切比雪夫不等式及其应用

切比雪夫不等式及其应用

王林（2013080201031）

指导教师：吕恕

摘要：切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它是证明切比雪夫大数定律的重要

工具和理论基础。从切比雪夫不等式的证明切入，然后利用切比雪夫不等式证明了切比雪夫大数定律，最后给出了切比雪夫不等式的一些应用，讨论了切比雪夫不等式的概率边界问题。 关键词：切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 实际应用

0.引言

切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它不但用于理论证明，而且用于随机变量取值概率的估计，且其推广形式有许多方面的应用。

1.切比雪夫不等式

设随机变量X存在数学期望E(X)和方差D（X)，则对任意实数?有：P{X-E(X)}??}? 证明：（1）设X为离散型随机变量，其分布列为P(X=Xi）=Pi（i=1,2,3...)则P{|X-E(X)|??}=

D(X)?2

|Xi?E(X)|???Pi?1?2?(Xi?E(X))2Pi?i?1?D(X)

?2（2）设X为连续性随机变量，其概率密度为P（X),由于E(X),D(X)均存在，则有D(X)=

?????(X?E(X))2P(X)dx

??E(X)??????E(X)????2(X?E(X))2P(X)dx??P(X)dx??2(X?E(X))2P(X)dx

?E(X)???????E(X)??P(X)dx

=?P(X?E(X)??)??(X?E(X)??)

22??2P(|X?E(X)|??)

?P(|X?E(X)|??)?D(X)?2 (1)

切比雪夫不等式还有另一种形式，

P(|X?E(X)|??)?1?D(X)?2 (2)

由切比雪夫不等式得，D(X)越小，则表明X的取值越集中在E(X)附近；反之D(X)越大，说明X的取值越分散。说明，方差刻画了随机变量取值的离散程度。

2.证明切比雪夫大数定律

设{Xn}为一列两两不相关的随机变量序列，若每个Xi的方差存在，具有共同的上界，即

Var(Xi)?c,i=1,2,....,则{Xn}服从大数定律。 证明：因为{Xn}两两不相关，因此

1n1Var{?Xi}=2ni?1n?Var(Xi)?i?1nc n再由切比雪夫不等式得：对V??0 ，有

1n1nP{|?Xi??E(Xi)|??}

ni?1ni?11nVar(?Xi)ni?1?1-?1-?cn?2

2

1n1n于是，n???,有limP{|?Xi??E(Xi)|??}?1

n???ni?1ni?1只要随机变量序列{Xn}是独立且同分布的，可证得切比雪夫大数定律，也从理论上解释了用频率近似作为事件发生概率的基本思想。

3.求解或证明一些有关概率的不等式

例1.设在每次实验中，事件A发生的概率为0.75，利用切比雪夫不等式求：n需要多大时，才能使得在n此独立重复试验中，事件A出现的频率在0.74～0.76之间的概率至少为0.90？ 解：设X为n次试验中，事件A出现的次数，则X～B(n,0.75) E(X)=0.75n,D(X)=0.75*0.25n=0.1875n 所求为满足P(0.74

x<0.76)?0.90的最小的n nx<0.76)可改写为 nP(0.74n

在切比雪夫不等式中取?=0.01n，则 P(0.74<

xD(X)0.1875n1875<0.76)=P(|X-E(X)|<0.01n)?1- ?1??1?n(0.01n)20.0001n2n由题意，取1-1875?0.90 n解得 n?18750

即 n取18750时，可以使得在n次独立重复试验中，事件A出现频率在0.74～0.76之间的概率至少为0.90.

该题若应用林德贝格—莱维中心极限定理则有

P{0.74?x?0.76}?P{0.74n?X?0.76n} n?P{|X?E(X)0.01nX?E(X)nn|?}?P{||?}?2?()?1

18751875D(X)0.1875nD(X)nn)?1?0.90,即?1.645 18751875令2?（解得 n=5074

这个答案比应用切比雪夫不等式的答案精确的多，然而这个答案的正确性如何呢？

,0.75)，即E(X)=3805.5，D(X)=951.375 当n=5074时，有x~b(5074P(0.74?X?0.76)=P(3754.76?X?3856.24) 5074正态分布标准化有 ?（X1)??(3856.24?E(X))??(1.6281)，同理，

D(X)?（X2)??(?1.677).由matlab数学软件仿真有：

Fx1=normcdf(1.6281,0,1), Fx2=normcdf(-1.677,0,1), Fx=Fx1-Fx2

Fx1 = 0.9482 Fx2 =

0.0468 Fx = 0.9015 得0.9015?0.90

经过基于该例题的对切比雪夫不等式概率取值边界的保守性讨论，可得，应用切比雪夫不等式与中心极限定理估计随机变量取值时要慎重选择。若题目未给出应用何种方法，当n充分大时，应应用中心极限定理求解。当仅满足方差条件时，应用切比雪夫不等式求解。

4.结语

切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。文中阐述了切比雪夫不等式及其与大数定理的关系，论述其的一些实际应用。需要提出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一些具体问题中，由它给出的概率边界通常比较保守。

参考文献

[1] 杨乾 切比雪夫不等式证明的启示及应用 重庆与世界 2011年28卷第1期

[2] 徐全智 吕恕 概率论与数理统计 高等教育出版社（第二版）

[3] 霍玉洪 切比雪夫不等式及其应用 长春工业大学学报 第33卷第6期 [4] 李念伟 切比雪夫不等式的应用 创新科技导报 2013年第31期

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lcdt.html