第7讲 - 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
更新时间:2024-01-30 06:09:01 阅读量:2 教育文库 文档下载
第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
定理 在椭圆
xa22?yb22?1(a>b>0)中,若直线l与椭圆相交于M、N两点,点P(x0,y0)y0x022是弦MN的中点,弦MN所在的直线l的斜率为kMN,则kMN? 证明:设M、N两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
2?x12y1?2?2?1,??(1)?ab则有?
22y2?x2??1.??(2)22?b?a2222??ba.
(1)?(2),得
x1?x2a2?y1?y2b222?0.
?y2?y1x2?x1?y2?y1x2?x1??ba.
又?kMN?y2?y1x2?x1,y1?y2x1?x2?2y2x?yx.?kMN?yx??ba22.
同理可证,在椭圆
xb22?ya22(a>b>0)中,若直线l与椭圆相交于M、N两点,点P(x0,y0)?1y0x0ab22是弦MN的中点,弦MN所在的直线l的斜率为kMN,则kMN???.
典题妙解
例1 设椭圆方程为x?2y24?1,过点M(0,1)的
直线l交椭圆于点A、B,O为坐标原点,点P满足
????1?????????11?OP?(OA?OB),点N的坐标为?,?.当l绕点
2?22?M旋转时,求:
(1)动点P的轨迹方程;
(2)|NP|的最大值和最小值.
解:(1)设动点P的坐标为(x,y).由平行四边形法则可知:点P是弦AB的中点 .
1
焦点在y上,a2?4,b2?1. 假设直线l的斜率存在.
yxab22由kAB???得:
y?1x?yx??4.
整理,得:4x2?y2?y?0.
当直线l的斜率不存在时,弦AB的中点P为坐标原点O(0,0),也满足方程。
?所求的轨迹方程为4x?y?y?0.
222(2)配方,得:
x(y??1412)2116?1.??14?x?14.
?|NP|?(x??(x?12)?1622212)?(y?2212)214?x712
??3(x?)??当x?14时,|NP|min?14;当x??16时,|NP|max?216.
例2 在直角坐标系xOy中,经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆的交点P和Q.
(1)求k的取值范围;
x22?y2?1有两个不同
(2)设椭圆与x轴正半轴、B,是否存在常数k,使得向量OP?OQy轴正半轴的交点分别为A、与AB共线?如果存在,求k的取值范围;如果不存在,请说明理由.
解:(1)直线l的方程为y?kx?2.
?y?kx?2,?22由?x2得:(2k?1)x?42kx?2?0.
2?y?1.??2?直线l与椭圆
x22?y2?1有两个不同的交点,
2
???32k2?8(2k2?1)>0.解之得:k<?22或k>
22.
?2?????k的取值范围是??,??2????2?,???2???. ??2,b?1,?A(2,0),B(0,1),AB?(?2,1).
(2)在椭圆
x22?y2焦点在x轴上,a??1中,
设弦PQ的中点为M(x0,y0),则OM?(x0,y10). 由平行四边形法则可知:OP?OQ?2OM.
?OP?OQ与AB共线,?OM与AB共线.
x0?2y01??,从而
22y0x0??22.
由kPQ?y0x0??ba得:k??????22?1???,?k?. ?22?2由(1)可知k?22时,直线l与椭圆没有两个公共点,?不存在符合题意的常数k.
例3已知椭圆线方程为x?2.
xa22?yb22?1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e?22,右准
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程;
(Ⅱ) 过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点,且|F2M?F2N|?解:(Ⅰ)根据题意,得
?c2e??,??a2?a??2a?x??2.?c?22263,求直线l的方程.
2,b?1,c?1.?所求的椭圆方程为
x2?y2?1.
(Ⅱ)椭圆的焦点为F1(?1,0)、F2(1,0). 设直线l被椭圆所截的弦MN的中点为P(x,y). 由平行四边形法则知:F2M?F2N?2F2P. 由|F2M?F2N|?
2263得:|F2P|?263.?(x?1)?y?3
22269.……………①
若直线l的斜率不存在,则l?x轴,这时点P与F1(?1,0)重合,|F2M?F2N|?|2F2F1|?4,与题设相矛盾,故直线l的斜率存在. 由kMN?yx??ba22得:
yx?1x122?y??12.?y2??12(x?x). ………②
2②代入①,得(x?1)2?(x?x)?269.
173整理,得:9x2?45x?17?0.解之得:x?由②可知,x?173,或x??1323.
yx?1??1.
不合题意.?x??23,从而y??.?k??所求的直线l方程为y?x?1,或y??x?1.
例4 已知椭圆C:xa22?yb22?1(a>b>0)的离心率为
3322,过右焦点F的直线l与C相交于
A、B两点. 当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为(1)求a,b的值;
.
(2)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有OP?OA?OB成立?若存在,求出所有点P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.
解:(1)椭圆的右焦点为F(c,0),直线l的斜率为1时,则其方程为y?x?c,即x?y?c?0.
|0?0?c|22c222原点O到l的距离:d???,?c?1.
又e?ca?33,?a?3. 从而b?2.?a?3, b?2.
(2)椭圆的方程为
x23?y22?1. 设弦AB的中点为Q(x,y). 由OP?OA?OB可知,点Q
是线段OP的中点,点P的坐标为(2x,2y).?4x32?2y2?1.…………………①
若直线l的斜率不存在,则l?x轴,这时点Q与F(1,0)重合,OP?(2,0),点P不在椭圆上,故直线l的斜率存在. 由kAB?
yx??ba22得:
yx?1x?y??23.?y2??234
(x?x).………………………②
2由①和②解得:x?34,y??24.
?当x?34,y?24时,kAB?yx?1??2,点P的坐标为(32,22),直线l的方程为
2x?y?2?0;
当x?34,y??24时,kAB?yx?1?2,点P的坐标为(32,?22),直线l的方程为
2x?y?2?0.
金指点睛
1. 已知椭圆x2?2y2?4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
303362 A. 32 B. 23 C. D.
2.(06江西)椭圆Q:xa22?yb22?1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),过点F的一动直线m绕点F
转动,并且交椭圆于A、B两点,P为线段AB的中点. (1)求点P的轨迹H的方程; (2)略.
3.(05上海)(1)求右焦点坐标是(2,0)且过点(?2,?2)的椭圆的标准方程;
xa22(2)已知椭圆C的方程为?yb22?1(a>b>0).设斜率为k的直线l,交椭圆C于A、B
两点,AB的中点为M. 证明:当直线l平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上; (3)略.
4. (05湖北)设A、B是椭圆3x?y??上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
(1)确定?的取值范围,并求直线AB的方程; (2)略.
5. 椭圆C的中心在原点,并以双曲线
22y24?x22?1的焦点为焦点,以抛物线x2??66y的准线为
5
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