第7讲 - 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

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第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

定理 在椭圆

xa22?yb22?1(a>b>0)中,若直线l与椭圆相交于M、N两点,点P(x0,y0)y0x022是弦MN的中点,弦MN所在的直线l的斜率为kMN,则kMN? 证明:设M、N两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),

2?x12y1?2?2?1,??(1)?ab则有?

22y2?x2??1.??(2)22?b?a2222??ba.

(1)?(2),得

x1?x2a2?y1?y2b222?0.

?y2?y1x2?x1?y2?y1x2?x1??ba.

又?kMN?y2?y1x2?x1,y1?y2x1?x2?2y2x?yx.?kMN?yx??ba22.

同理可证,在椭圆

xb22?ya22(a>b>0)中,若直线l与椭圆相交于M、N两点,点P(x0,y0)?1y0x0ab22是弦MN的中点,弦MN所在的直线l的斜率为kMN,则kMN???.

典题妙解

例1 设椭圆方程为x?2y24?1,过点M(0,1)的

直线l交椭圆于点A、B,O为坐标原点,点P满足

????1?????????11?OP?(OA?OB),点N的坐标为?,?.当l绕点

2?22?M旋转时,求:

(1)动点P的轨迹方程;

(2)|NP|的最大值和最小值.

解:(1)设动点P的坐标为(x,y).由平行四边形法则可知:点P是弦AB的中点 .

1

焦点在y上,a2?4,b2?1. 假设直线l的斜率存在.

yxab22由kAB???得:

y?1x?yx??4.

整理,得:4x2?y2?y?0.

当直线l的斜率不存在时,弦AB的中点P为坐标原点O(0,0),也满足方程。

?所求的轨迹方程为4x?y?y?0.

222(2)配方,得:

x(y??1412)2116?1.??14?x?14.

?|NP|?(x??(x?12)?1622212)?(y?2212)214?x712

??3(x?)??当x?14时,|NP|min?14;当x??16时,|NP|max?216.

例2 在直角坐标系xOy中,经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆的交点P和Q.

(1)求k的取值范围;

x22?y2?1有两个不同

(2)设椭圆与x轴正半轴、B,是否存在常数k,使得向量OP?OQy轴正半轴的交点分别为A、与AB共线?如果存在,求k的取值范围;如果不存在,请说明理由.

解:(1)直线l的方程为y?kx?2.

?y?kx?2,?22由?x2得:(2k?1)x?42kx?2?0.

2?y?1.??2?直线l与椭圆

x22?y2?1有两个不同的交点,

2

???32k2?8(2k2?1)>0.解之得:k<?22或k>

22.

?2?????k的取值范围是??,??2????2?,???2???. ??2,b?1,?A(2,0),B(0,1),AB?(?2,1).

(2)在椭圆

x22?y2焦点在x轴上,a??1中,

设弦PQ的中点为M(x0,y0),则OM?(x0,y10). 由平行四边形法则可知:OP?OQ?2OM.

?OP?OQ与AB共线,?OM与AB共线.

x0?2y01??,从而

22y0x0??22.

由kPQ?y0x0??ba得:k??????22?1???,?k?. ?22?2由(1)可知k?22时,直线l与椭圆没有两个公共点,?不存在符合题意的常数k.

例3已知椭圆线方程为x?2.

xa22?yb22?1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e?22,右准

(Ⅰ) 求椭圆的标准方程;

(Ⅱ) 过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点,且|F2M?F2N|?解:(Ⅰ)根据题意,得

?c2e??,??a2?a??2a?x??2.?c?22263,求直线l的方程.

2,b?1,c?1.?所求的椭圆方程为

x2?y2?1.

(Ⅱ)椭圆的焦点为F1(?1,0)、F2(1,0). 设直线l被椭圆所截的弦MN的中点为P(x,y). 由平行四边形法则知:F2M?F2N?2F2P. 由|F2M?F2N|?

2263得:|F2P|?263.?(x?1)?y?3

22269.……………①

若直线l的斜率不存在,则l?x轴,这时点P与F1(?1,0)重合,|F2M?F2N|?|2F2F1|?4,与题设相矛盾,故直线l的斜率存在. 由kMN?yx??ba22得:

yx?1x122?y??12.?y2??12(x?x). ………②

2②代入①,得(x?1)2?(x?x)?269.

173整理,得:9x2?45x?17?0.解之得:x?由②可知,x?173,或x??1323.

yx?1??1.

不合题意.?x??23,从而y??.?k??所求的直线l方程为y?x?1,或y??x?1.

例4 已知椭圆C:xa22?yb22?1(a>b>0)的离心率为

3322,过右焦点F的直线l与C相交于

A、B两点. 当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为(1)求a,b的值;

.

(2)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有OP?OA?OB成立?若存在,求出所有点P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.

解:(1)椭圆的右焦点为F(c,0),直线l的斜率为1时,则其方程为y?x?c,即x?y?c?0.

|0?0?c|22c222原点O到l的距离:d???,?c?1.

又e?ca?33,?a?3. 从而b?2.?a?3, b?2.

(2)椭圆的方程为

x23?y22?1. 设弦AB的中点为Q(x,y). 由OP?OA?OB可知,点Q

是线段OP的中点,点P的坐标为(2x,2y).?4x32?2y2?1.…………………①

若直线l的斜率不存在,则l?x轴,这时点Q与F(1,0)重合,OP?(2,0),点P不在椭圆上,故直线l的斜率存在. 由kAB?

yx??ba22得:

yx?1x?y??23.?y2??234

(x?x).………………………②

2由①和②解得:x?34,y??24.

?当x?34,y?24时,kAB?yx?1??2,点P的坐标为(32,22),直线l的方程为

2x?y?2?0;

当x?34,y??24时,kAB?yx?1?2,点P的坐标为(32,?22),直线l的方程为

2x?y?2?0.

金指点睛

1. 已知椭圆x2?2y2?4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( )

303362 A. 32 B. 23 C. D.

2.(06江西)椭圆Q:xa22?yb22?1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),过点F的一动直线m绕点F

转动,并且交椭圆于A、B两点,P为线段AB的中点. (1)求点P的轨迹H的方程; (2)略.

3.(05上海)(1)求右焦点坐标是(2,0)且过点(?2,?2)的椭圆的标准方程;

xa22(2)已知椭圆C的方程为?yb22?1(a>b>0).设斜率为k的直线l,交椭圆C于A、B

两点,AB的中点为M. 证明:当直线l平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上; (3)略.

4. (05湖北)设A、B是椭圆3x?y??上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

(1)确定?的取值范围,并求直线AB的方程; (2)略.

5. 椭圆C的中心在原点,并以双曲线

22y24?x22?1的焦点为焦点,以抛物线x2??66y的准线为

5

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/ld1w.html

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