2015届四川省德阳五中高三上学期第三次月考数学(文)试题

德阳五中2015届高三上学期第三次月考数学（文）试题

说明：

1. 本试卷分第I卷和第II卷，第I卷1—2页，第II卷3—4页.考生作答时,须将答案答在答题卡

上,在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将答题卡交回. 2. 本试卷满分150分,120分钟完卷.

第I卷(选择题 共50分)

一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, 请将正确的选项填涂在答题卡上).

1．已知集合A {x R|x 1},B {x R|x2 x 2 0}，则A B等于( ) A． 1,2 B． 1, C． 1,1 D． 1,2

2．设平面 与平面 相交于直线m，直线a在平面 内，直线b在平面 内，且b m，则“ ”是“a b”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．直线l1:ax 3y 1 0,l2:2x a 1 y 1 0, 若l1//l2则a （ A． 3 B．2 C．3或-2 D．-3或2

4．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图 中的x的值是（ ） A．2 B． C． D．3

5．已知角 的终边在第四象限，且与单位圆交于P ,y0 ,则A．

6．阅读右侧的算法框图，输出的结果S的值为 （ ） A

． B

俯视图

x

正视图 侧视图

9232

3 5

sin 3cos

的值等于（ ）

3cos sin

35134 B． C． D． 51355

C．0 D．

7．若x e 1,1, a lnx, b ()

12

lnx

, c e

lnx

，则（ ）

A．c b a B．b a c C．b c a D．a b c

x－y＋5 0，

8．由不等式组 y t，围成的三角形区域内有一个内切圆，向该三角形区域内随机投一个点，

0 x 2，

该点落在圆内的概率是关于t的函数P t ，则( )

A．P' t 0 B．P' t 0 C. P' t 0 D．P' t 符号不确定

x2y2

9．已知F1,F2分别是双曲线2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF1

ab

为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,则当 PF1F2的面积等于a时，双曲线的离心率为 （ ）

A．2 B． C．

2

6

D．2 2

10．已知f(x)

xex

(x R),若关于x的方程f2(x) mf(x) m 1 0恰好有4个不相等的实数

根,则实数m的取值范围为( )

A．(,2) (2,e) B． ,1 C． ,e D． 1,

1e

1 e 1 e 1

1 e

第

II卷(非选择题 共100分)

二、填空题(共5小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卷上) 11．已知复数z

2 i

为实数，i为虚数单位，则实数m的值为 . m i

12．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从身高在[120,130)内的学生中选取的人数应为 ．

13．已知矩形ABCD中，AB 2，AD 1，E,F分别为BC、CD的中点，则

( ) .

14．在△

ABC

中，a,b,c

分别是角A、B、C所对的边，若

sinAsinBcosC sinCsinAcosB sinBsinCcosA，若则ab的最大值为 . 2

c

15．已知D是函数y f x ,x a,b 图象上的任意一点，A,B是该图象的两个端点， 点C满足 （其中0 1,是x轴上的单位向量），

T T为常数 在区间 , 0，

a,b 上恒成立，则称f x 在区间 a,b 上具有 “T性质”.现有函数：

①y 2x 1; ②y 则在区间 1,2 上具有“

21

1； ③y x2； ④y x . xx

1

性质”的函数为 . 4

三、解答题(本小题共6个小题, 共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16.（本小题满分12分）设数列 an 是一个公差为d(d 0)的等差数列，已知它的前10项和为110，且a1,a2,a4 成等比数列．

（1）求数列 an 的通项公式；

1

（2）若bn (n 1)an，求数列 的前n项和Tn ．

bn

17. （本小题满分12分）

某工厂生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为:大于或等于7.5为正品,小于7.5为次品.现从一

A,B两种元件的检测数据的平均值相等。 （I）求被污损表格中的值；

（II）若从被检测的5件B种元件中任取2件，求2件都为正品的概率. 18. （本小题满分12分） 之间的距离为2．

（1）求 的值及单调递增区间；

（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c，且b c 2，A

19．（本小题满分12分）定义函数y f(x),x D(D为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的y f(x),x D的模.若模存在最大值，则称之为函数y f(x),x D的长距；若模存在最小值，则称之为函数y f(x),x D的短距. (1)分别判断函数f1(x)

3

，求f(a)的值域．

1

与f2(x) x2 4x 5是否存在长距与短距，若存在，请求出; x

(2)对于任意x [1,2]是否存在实数a，使得函数f(x) 出a的取值范围；不存在，则说明理由？

2xx a的短距不小于2，若存在，请求

2

20．（本小题满分13分）．已知二次函数f(x) ax bx+c的图象通过原点，对称轴为x 2n，

(n N*)．f (x)是f(x)的导函数，且f (0) 2n,(n N*) ．

（1）求f(x)的表达式（含有字母n）；

（2）若数列 an 满足an 1 f (an)，且a1 4，求数列 an 的通项公式； （3）在（2）条件下，若bn

n 2

an 1 an

2

，Sn b1 b2 是否存在自然数M，使得当n M... bn，

时n 2n 1 Sn 50恒成立?若存在，求出最小的M；若不存在，说明理由．

21. （本小题满分14分）

（x+) ax，其中a R且a 0. 已知函数f(x) ln

（1）讨论f(x)的单调性；

(2) 若不等式f(x) ax恒成立，求实数a取值范围；

（3）若方程f(x) 0存在两个异号实根x1，x2，求证：x1 x2 0

1a

数 学 试 卷（文史类）(参考答案)

二：填空题（每小题5分，共5小题）

2 9

2

①②③④ 2

三：解答题

16.解：（1）设数列{an}的前n项和为Sn， ∵S10 = 110，∴10a1

10 9

d 110． 2

9

则a1 d 11．① 2分

2

∵a1，a2，a4 成等比数列，

∴a22 a1a4，即(a1 d)2 a1(a1 3d)．∴a1d d2． 4分 ∵d 0，∴a1 = d．②

a 2,

由①，②解得 1，∴an 2n． 6分

d 2.

（2）∵bn (n 1)an=2n(n 1)， 7分 ∴

11111

( )． 8分 bn2n(n 1)2nn 1

1 111(1 ) ( ) 2 223

∴Tn

n11

( ) ． 12 分

2(n 1)nn 1

17.解：设B元件第二次和最后一次检测结果分别是x,y

1

(7 7 7.5 9 9.5) 8,

x xB,得x y 175

∵ 由A

1

xB (6 x 8.5 8.5 y)

5xA

又y x 1， x 8,y 9 5分

B元件第二次检测结果为8，最后一次检测结果为9. 6分

（2）记被检测的5件B元件分别为B1，B2，B3，B4，B5，其中B2，B3，B4，B5，为正品。 从中任取2件，共有10个基本事件，列举如下：

B1，B2 ，B1，B3 , B1，B4 , B1，B5 , B2，B3

8分，

B2，B4 , B2，B5 , B3，B4 ，B3，B5 ，B4，B5

记“2件都为正品为事件包含以下6个基本事件：

B2，B3 ， B2，B4 , B2，B5 , B3，B4 ，B3，B5 ，B4，B5 10分

P C

633

.即2件都为正品的概率为. 12分 1055

1

18. 解：（1） f(x) sin(2 x )， 2分

26

由条件，T 2

1 2

. f x sin x 4分 2 22 6

5分

令

2k

x 2k ,k Z2 6 2

解得单调递增区间: 2k （2）由余弦定理： A

21

,2k k Z 6分 33

3

a2 b2 c2 2bccosA (b c)2 3bc 4 3bc 7分

又2 b c 2 0 bc 1，故1 a2 4， 又2 b c a，故1 a 2 9分 由f(a)

1

sin( a )， 26

7 13 11

a ，所以f(a)的值域为[ ,). 12分 66624

19. 解：（1）设u(x)

x2

1

2（当且仅当x 1取得等号） 2x

f1(x)短距为2，长距不存在。 3分

（2）设v(x)

x2 ( x2 4x 5) 5 4x,x [ 5,1]

v(x)min v(1) 1 v(x)max v( 5) 5 f2(x)短距为1，长距为5。 6分

（2）设h(x)

2

x2 2xx a,x [1,2] 函数f(x) 2xx a的短距不小于2

即x 2xx a 4对于x [1,2]始终成立 7分 当a 2时：a

145

(x )对于x [1,2]始终成立 a 9 分 2x2

当1 a 2时：取x a即可知显然不成立 10分

141

(3x )对于x [1,2]始终成立 a 2x215

（ , ] [, ) 12分 综上 a

22

当a 1时：a

20. 解析：（1）由已知，可得c 0，f (x) 2ax b， 1分

b 2n

1

∴ b 解之得a ，b 2n 3分

2 2n 2a f(x)

12

x 2nx 4分 2

（2） an 1 an 2n 5分

an (an an 1) (an 1 an 2) (a3 a2) (a2 a1) a1

=2(1 2 3 n 1) 4 2

n(n 1)

4 n2 n 4 8分 2

（3）an 1 an (n 1)2 (n 1) 4 (n2 n 4) 2n

bn n 2

an 1 an

2

n 2n 9分

Sn 1 21 2 22 3 23 n 2n （1） 2Sn 1 22 2 23 3 234 n 2n 1 （2）

（1）—（2）得： Sn 21 22 2n n 2n 1 2n 1 2 n 2n 1 11分

n 2n 1 Sn=2n 1 2 50，即2n 1 52，当n 5时，2n 1 52 12分 存在M 4，使得当n M时，n 2n 1 Sn 50恒成立 13分

21.解: (１)f(x)的定义域为(

1

, ). a

a2x

-a=-其导数f(x)= 1分

1ax+1x+a

'

1

1

a 0时,f'(x) 0,函数在( , )上是增函数; 2分

a

1

②当a 0时,在区间(-,0)上,f'(x) 0;在区间(0,+∞)上,f'(x) 0．

a1

所以,f(x)在(-,0)是增函数,在(0,+∞)是减函数. 4分

a

1

(２)令h(x) ax f(x),则h(x) 2ax ln(x )

a

①_x0001_

问题化为求h(x) 0恒成立时a的取值范围.

由于h(x) 2a

'

11x a

2a(x

1)

5分 1x a

①当a 0-

11 1

,即h x 在 -, 上是减函数，此时无最小值 7分 2aa a

11

， 2aa111

)上,h'(x) 0;在区间( , )上,h'(x) 0. 8分 在区间(-,-a2a2a11

h(x)的最小值为h( ),所以只需h( ) 0

2a2a

1111e) ln( ) 0, ln 1, a 10分 即2a ( 2a2aa2a2

1

(３)由于f(x) 0存在两个异号根x1,x2，不仿设x1 0，因为 x1 0,所以a 0

a

1

构造函数:g(x) f( x) f(x)( x 0) 11分

a

11

g(x) ln( x) ln(x ) 2ax

aa-②当a 0时，

2ax2

g(x) 2a 0

1112x x x 2

aaa

'

11

所以函数g(x)在区间(

1

,0)上为减函数. a

1

x1 0,则g(x1) g(0) 0, a

于是f(-x1)-f(x1)>0,又f(x1) 0,f(-x1)>0=f(x2),由f(x)在（0, )上为减函数可知

x2 x1.即x1 x2 0 14分

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