半导体中的平衡与非平衡载流子

半导体物理课件

半导体物理SEMICONDUCTOR PHYSICS西安电子科技大学 微电子学院School of Microelectronics

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第三章 半导体中的平衡 与非平衡载流子3.1 导带电子浓度与价带空穴浓度 3.2 本征载流子浓度与本征费米能级 3.3 杂质半导体的载流子浓度 3.4 简并半导体及其载流子浓度 3.5 非平衡载流子的产生与复合 准费米能级 3.6 非平衡载流子的寿命与复合理论School of Microelectronics

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3.1 导带电子浓度与价带空穴浓度要计算半导体中的导带电子浓度，必须先要知道导带中能 量间隔内有多少个量子态。 又因为这些量子态上并不是全部被电子占据，因此还要知 道能量为的量子态被电子占据的几率是多少。 将两者相乘后除以体积就得到区间的电子浓度，然后再由 导带底至导带顶积分就得到了导带的电子浓度。

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一、状态密度导带和价带是准连续的，定义单位能量间隔内的量 子态数为状态密度g( E ) = dZ(E) dE

为得到g(E) ,可以分为以下几步： 先计算出k空间中量子态密度； 然后计算出k空间能量为E的等能面在k空间围成的体 积，并和k空间量子态密度相乘得到Z(E); 再按定义dZ/dE=g(E)求出g(E)。School of Microelectronics

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1. k空间量子态密度 空间量子态密度kx,ky,kz在空间取值是均匀分布的，k空间每个允许的 k值所占体积为 1/(1/V)=V 。 由于每个k值可容纳自旋方向相反的两个电子，所以考虑 自旋k空间电子的量子态密度是2V。1 1 1 1 = L1 L 2 L 3 V

,那么允许k值的密度为

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2. 状态密度Si、Ge在导带底附近的E(k)~k关系为2 2 h 2 k x + k y k z2 + E( k ) = Ec + 2 mt ml

导带底Ec不在k=0处，且上述方程共有s个(Si的s=6,Ge的s=4), 将上式变形2 kx

2mt ( E Ec ) h2

+

2 ky

2mt ( E Ec ) h2

+

k z2 2ml ( E Ec ) h2

=1

能量为E的等能面在k空间所围成的s个旋转椭球体积内的量子 态数为4 2mt ( E Ec ) [2ml ( E Ec )] 1 2 4 ( 8mt2 s 2 ml )1 2 Z ( E ) = 2Vs π = 2V π ( E Ec )3 2 3 h2 h 3 h3School of Microelectronics

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则导带底(附近)状态密度为dZ(E) (8s 2 m 2 m l )1 2 t gC ( E ) = = 4πV (E Ec)1 2 dE h3

令 m* = (s 2 mt2 ml )1 3 ,称mn*为导带底电子状态密度有效质量，则 n(2 m* )3 2 dZ(E) n g C (E) = = 4 πV (E Ec )1 2 dE h3

同理，对近似球形等能面的价带顶附近，起作用的是极值 相互重合的重空穴(mp)h 和轻空穴(mp)l两个能带，故价带顶 附近状态密度 gv(E)为两个能带状态密度之和gV (E) = 4πV (2m* )3 2 p h3 (Ev - E)1 2

3 其中 m*p = m dp = [( m p )l3 2 + ( m p )h 2 ] 2 3 ,称为价带顶空穴状态密度

有效质量。School of Microelectronics

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二、Fermi分布函数 分布函数热平衡条件下半导体中电子按能量大小服

从一定的统计分布 规律。能量为E的一个量子态被一个电子占据的几率为f(E )= 1 + exp 1 E EF k0T

据上式，能量比EF高5k0T的量子态被电子占据的几率仅为0.7%; E 5k T 0.7% 而能量比EF低5k0T的量子态被电子占据的几率高达99.3%。 如果温度不很高，那么EF ±5k0T的范围就很小，这样费米能级 EF就成为量子态是否被电子占据的分界线： 1) 能量高于费米能级的量子态基本是空的； 2) 能量低于费米能级的量子态基本是满的； 3) 能量等于费米能级的量子态被电子占据的几率是50%。School of Microelectronics

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三、玻耳兹曼分布函数费米分布函数中，若E-EF>>k0T,则分母中的1可以忽略，此时 E EF f B ( E ) = exp k0T EF E E = exp k T exp k T = A exp k T 0 0 0

上式就是电子的玻耳兹曼分布函数。1 f(E) = 1 + exp 1 EF E k0T

同理，当EF-E>>k0T时，上式转化为下面的空穴玻耳兹曼分布 EF E E E = exp F exp 1 f(E) = exp k T k T k0T 0 0 E = Bexp k T 0

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半导体中常见的是费米能级EF位于禁带之中，并且满足 Ec-EF>>k0T或EF-Ev>>k0T的条件。 因此对导带或价带中所有量子态来说，电子或空穴都可以用 玻耳兹曼统计分布描述。 由于分布几率随能量呈指数衰减，因此导带绝大部分电子分 布在导带底附近，价带绝大部分空穴分布在价带顶附近，即 起作用的载流子都在能带极值附近。 通常将服从玻耳兹曼统计规律的半导体称为非简并半导体； 而将服从费米统计分布规律的半导体称为简并半导体。School of Microelectronics

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四、半导体中导带电子和价带空穴浓度导带底附近能量E→E+dE区间有dZ(E)=gc(E)dE个量子态， 而电子占据能量为E的量子态几率为f(E),对非简并半导体，该 能量区间单位体积内的电子数即电子浓度n0为(2m* )3 2 E EF dN n dn0 = = 4π exp( )( E Ec )1 2 dE V h3 k0 T

对上式从导带底Ec到导带顶Ec‘ 积分，得到平衡态非简并半 导体导带电子浓度(2m ) n0 = 4π h* 3 2 n 3 Ec '

∫ ( E Ec )

1 2

(2m * ) 3 2 n = 4π h3

Ec Ec '

E EF exp( )dE k 0T E - Ec + Ec - E F )dE k 0TSchool of Microelectronics

∫

(E - Ec) 1 2 exp(

Ec

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引入中间变量 x = E Ec ,得到k0T* n 0 3

(2m k T) n0 = 4π h∞

32

Ec E F exp( ) x 1 2 e x dx k 0T 0

∫

x'

已知积分 ∫ x 1 2 e x dx = π 2 ,而上式中的积分值应小于 π / 2 。0

由于玻耳兹曼分布中电子占据量子态几率随电子能量升高急剧 下降，导带电子绝大部分位于导带底附近，所

以将上式中的积 分用 π / 2 替换无妨，因此n0 = 4π * (2m k0T)3 2 n

h3

(2π mnk0T)3 2 Ec EF Ec EF Ec- EF 1 2 x exp( ) x e dx = 2 exp( ) = Ncexp( ) 3 k0T 0 h k0T k0T

∫

∞

其中

2(2π m* k0T)3 2 n Nc = h3

称为导带有效状态密度，因此School of Microelectronics

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n0 = Ncexp(

Ec - E F ) k0T

同理可以得到价带空穴浓度1 p0 = VEv'

Ev E F [1 f(E)]g V (E)dE = Nv exp( ) k0T Ev

∫

其中 Nv =

2(2π m* k 0 T) 3 2 p h3

称为价带有效状态密度，因此p0 = Nvexp( Ev E F ) k0 T

平衡态非简并半导体导带电子浓度n0和价带空穴浓度p0与温 度和费米能级EF的位置有关。其中温度的影响不仅反映在Nc和Nv 均正比于T3/2上，影响更大的是指数项；EF位置与所含杂质的种类 与多少有关，也与温度有关。School of Microelectronics

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将n0和p0相乘，代入k0和h值并引入电子惯性质量m0,得到m* m* Ec Ev Eg Eg n p 31 n0 p0 = NcNvexp( ) = NcNvexp( ) = 2.33 × 10 ( 2 )3 2 T 3exp( ) k0T k0T m0 k0T

总结： 平衡态非简并半导体n0p0积与EF无关； 对确定半导体，mn*、mp*和Eg确定，n0p0积只与温度有关，与 是否掺杂及杂质多少无关； 一定温度下，材料不同则 mn*、mp*和Eg各不相同，其n0p0积也 不相同。 温度一定时，对确定的非简并半导体n0p0积恒定； 平衡态非简并半导体不论掺杂与否，上式都是适用的。School of Microelectronics

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3.2 本征载流子浓度与本征费米能级本征半导体：不含有任何杂质和缺陷。 本征激发：导带电子唯一来源于成对地产生电子-空穴对，因 此导带电子浓度就等于价带空穴浓度。 本征半导体的电中性条件是 qp0-qn0=0 即 n0=p0 将n0和p0的表达式代入上式的电中性条件Ec EF Ev EF Ncexp( ) = Nvexp( ) k0T k0T

取对数、代入Nc和Nv并整理，得到Ec + Ev k0T Nv Ec + Ev 3k0T m* p EF = + ln = + ln * = Ei 2 2 Nc 2 4 mnSchool of Microelectronics

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上式的第二项与温度和材料有关。室温下常用半导体第 二项的值比第一项(Ec+Ev)/2(约0.5eV)小得多，因此本征费米 能级EF=Ei基本位于禁带中线处。 将本征半导体费米能级EF=Ei=(Ec+Ev)/2代入n0、p0表达式， 得到本征载流子浓度ni nn0 = Ncexp( Ec E F k0T Eg 2Ec Ec Ev ) = Ncexp( ) = Ncexp( ) = ni 2k 0 T 2k 0 T

p0 = Nvexp(

Ev E F Ev Ec Eg ) = Nvexp( ) = Nvexp( ) = ni k0T 2k0T 2k0Tn0 p 0 = NcNvexp( Eg 2 ) = ni k0TSchool of Microelectronics

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表明： 任何平衡态非简并半导体载流子浓度积n0p0 等于本征载流子浓 度ni的平方； 对确定的半导体料，受式中Nc和Nv、尤其是指数项exp(-Eg/2k0T) N N exp(-E 的影响，本征载流子浓度ni随温度的升高显著上升。

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3.3 杂质半导体的载流子浓度一、电子占据施主能级的几率杂质半导体中，施主杂

质和受主杂质要么处于未离化的中性 态，要么电离成为离化态。 以施主杂质为例，电子占据施主能级时是中性态，离化后成 为正电中心。因为费米分布函数中一个能级可以容纳自旋方向相 反的两个电子，而施主杂质能级上要么被一个任意自旋方向的电 子占据(中性态),要么没有被电子占据(离化态),这种情况下电子 占据施主能级的几率为f D (E ) = 1 E EF 1 1 + exp D kT 2 0 School of Microelectronics

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如果施主杂质浓度为ND ,那么施主能级上的电子浓度为n D = N D f D (E) = 1+ ND E E 1 exp D F k T 2 0 ND E E 1 + 2exp D F k0T

而电离施主杂质浓度为nD = N D nD =+

上式表明施主杂质的离化情况与杂质能级ED和费米能级EF 的相对位置有关： 如果ED-EF>>k0T,则未电离施主浓度nD≈0,而电离施主浓度 nD+ ≈ ND,杂质几乎全部电离。 如果费米能级EF与施主能级ED重合时，施主杂质有1/3电离， 还有2/3没有电离。School of Microelectronics

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lcmm.html