线性规划在实际生活中的应用

应用一：

某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石8t、B种矿石8t,煤5t;生产乙种产品1t需耗A种矿石4t,B种矿石8t,煤10t。每吨甲种产品的利润是500元，每吨乙种产品的利润是400元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过320t、B种矿石不超过400t、煤不超过450t。甲、乙两种产品应各生产多少能使利润总额达到最大？

解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t 利润总额为z元，那么

?8x?4y?320?8x?8y?400???5x?10y?450?x?0???y?0，

z?500x?400y

（30，20）

作出以上不等式组所表示的可行域。

作直线l：5x+4y=0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=500x+400y取最大

?2x?y?80?x?y?50

值，解方程组?得M的坐标为（30，20）

答：应生产甲产品 30t、乙产品20t ，能使利润总额最大。 应用二：

某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A、B两种规格金属板，每张面积分别为2m2与3m2。用A种规格金属板每张可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板每张可造甲、乙两种产品各6个，问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？

解答：设A、B两种金属板各取x张、y张，用料面积为z，则约束条件为

?3x?6y?45?5x?6y?55???x?0??y?0

z?2x?3y目标函数

作出以上不等式组所表示的可行域，如下图所示。

作直线l0：2x?3y?0，把直线向右上方平移至l的位置时，直线经过可行域上的点M时，与原点距离最小，此时z?2x?3y取最小值。

?5x?6y?55?解方程组?3x?6y?45得M点的坐标为（5，5） 此时

zmin?2?5?3?5?25

答：两种金属板各取5张时，用料面积最省。

应用三：

某公司的仓库A存有货物12t，仓库B存有货物8t，现按7t、8t和

5t把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店。从仓库A、B到商店甲、

乙、丙每1t货物的运费分别为8元、6元、9元和3元、4元、5元。求从两个仓库到三个商店运费最小的方案。

解：设仓库A供给甲商店x(t)，供给乙商店y(t)，则仓库A供给丙商店12?x?y(t)，仓库B供给甲商店7?x(t)，乙商店8?y(t)，丙商店

8?(7?x)?(8?y)(t)，目标函数：

z?8x?6y?9(12?x?y)?3(7?x)?4(8?y)?5[8?(7?x)?(8?y)]?x?2y?126

?x?0?y?0???12?x?y?0?0?x?7??0?y?87?x?0????8?y?0x?y?12???8?(7?x)?(8?y)?0即??x?y?7 线性约束条件?作出可行域，如下图。

作直线l0：x?2y?0并向上平移至l的位置时，直线经过可行域上的点D，目标函数取最小值。

此时，zmin?0?2?8?126?110

答：仓库A供给甲商店0t，乙商店8t，丙商店4t，仓库B供给甲商店7t，乙商店0t，丙商店1t时，运费最小。

实例一：

如图所示，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得；从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测倾器．

(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计—个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下： ①测量数据尽可能少；

②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并

将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ等表示，测倾器高度不计)

(2)根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度 HG(用字母表示)．

α β

E

解：

1) 在A处测得仰角α，在D处测得仰角β， 2) 测量AD=m, DC=n， 3) AE=HE/tanα DE=HE/tanβ 4) AD=AE-DE=HE/ tanα- HE/tanβ

5) HG=HE+DC=(m*tanα*tanβ)/(tanα+tanβ)+n

α β

E

解：

1) 在A处测得仰角α，在D处测得仰角β， 2) 测量AD=m, DC=n， 3) AE=HE/tanα DE=HE/tanβ 4) AD=AE-DE=HE/ tanα- HE/tanβ

5) HG=HE+DC=(m*tanα*tanβ)/(tanα+tanβ)+n

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