差分方程模型

幻灯片1

第七章 差分方程模型

7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划——节食与运动 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长

幻灯片2

7.1 市场经济中的蛛网模型

供大于求

价格下降

减少产量

现 象

数量与价格在振荡

供不应求

增加产量

价格上涨

描述商品数量与价格的变化规律 问 题

商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定

幻灯片3

蛛 网 模 型

xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格

消费者的需求关系

yk?f(xk) 减函数

需求函数

供应函数

生产者的供应关系

增函数

xk?1?h(yk)

yk?g(xk?1)

y

f 0

x

g

f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点

y0

P0

x0

一旦xk=x0，则yk=y0,

xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0

幻灯片4

yk?g(xk?1)

yk?f(xk)

蛛 网 模 型

设x1偏离x0

xk?1?h(yk)

x1?y1?x2?y2?x3??

xk?x0,yk?y0

xk?x0,yk?y0

P?P?P???P1230

P?P?P???P1230

P0是稳定平衡点

P0是不稳定平衡点

y

f g y0

P0 0

x0 x

y

f g y0

P0 0

x0 x

P3

P4

曲线斜率

Kf?Kg y2

P3

P4

x3

Kf?Kg

y3

P2

P1

P2

x2

y1

P1

x1

幻灯片5

在P0点附近用直线近似曲线

方 程 模 型

yk?f(xk)

yk?y0???(xk?x0)

xk?1?h(yk)

??0)(

xk?1?x0??(yk?y0)(??0)

xk?1?x0????(xk?x0)

xk?1?x0?(???)(x1?x0)k P0稳定

xk?x0

Kf?Kg

(??1/?)

???1

P0不稳定

xk??

Kf?Kg ???1

(??1/?)??Kf

1/??Kg结果解释

结果解释

考察

的含义

方程模型与蛛网模型的一致 幻灯片6

xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格

yk?y0???(xk?x0)

商品数量减少1单位, 价格上涨幅度

xk?1?x0??(yk?y0)

价格上涨1单位, (下时段)供应的增量

消费者对需求的敏感程度

, 有利于经济稳定 小, 有利于经济稳定

生产者对价格的敏感程度

幻灯片7

???1

经济稳定

经济不稳定时政府的干预办法

结果解释

y

g y0

f 0 1. 使

尽量小，如

x

需求曲线变为水平

以行政手段控制价格不变

y

g f 0

x0

2. 使

尽量小，如

x

供应曲线变为竖直

靠经济实力控制数量不变

幻灯片8 模型的推广

生产者管理水平提高

xk?1?h(yk)

?yk?yk?1?xk?1?h???2?

? 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。

xk?1?x0??[(yk?yk?1)/2?y0]

设供应函数为

yk?y0???(xk?x0)

需求函数不变

2xk?2???xk?1???xk?2(1???)x0,k?1,2,?

, xkx0的条件 二阶线性常系数差分方程

x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k幻灯片9 模型的推广

2xk?2???xk?1???xk?2(1???)x0

方程通解

xk?c1??c2?k1k2

(c1, c2由初始条件确定)

特征根，即方程 2 的根

2?????????0?1,2?1平衡点稳定，即k

, xk

x0的条件:

????(??)?8???1,2?42

?1,2???2

平衡点稳定条件

???2

比原来的条件 放宽了

???1

幻灯片10

7.2 减肥计划——节食与运动

? 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.525 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖.

背景

? 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持

? 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目

标 分析

? 体重变化由体内能量守恒破坏引起

? 饮食（吸收热量）引起体重增加

? 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少

幻灯片11

模型假设

1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克； 2）代谢引起的体重减少正比于体重——

每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异), 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡；

3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；

4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。 幻灯片12

减肥计划

某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。 1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。

第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）； 第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。 3）给出达到目标后维持体重的方案。 幻灯片13

基本模型

w(k) ~ 第k周(末)体重 c(k) ~第k周吸收热量 w(k?1)?w(k)??c(k?1)??w(k)

?

~ 代谢消耗系数(因人而异)

??18000(千克 /千卡）

1）不运动情况的两阶段减肥计划 ? 确定某甲的代谢消耗系数

每周吸收20000千卡 w=100千克不变

20000????0.025w8000?100

?c

w?w??c??w

即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡 幻灯片14

1）不运动情况的两阶段减肥计划

? 第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡 w(k)?w(k?1)?1

w(k?1)?w(k)??c(k?1)??w(k)

c(k?1)?1?[?w(k)?1]

w(k)?w(0)?k

??18000??0.025

?1c(k?1)?w(0)?(1??k)??

k?10

?Cm?10000

?12000?200k吸收热量为

第一阶段10周, 每周减1千克，第10周末体重90千克

c(k?1)?12000?200k,k?0,1,?9

幻灯片15

1）不运动情况的两阶段减肥计划

? 第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克 基本模型

w(k?1)?w(k)??c(k?1)??w(k)

w(k?1)?(1??)w(k)??Cmnn?1w(k?n)?(1??)w(k)??Cm[1?(1??)???(1??)]

?Cm?Cm?(1??)[w(k)?]???n

1以??0.025,??,Cm?10000代入得8000

w(k?n)?0.975[w(k)?50]?50n幻灯片16

? 第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克

w(k?n)?0.975[w(k)?50]?50

n

已知w(k)?90,要求w(k?n)?75，求n

75?0.975(90?50)?50

n

lg(25/40)n??19lg0.975

第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按 减少至75千克。 nw(n)?40?0.975?50(n?1,2,?,19)

幻灯片17

2）第二阶段增加运动的减肥计划

根据资料每小时每千克体重消耗的热量 千卡):

跑步 跳舞 乒乓 自行车(中速) 游泳(50米/分)

7.0 3.0 4.4 2.5 7.9

基本模型

w(k?1)?w(k)??c(k?1)?(????t)w(k)

t~每周运动时间(小时)

?(?0.025)????????t(?0.028)

取??t?0.003,即?t?24

?Cm?Cmw(k?n)?(1???)[w(k)?]?????n

75?0.972(90?44.6)?44.6n

n?14

运动

t=24 (每周跳舞8小时或自行车10小时), 14周即可。

幻灯片18

3）达到目标体重75千克后维持不变的方案

每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变

w(k?1)?w(k)??c(k?1)?(????t)w(k)

C?(????t)w?

不运动

运动(内容同前)

w?w??C?(????t)w

C?8000?0.025?75?15000(千卡)

C?8000?0.028?75?16800(千卡)

幻灯片19

7.3 差分形式的阻滞增长模型

连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型)

x?(t)?rx(1?x)N

x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口) t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关) yk ~某种群第k代的数量(人口) 离散形式

ykyk?1?yk?ryk(1?),k?1,2,?Ny*=N 是平衡点

若yk=N, 则yk+1,yk+2,…=N 讨论平衡点的稳定性，即k, yk

N ？

幻灯片20

离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性

??ryk?1?(r?1)yk?1?yk??(r?1)N?

ykyk?1?yk?ryk(1?)(1)N

rxk?yk(r?1)N变量代换

xk?1?bxk(1?xk)(2)

记b?r?1一阶(非线性)差分方程

(2)的平衡点

r1x??1?r?1b* (1)的平衡点y*=N

讨论 x* 的稳定性 幻灯片21

补充知识

一阶非线性差分方程

xk?1?f(xk)(1)的平衡点及稳定性

(1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根

xk?1?f(x)?f?(x)(xk?x)(2)

(1)的近似线性方程 稳定性判断

***x*也是(2)的平衡点 f?(x)?1* x*是(2)和(1)的稳定平衡点

f?(x)?1* x*是(2)和(1)的不稳定平衡点 幻灯片22

xk?1?bxk(1?xk)

的平衡点及其稳定性

b?r?1另一平衡点为 x=0

1x?1?b*

平衡点

x?f(x)?bx(1?x) 稳定性

f?(x)?b(1?2x)

**

?2?b

f?(0)?b?1不稳定

f?(x)?1

x* 稳定

*1?b?3*

b?3(f?(x)?1)

x* 不稳定

yy?xb/4y?f(x)0

x1/2*

1 x

(1)1?b?2

x2

x1

x?1?1/b?1/2*

x1

x（单调增）?xk

*

x0

幻灯片23

xk?1?bxk(1?xk)

的平衡点及其稳定性

(2)2?b?3

(3)b?3

x?1?1/b?1/2*

yy?xb/4y?f(x)0

x0x11/2 xx2*1 x

yb/4y?xy?f(x)0

x0x11/2*

xx2*1 x

x（不）?xk

x（振荡地）?xk*

幻灯片24 k b=1.7 0 0.2000 1 0.2720 2 0.3366 3 0.3796 91 0.4118 92 0.4118 93 0.4118 94 0.4118 95 0.4118 96 0.4118 97 0.4118 98 0.4118 99 0.4118 100 0.4118

b=2.6 0.2000 0.4160 0.6317 0.6049 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154

b=3.3 0.2000 0.5280 0.8224 0.4820 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236

b=3.45 0.2000 0.5520 0.8532 0.4322 0.4327 0.8469 0.4474 0.8530 0.4327 0.8469 0.4474 0.8530 0.4327 0.8469

b=3.55 0.2000 0.5680 0.8711 0.3987 0.3548 0.8127 0.5405 0.8817 0.3703 0.8278 0.5060 0.8874 0.3548 0.8127

数值计算结果

xk?1?bxk(1?xk)初值 x0=0.2

1x?1?b

*

b=3.3, x

b=3.45, xb=3.55, x

幻灯片25

4个极限点 8个极限点

倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论 x（不）?xk

*

子序列x2k?x,x2k?1?x*1*2

b?3.3单周期不收敛 2倍周期收敛

xk?2?f(xk?1)?f(f(xk))?f

(2)(xk)(*)

xk?1?f(xk)

f(x)?bx(1?x)

x?f(f(x))

?b?bx(1?x)[1?bx(1?x)]

x

*1,2b?1?b?2b?3?2b2

1x?1?b*(*)的平衡点

x?f(x),

*1*2x?f(x)*2

*2*1

0?x?x?x?1*1*x*不稳定，研究x1*, x2*的稳定性 幻灯片26 倍周期收敛

x

*1,2b?1?b?2b?3?2b2的稳定性

(f(x))?x?x*?(f(x))?x?x*?f?(x)f?(x)12

(2)(2)*1*2

[f(x)]??[f?(x)]

(2)2

(f(2)(x))?x?x*,x*?b(1?2x)(1?2x)122*1*2

f?(x)?b(1?2x)

b=3.4

y=f(2)(x)

y=x

x1* x0

x* x2*

(f

(2)(x))??1

*1,2b?1?6??3.449

x2k?x,x2k?1?x*1幻灯片27

倍周期收敛的进一步讨论

*2

b?3.45?(f

x1*, x2* (及x*)不稳定

(2)(x))'?1

*1,2

出现4个收敛子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+3

平衡点及其稳定性需研究

xk?4?f (4)(xk)

4倍周期收敛

3.449?b?3.5442n倍周期收敛, n=1,2,… bn~ 2n倍周期收敛的上界 b0=3, b1=3.449, b2=3.544, … n, bn3.57

混沌现象

时有4个稳定平衡点

b>3.57, 不存在任何收敛子序列 幻灯片28

xk?1?bxk(1?xk)

的收敛、分岔及混沌现象

b

幻灯片29

7.4 按年龄分组的种群增长

? 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同

? 以雌性个体数量为对象

? 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律

假设与建模

? 种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,… , n

? 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… ? 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi ? 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di 幻灯片30 假设

与

建模

xi(k)~时段k第i 年龄组的种群数量 x1(k?1)??bixi(k)i?1

n(设至少1个bi>0)

xi?1(k?1)?sixi(k),i?1,2,?,n?1

?b1?s?1?L???????0

b20?bn?10?0?sn?1s2bn??0???????0??

~Leslie矩阵(L矩阵)

x(k)?[x1(k),x2(k),?xn(k)]~按年龄组的分布向量

T

x(k?1)?Lx(k)

x(k)?Lx(0)k

预测任意时段种群按年龄组的分布

幻灯片31

稳定状态分析的数学知识

L矩阵存在正单特征根

，

?k??1,k?2,3,?n

T特征向量

?s1s1s2s1s2?sn?1?x??1,,2,?,?n?1?1??1?1?*

若L矩阵存在bi, bi+1>0, 则 且

?k??1,k?2,3,?,n

limk??x(k)k?1?cx*, c是由bi, si, x(0)决定的常数

解释

L?P[diag(?1,??n)]P

?1

x(k)?Lx(0)kL对角化

P的第1列是x*

L?P[diag(?,??)]P

kk1kn?1

limk??x(k)?k1?Pdiag(1,0,?0)Px(0)

?1

?cx幻灯片32

*

稳态分析——k充分大种群按年龄组的分布 limk??x(k)?1k

?cx* ~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布, 与初始分布无关。

1)x(k)?c?xk

~ 各年龄组种群数量按同一倍数增减，

*

2)x(k?1)??x(k)

xi(k?1)??xi(k)

与基本模型

x(k?1)?Lx(k)比较

3）

时

x(k?1)?x(k)?cx*

~ 各年龄组种群数量不变

x??1,s1,s1s2,?s1s2?sn?1?*幻灯片33

T

稳态分析 3）

时

Lx?x**

x??1,s1,s1s2,?s1s2?sn?1?*

T

?b1?s?1?L???????0

b20??bn?100s2?sn?1 bn?0????????0??

b1?b2s1???bns1s2?sn?1?1 ~ 1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1

4)x(k)?c?x,x?[1,s1,s1s2,?,sn?1]k**T

xi?1(k)?sixi(k),i?1,2,?,n?1

~存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比

（与si 的定义

x 比较） i?1(k?1)?sixi(k)

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