瞬间，物体A的加速度大小是_____ m ? s–2，物体B的加速度大小是 m ? s–2

解：答案为：2g； 0。

简要提示：A物体 ma=mg+mg，∴ a=2g。

F m2 m1 θ? 1 ?2

o m

m1 m m2

填空题1图 填空题2图

填空题3图 填空题4图

B物体ma=mg?mg，∴ a=0。

3. 如图所示，一细线一端系着质量为m的小球，另一端固定于o点，可在竖直平面上摆动，将小球拉至水平位置后自由释放，当球摆到与铅直线成??角的位置时，小球的切向加速度大小为 ；法向加速度大小为 。

解：答案为：gsin? ； 2g cos? 。

简要提示：有受力分析得：切向加速度大小a?=gsin? ， 法向加速度大小an= v 2/l =2g l cos? /l =2g cos? 。 4. 如图所示，一条重而均匀的钢绳，质量m = 4 kg，连接两物体，m1 = 7 kg，m2 = 5 kg，现用F=200 N的力向上作用于m1上，则钢绳中点处的张力为 N。

解：87.5 N 。

F?(m?m1?m2)g?2.5m?s?2, 简要提示：a?m?m1?m2T?(m2?m/2)g?(m2?m/2)a， T?(m2?m/2)(g?a)?87.5N

5. 如图所示，A、B两物体质量均为m，用质量不计的定滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则A获得的加速度大小为________，B获得的加速度大小为________。

解：答案为：g/5； 2g/5。

简要提示：物体A和B的运动方程分别为：

mg?T?maB 2T?mg?maA

填空题5图

A

B

aB?2aA

解得：A的加速度大小为g/5，B的加速度大小为 2g/5。

6. 一条公路的某处有一水平弯道，弯道半径为50m，若一辆汽车车轮与地面的静摩擦因数为0.6，则此车在该弯道处行驶的最大安全速率为 。

解：答案为61.74 km ? h–1

2mvmax??smg， 简要提示：

R最大安全速率为vmax??smg?300m?s?1?61.74km?h?1 7. 如图所示，堆放着三块完全相同的物体，质量均为m，设各接触面间的静摩擦因数与滑动摩擦因数也都相同，均为? 。若要将最底下的一块物体抽出，则作用在其上的水平力F至少为 。

解：答案为：F ? 6 ? mg。

简要提示：对于最下面一块物体，有：

F?2mg??3mg??ma，

F?5mg??ma。

m m m

填空题7图

可以算出上面两块物体因摩擦获得的加速度都是?g，所以若要将最底下的一块物体抽出，则要求a>?g。得到：F ? 6 ? mg 。

8. 已知月球的质量是地球的1/81，月球半径为地球半径的3/11，若不计自转的影响，在地球上体重为G1的一人在月球上的体重约为 。

解：答案为：1/6 。

M简要提示：在地球上有：G1?mG2

r1在月球上有：G2?mGM2M2M1M2r22

∴

G2r?2M1G1r122181?1 ??r222(3)26(2)11r19. 质量为M的小球用长为L的绳子悬挂着，在水平面内作匀速率圆周运动，

如图所示，设转动的角速度为?，则绳子与竖直方向的夹角?为????????????????????。?

解：答案为：cos?1(g?L2)?

简要提示：由动力学方程：Tsin??m?2Lsin?????????????????????????????????????????????????????Tcos??mg?可得：??????????????cos??g?2L?

10. 如图所示，质量分别为m1、m2和m3的物体迭在一起，则当三物体匀速下落时，m2受到的合外力大小为 ；当它们自由下落时，m3受到的合

??L m1 m2

M m3

填空题9图 填空题10图

外力大小为 ；当它们以加速度a上升时，m1受到的合外力大小为 ；当它们以加速度a下降时，三物体系统受到的合外力大小为 ；

解：答案为：0； m3g； m1a； (m1+m2+m3)a 。 简要提示：由受力分析可以得到。 ?

三 计算题

1．一物块在离地高1m的水平桌面上滑动，当其滑到离桌边3 m处时，速率为4 m ? s–1，然后滑出桌边落地，其着地点距桌边1m，求物块与桌面间的滑动摩擦因数。

解：物块滑离桌面后做平抛运动，则离开桌边的速率为

v?gx?x t2h2v2?v0从起始点滑到桌边，物体做匀变速直线运动，其加速度a?

2s由牛顿第二定律：??mg = ma

得 ???a1g2??(x?v2) g2gs2h将v0 = 4 m ? s–1， s =3m， x =1m， h =1m， g = 9.8 m ? s–2，

代入算得 ? =0.19。

2. 如图所示，两物体的质量m1 = 1kg，m2 = 2kg，用长4 m的细绳挂在定滑轮上，绳、滑轮的质量及摩擦均不计，开始时m1离桌面高h1 = 1m，m2离桌面高h2 = 1.5m，然后m2由静止下落，求m1上升最高点离桌面的高度h 。

解：如图，m1有两个运动过程，一是以a向上作匀加速直线运动，设移动的距离为x1，显然x1=h2。二是以v作竖直上抛运动，设向上移动的距离为x2 。

取x轴向上为正向，由牛顿定律

?T?m1g?m1a ?

mg?T?ma2?2m?m11g?g 解得： a?2m2?m13 x1?h2?1.5m v2?2ax1?2ah2 v2ah2??0.5m ∴ x2?2gg故 h?x1?x2?h1?3m

m2 m1 h1 h2 计算题2图

A o ? T r C D 计算题3图

B m M ? 计算题4图

3. 如图所示，一质量为m的小球最初位于光滑圆形凹槽的A点，然后沿圆弧ADCB下滑，试求小球在C点时的角速度和对圆弧表面的作用力，设圆弧半径为r 。

解：在C点由牛顿第二定律

d v （1） dt T?mgcosα?mr?2 （2）

dαd?d?由（1）： gsinα??r .??r?dtdαdα ?mgsin??m积分 g?πsinαdα??r??d?

?20α? gcosα?r ???22

2gcosα r2gcosα代入（2） T?mgcosα?mr?3mgcosα

r或由机械能守恒求? 。

4. 如图所示，质量为M的楔形物体放在倾角为? 的固定的光滑斜面上，楔形物体的上表面与水平平行，其上放一质量为m的质点，m与M间无摩擦，求

（1） 当m在M上运动时，m相对于斜面的加速度大小 （2） 楔形物体与斜面间的作用力

解：关键搞清m、M与斜面间的运动，m的水平方向不受力，水平方向无加速度。而m对M为相对运动，M对斜面为牵连运动，故m对斜面的加速度只有竖直分量，大小等于M对斜面的加速度a的竖直分量asin? 。如下图，可列方程：

N?Mgcosα?N1cosα?0

N N1? Mgsinα?N1sinα?Ma

M ??masinα mg?N1m

??N1 N1N1 a mg Mg (M?m)sinαg 解得 a?(M?msin2α)m相对斜面的加速度为

(M?m)sin2αg a1?asinα?2(M?msinα)而 N1?mg?masinα?故楔形体与斜面的作用力

N?Mgcosα?Ncosα?Mmcos2αM?msin2αg

M(M?m)gcosαM?msinα2

5. 一学生为确定一个盒子与一块平板间的静摩擦因数?s和动摩擦因数?，他将盒子置于平板上，逐渐抬高平板的一端，当板的倾角为30°时，盒子开始滑动，并恰好在4s内滑下4m的距离，试据此求两个摩擦因数。

解：（1） 由fs?μsmgcosθ, fs?mgsiθn?0，得到 3?0.577m?s?2 3下滑时 mgsinθ??mgcosθ?ma

? μs?tan30°12at a?2s/t2?0.5m?s?2 2将上式 mgsinθ 以fs?μsmgcosθ代入得 由匀加速直线运动 s? μsmgcosθ??mgcosθ?ma

a0.5?0.577??0.52 μ?μs?gcosθ9.8?0.8666. 一质量为80 kg的人乘降落伞下降，向下的加速度为2.5 m ? s–2，降落伞的

质量为2.5 kg，试求空气作用在伞上的力和人作用在伞上的力。

解：（1）由 (M?m)g?fr?(M?m)a，得到 fr?(M?m)(g?a)?(80?2.5)(9.8?2.5)?602(N)，方向向上。 （2）Mg?T?Ma，得到

T?M(g?a)?80(9.8?2.5)?584(N) 由牛顿第三定律，人作用在伞一的力

?T?584N，方向向下。 T′7. 质量为m的质点，原来静止，在一变力作用下运动，该力方向恒定，大小随时间变化，关系为F = F0[1 ?（t ? T）/ T ]，其中F0、T为恒量，求经过2T时间后质点的速度。

解：由牛顿第二定律，有：

mdvtFt?F0(2?)， d v?0(2?)dt，

mTdtT2TF02FTt(2?)dt?0 0mTm8. 质量m = 10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t = 0时，物体位于原点，速度为零。试求物体在外力F = 4+3x作用下，运动了5 m时的速度。

两边积分得： v??解：已知：x0?0，v0?0，所以由牛顿运动定律： a?d vd v4?3x， ?v?F/m?dtdxm得： vd v?4?3xdx m两边积分： v?3.4m?s?1

9. 一质量为m的小球，从高出水面h处的A点自由下落，已知小球在水中受到的粘滞阻力与小球的运动速度v成正比，设小球在水中受到的浮力可忽略不计，如以小球恰好垂直落入水中时为计时起点（t=0），试求小球在水中的运动v随时间t变化的关系式。

mdvdv解：由牛顿第二定律 m ?mg?kv，得到：dt?mg?kvdttvmdvmvd(mg?kv)???两边积分得： ?dt??

0v0mg?kvkv0mg?kv ∴ t??vmmg?kv0mln(mg?kv)?ln

vokkmg?kvkk?t?tmg(1?em)?v0em 故 v?k因 v0?2gh

?t?tmg(1?em)?2ghem 所以 v?k10. 如图所示，一倾角为? 的斜面置于光滑桌面

a 上，斜面上放一木块，两者间摩擦因数为?（

kk? θ 计算题10图

解：以木块为研究对象，取沿斜面向下方向为x轴，垂直于斜面向上方向为y轴，由受力分析有

x方向上： mgsinθ?f?macosθy方向上： N?mgcosθ?masinθf?m(gsinθ?acos?)θ)N?m(gcosθ?asin?)

联立求得：

根据题意，题中的摩擦力应为静摩擦力，因此相对静止条件为：??N?f??N

由以上三式联立求得加速度a应满足

tanθ?μtanθ?μg?a?g

1?μtanθ1?μtanθ11. 一条均匀的绳子，质量为M，长度为L，一端拴在转轴上，并以匀角速

度??旋转，忽略绳子的重力，求距离转轴r处绳子的张力。

解：取径向向外为坐标轴的正方向，如图所示，在绳子上取一微元dr，由牛顿运动定律：

T O22dT?dm?r?M?rdr/L 注意绳子末端是自由端，受力为零，所以两边积分：

dr T+dT ?0TdT??M?2rdr/L

LrM?22(L?r2) 得： T?2L 12．如图示，光滑金属丝上穿一小环，当金属丝绕竖直轴oy以角速度??匀

速转动时，小环可在丝上的任何位置保持与丝相对静止，试证明：金属丝的曲线方程应为：y =??2x2 / 2g 。

y y N f n o 计算题12图

? x θ mg x 证明：设环质量为m，位置坐标x , y ,该处丝斜率为 tan? = dy / dx

以丝为参照系，环受mg , N和惯性力fn三个力作用，f n = m??2 x 。

切线方向相对静止：f n cos? ? m g sin? = 0

fnm?2?2?x?x tanθ?mgmggdy?2?tan??x 故 dxg分离变量积分：

?0ydy??x?2g0xdx， 得：y??22gx2, 证毕。

13．地球的半径R = 6.4?10 3 km，地面上的重力加速度g=GM/R2 =9.8 m ? s– 2，

其中G为引力常量，M为地球质量，求证地球同步卫星离地高度应为3.6?104 km。

证明：设卫星质量为m，离地心距离为R s，则其离地高度为H = R s ? R 。故有

m?2 Rs = G M m / Rs2 (?为地球自转角速度)

Rs?G得 Rs?(g3M?2MR2R2?G2.2?g2

R??R2?21)3?39.8?(6.4?106)2(2π/86400)2 ?4.23?107(m)

所以： H?Rs?R?(42.3?6.4)?103?3.6?103(km)

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