大学物理第刚体的转动

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第三章 刚体的定轴转动Chapter 3. Fixed-axis rotation of Rigid Body

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第三章 刚体的定轴转动

内容联系与线索在实际问题研究中，许多物体的大小和形状不 能忽略。物体在外力作用下一般都要发生形变，这 对研究物体的运动规律带来了困难。如果物体的形 变很小，而且只着重研究物体在外力作用下的整体 运动规律时，可把物体看作是在外力作用下不发生 形变的理想物体——刚体。它是继质点之后的又一 个理想模型。这种在一定条件下，把复杂具体的物 体抽象为简单的理想模型的方法，是科学研究常用 的方法。它可以使我们抓住事物的本质，突出主要 矛盾，从而找出它所遵循的主要规律。我们必须熟 悉和掌握这种方法。

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第三章 刚体的定轴转动

质点力学是刚体力学的基础。在外力作 用下，刚体的基本运动形式可以分为平动和 转动。平动时刚体上各点的运动情况完全相 同，可用其上任一点代表。因此，刚体平动 的规律与质点运动规律完全相同。本章主要 研究刚体绕定轴转动的基本规律。 本章主要采取与质点运动类比的研究方 法。类比也是一种常用的科学研究方法。学 习本章必须要注意把有关刚体运动的概念、 规律和研究方法与质点力学进行类比。在类 比中体会它们的联系与区别，从而加深对物 理规律内在一致性的理解。

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第三章 刚体的定轴转动

教学要求1. 理解角位移、角速度、角加速度等概 念；掌握线量与角量的关系。 2. 理解力矩和转动惯量的概念；掌握刚 体转动定律并能进行简单计算。 3. 掌握刚体转动动能的概念，能正确应 用转动动能定理。 4. 了解角动量的概念，掌握角动量定理 和角动量守恒定律。

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第三章 刚体的定轴转动——3.1 刚体运动的描述

§3-1 刚体运动的描述一、刚体 Rigid Body 在任何外力作用下，其形状 和大小均不发生改变的物体。 mj 说明： 1)理想模型； mi 2)在外力的作用下，任意 两点均不发生相对位移,即 ri j c 3)内力无穷大的特殊质点系。 刚体力学是质点力学的应用和发展， 所有研究质点、质点系的方法均可应用。

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第三章 刚体的定轴转动——3.1 刚体运动的描述

二、刚体运动学1.刚体的平动 刚体上所有点的运动轨迹都相同。 2.刚体定轴转动 刚体相对于某一惯性系(如地 面)固定不动的直线的转动。 3.刚体的一般运动 平动和转动的合成运动。

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第三章 刚体的定轴转动——3.1 刚体运动的描述

2.角速度 Angular Velocity d dt 3.角加速度 Angular

d d 何其相似乃尔! 2 dt dt 0 t vi ri 4.角量 5.角量 1 2 a r i 与线量 i

运动学 0 0 t t 2 2 的关系 ain ri 方程 2 2 2 ( ) 2

Acceleration

0

0

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第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律

§3-2 转动定律一、力矩 torque z o F d

P M 的方向由右手法则确定 1.定轴转动,力矩的方向可用正、负号表示。 几个力同时作用同 M Mi 一刚体，合力矩为 i 结论：刚体内 2.内力对转轴的力矩为零 力不产生力矩

M Fd Fr sin M r F

r

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第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律

二、转动定律 Law of Rotation of a Rigid Body 考察刚体上任意质元： mi 在 f i 和 Fi 的作用下作圆 周运动，由牛顿定律： Fi f i mi ai (1)

ri

fi

Fi

n : Fi cos i f i cos i mi ain (2) : Fi sin i f i sin i mi ai (3)法向分力产生的力矩为零。 (3) ri 切向分力的力矩为：

O

i i ri

ri Fi sin i ri f i sin i mi ai ri mi ri 2

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第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律

对组成刚体的质点系来说： (ri Fi si n i ri f i si n i )i

mi ai ri mi ri2 因为内力产生的力矩为零，于是总力矩： 2 2 M ri mi 令 J ri miii i

d M J J dt

i

刚体所受合外力矩等于刚体 转动惯量和角加速度的乘积。

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第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律

三、转动惯量 Moment of Inertia 描述刚体转动惯性大小的物理量。J mi ri2i

适用于质量离散分布刚体 适用于质量连续分布刚体

J r dm2 m

刚体转动惯量的大小与下列因素有关：(1)形状大小分别相同的刚体，质量大的 转动惯量大； (2)总质量相同的刚体，质量分布离轴越 远，转动惯量越大； (3)对同一刚体而言，转轴位置不同，转动 惯量的大小就不同。

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第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律

1.转动惯量的计算 1.1 均匀细棒a.转轴过中心与杆垂直 m dm dx 取质元： l l2 2

dm

x

O dx

m 1 2 2 J r dm l x dx ml l 12 2dm2 l

b.转轴过棒一端与棒垂直m 1 2 J r dm 0 x dx ml l 32

x

O

dx

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第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律

1.2 均匀细圆环 转轴通过圆心并与环面垂直

dm O

m

R m dl 解：质元 dm 2 R 2 mR 2 R 2 2 J R dm dl mR 2 R 0

一般物体的转动惯量要由实验确定。

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第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律

zCd C

z

2.平行轴定理： J J c mdJC为通过质心的转轴的 转动惯量,另一轴与该轴相 互平行，相距为 d,m为刚 体的质量。 3.转动惯量具有可加性。 思考：下列物体的转动惯量1 J c mR2

4

2

1 l 4 1 2 J ? J c ml 12J ?C

实心圆盘

有空洞圆盘

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第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律

例3-1 质量为mA的物体A初始时静止在光滑的水平面上，它和一轻绳索相连接，此绳索 跨过半径为R、质量为mC的园柱形滑轮C ,并系在另一质量为mB的物体B 上，滑轮 与轴承间的摩擦力矩为 M 。 1)这两物体的加速度为多少? 水平和铅直两段绳索的张力为多少？ A 2)B物体下落距离 y C 时速率为多少？ B y

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第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律

解：隔离物体，受力分析 A 分别根据 牛二定律 和转动定 律列方程

T1 C

T1R

N

T2B

PB A : T1 mAa (1) B : mB g T2 mBa ( 2 )

T2

滑轮视为均匀圆盘， J

v ( 2ay ) 2 ( 3 ) C : RT2 RT1 M J ( 4 ) a R ( 5 ) 12 mC R2

1

联立求解方程(1)~(5)即可。

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第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律

例3-2 一长为l 质量为m 的匀质细杆竖直放置,其下端与一固定铰链o 相连，并可绕其转 动。由于此杆处于非稳定平衡状态,当其受 到扰动时,细杆将在重力的作用下由静止开 始绕铰链o 转动。试计算细杆转到与铅直线 成 角时，杆的角加速度和角速度。 解：受力分析 取任一状态，由转动定律 1 M 外 mgl sin J mg 2 o 1 3g 2 J ml sin 3 2l

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第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律

由初始条件: t 0时, 0 0, 0 0得 : 3g 0 d 2l 0 si n d

3g d sin d 2l

d d d 3 g sin dt d dt 2l

o

mg

3g (1 cos ) 2l

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第三章 刚体的定轴转动——3.3 角动量守恒定律

§3-3 角动量守恒定律 Law of Conservation of Angular Momentum一、质点的角动量定理和角动量守恒定律 1.质点的角动量 L r mv 定义：质点m 相对于 z 参考点O 的角动量为 注意： L y 1) L是矢量 O 方向：右手定则确定 B 大小： L mrv sin 2 S OAB r mv x A 2 1 单位 : kgm s

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