高三模拟试题二答案

一、选择题

1．(2011·新课标)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )

A．2个 B．4个 C．6个

D．8个

2

解析 P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集有2＝4个． 答案 B

2．（2011·安徽高考理科·Ｔ7）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 ．．（A）所有不能被2整除的整数都是偶数 （B）所有能被2整除的整数都不是偶数 （C）存在一个不能被2整除的整数是偶数 （D）存在一个不能被2整除的整数不是偶数

【思路点拨】此命题为全称命题，全称命题的否定为相应的特称命题.

【精讲精析】选D. 全称命题的否定为相应的特称命题，即将所有变为存在，并且将结论进行否定

3．（2011·安徽高考理科·Ｔ3）设f x 是定义在Ｒ上的奇函数，当x 0时，

f x 2x2 x，则f 1

（Ａ）－３ （Ｂ）－１ （Ｃ）１ （Ｄ）３ 【思路点拨】由奇函数的定义有f( x) f(x),所以f 1 f( 1). 【精讲精析】选A. 由奇函数的定义有f( x) f(x),所以

f 1 f( 1) [2 ( 1)2 1] 3.

4.（2011·山东高考理科·Ｔ3）若点（a,9）在函数y 3的图象上，则tan

x

a

的值为： 6

（A）0 （B）

（C）1 （D

【思路点拨】根据点在函数上求出a，再代入求值

xa

【精讲精析】

答案：.点（a,9）在函数y 3的图象上，所以3 9,a 2，所以

tan

2

3 6

5.（2011·山东高考理科·Ｔ5）对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f(x)|的图像关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【思路点拨】考察充分必要条件

【精讲精析】选B.“y=f（x）是奇函数”，图象关于原点对称，所以“y=|f(x)|的图像关于y轴对称”

“y=|f(x)|的图像关于y轴对称”， y=f（x）的图象关于y轴对称或者关于原点对称，所以y=f（x）不一定为奇函数

2x，x 0,6. （2011·福建卷文科·Ｔ8） 已知函数f(x) ，若f(a)+f(1)=0,则实数a

x 1, x 0

的值等于（ ）

（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3

【思路点拨】由f(a)+f(1)=0得f(a)的值，然后根据f(x)的解析式，分两段求出a的值. 【精讲精析】选A. f(a) f(1) 0, f(a) f(1) 2，若a 0，则2 2， 显然不成立；若a 0，则f(a) a 1 2,a 3，符合题意. a 3.

a

7．(2011·新课标)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )

A．y＝x3 C．y＝－x2＋1

B．y＝|x|＋1 D．y＝2－|x|

解析 y＝x3为奇函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上为减函数，y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数，故选B.

8．（2011·安徽高考文科·Ｔ5）若点 a,b 在y lgx图象上，a 1，则下列点也在此图象上的是（ ） （A）

1 10

,b （B） 10a,1 b （C） ,b 1 （D）(a2,2b)

a a

【思路点拨】利用对数的运算性质，代入验证.

【精讲精析】选D.由题意b lga,2b 2lga lga ，即(a,2b)也在函数y lgx图象上.

2

2

9．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log1 (1－x)，则函数f(x)在(1,2)上( )

2

A．是增函数，且f(x)<0 B．是增函数，且f(x)>0 C．是减函数，且f(x)<0 D．是减函数，且f(x)>0

解析 由题意得当x∈(1,2)时，0<2－x<1,0<x－1<1，f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝log1 [1－(2－x)]＝log1 (x－1)>0，则可知当x∈(1,2)时，f(x)

2

2

是减函数，选D.

10.（2011·山东高考理科·Ｔ9）函数y

x

2sinx的图象大致是

2

【思路点拨】本题先求导数，根据导数与函数单调性的关系判断函数图象的形状.

111

2cosx,所以令y' 2cosx 0,得cosx ,此时原函数是22411'

增函数;令y 2cosx 0,得cosx ,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可

24

【精讲精析】因为y

'

得C正确.

2

x＋4x， x≥0 2

11．已知函数f(x)＝ 若f(2－a)>f(a)，则实数a的取2

4x－x， x<0 .

值范围是( )

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－1,2) C．(－2,1)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

二、填空题

12.（2011·江苏高考·Ｔ2）函数f(x) log5(2x 1)的单调增区间是__________ 【思路点拨】本题考查的是对数函数的单调性问题，解题的关键找出定义域和增区间的交集。 【精讲精析】答案：( , ).根据对数函数的底数大于1函数是在定义域内是增函数，

1

211

2x 1 0，解得x ，所以函数的单调增区间为( , )。

22

3

3

13.（2011·广东高考文科·Ｔ12）设函数f(x)=xcosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=_______. 【思路点拨】令g(x)=xcosx,利用g(x)是奇函数，求出g(a)=10，从而f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1，可得结论.

【精讲精析】答案-9令g(x)=xcosx,则f(x)= g(x)+1且g(x)为奇函数，所以g(-a)=-g(a).由f(a)=11得g(a)+1=11,所以g(a)=10 f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-10+1=-9

14.（2011·陕西高考理科·T12）设n N，一元二次方程x 4x n 0有整数根的充．．要条件是n ．

【思路点拨】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等概念进行判断计算．

【精讲精析】x

*

2

3

2，因为x

是整数，即2

为整数，所以

n 4，又因为n N*，取n 1,2,3,4，验证可知n 3,4符合题意；

反之由n 3,4，可推出一元二次方程x 4x n 0有整数根．所以答案：3或4 ．．

2

ax＋1

11．函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a

x＋2的取值范围．

解 f(x)＝

ax＋1a x＋2 ＋1－2a1－2a

＝＝a. x＋2x＋2x＋2

任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2， 1－2a1－2a

则f(x1)－f(x2)－

x1＋2x2＋2 1－2a x2－x1 ＝ x1＋2 x2＋2

ax＋1

∵函数f(x)＝(－2，＋∞)上为增函数，

x＋2∴f(x1)－f(x2)<0.

∵x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0， 1

∴1－2a<0，a>2 1 . ，＋∞即实数a的取值范围是2

评析 对于函数单调性的理解，应从文字语言、图形语言和符号语言三个方面进行辨析，做好定性刻画、图形刻画和定量刻画．逆用函数单调性的定义，根据x1－x2与f(x1)－f(x2)是同号还是异号构造不等式，通过分离参数来求其取值范围．

－2x＋b

11．已知定义域为R的函数f(x)＝＋是奇函数．

2＋a(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

分析 (1)由f(0)＝0可求得b，再由特殊值或奇函数定义求得a； (2)先分析函数f(x)的单调性，根据单调性去掉函数符号f，然后用判别式解决恒成立问题．

解 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0，

b－1即0 b＝1， a＋21－2x

所以f(x)＝

a＋2＋又由f(1)＝－f(－1) 11－2

1－2知a＝2. a＋4a＋11－2x(2)由(1)知f(x)＝2＋2＋11

＝－2

2＋1

易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数． 又因f(x)是奇函数，从而不等式： f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于 f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，

因f(x)为减函数，由上式推得t2－2t>k－2t2， 即对t∈R有：

1

3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0 k<3.

a x2－1

12．已知a>0，a≠1，f(logax)＝.试判断f(x)在定义域上是

x a－1 否为单调函数？若是，是增函数还是减函数？若不是，请说明理由．

解 用换元法求出f(x)的解析式，由于其中含有字母，故需讨论． 设t＝logax，则x＝at，

2t

aa－1a

∵f(t)＝a，即f(t)＝(at－a－t)．

a－1a－1

a

∴f(x)＝ax－a－x)．

a－1

f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，设x1<x2，则 a

f(x1)－f(x2)＝[(ax1－a－x1)－(ax2－a－x2)]

a－1＝

a ax1－ax2 1＋ax1ax2 ax1ax2a－1

∵a>0，a≠1，∴ax1ax2>0,1＋ax1ax2>0. 若0<a<1，则ax1>ax2，ax1－ax2>0. a

，

a－1

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． 同理若a>1，f(x1)<f(x2)．

综上所述，当a>0，且a≠1时，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，是单调增函数．

评析 对于y＝ax，由于其单调性与a的取值有关，故需分0<a<1和a>1两种情况讨论．

15．(12分)如图所示：图①是定义在R上的二次函数f(x)的部分图像，图②是函数g(x)＝loga(x＋b)的部分图像．

(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式；

(2)如果函数y＝g(f(x))在区间[1，m)上单调递减，求m的取值范

围．

解 (1)由题图①得，二次函数f(x)的顶点坐标为(1,2)， 故可设函数f(x)＝a(x－1)2＋2， 又函数f(x)的图像过点(0,0)， 故a＝－2，

整理得f(x)＝－2x2＋4x.

由题图②得，函数g(x)＝loga(x＋b)的图像过点(0,0)和(1,1)，

logab＝0，故有

log 1＋b ＝1， a a＝2，∴ b＝1，

∴g(x)＝log2(x＋1)(x>－1)．

(2)由(1)得y＝g(f(x))＝log2(－2x2＋4x＋1)是由y＝log2t和t＝－2x2＋4x＋1复合而成的函数，

而y＝log2t在定义域上单调递增，要使函数y＝g(f(x))在区间[1，m)上单调递减，必须t＝－2x2＋4x＋1在区间[1，m)上单调递减，且有t>0恒成立．

6由t＝0得x＝，

2又t的图像的对称轴为x＝1.

2＋6

所以满足条件的m的取值范围为1<m216．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a，c∈N*)满足：

①f(1)＝5；②6<f(2)<11. (1)求a，c的值；

13

(2)若对任意的实数x∈ 2，2，都有f(x)－2mx≤1成立，求实数

m的取值范围．

解 (1)∵f(1)＝a＋2＋c＝5， ∴c＝3－a.①

又∵6<f(2)<11，即6<4a＋c＋4<11，② 14

将①式代入②式，得－<a<

33又∵a，c∈N*，∴a＝1，c＝2. (2)由(1)知f(x)＝x2＋2x＋2.

解法一：设g(x)＝f(x)－2mx＝x2＋2(1－m)x＋2. 2 1－m

①当－1，即m≤2时，

2

3 29

g(x)max＝g 2＝3m，

4

29

故只需－3m≤1，

4

25

解得m≥，又∵m≤2，故无解．

122 1－m

②当－，即m>2时，

2

1 13

g(x)max＝g 2＝m，

4

故只需

13

－m≤1， 4

9

解得m≥49

又∴m>2，∴m≥.

4

9

综上，可知m的取值范围是m≥.

4

13

解法二：∵x∈2，2 ，

∴不等式f(x)－2mx≤1恒成立

1 13

2(1－m)≤－ x＋x在 2，2上恒成立．

1 5

易知 － x＋x min＝－

2

5

故只需2(1－m)≤－

解得m≥9

4

2

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