《高等数学》（专科升本科）复习资料

《高等数学》（专科升本科）复习资料

一、复习参考书：全国各类专科起点升本科教材

高等数学（一）第3版 本书编写组 高等教育出版社 二、复习内容及方法：

第一部分 函数、极限、连续

复习内容

函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。数列的极限与函数的极限概念。收敛数列的基本性质及函数极限的四则运算法则。数列极限的存在准则与两个重要的函数极限。无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。常见的求极限的方法。连续函数的概念及基本初等函数的连续性。函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性质，初等函数的连续性。闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、介值定理与零点存在定理。

复习要求

会求函数的定义域与判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。掌握数列极限的计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四则运算法则、两个重要极限等常见方法计算函数的极限。掌握理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在求函数极限的时候能使用等价代换。理解函数连续性的定义，会求给定函数的连续区间及间断点；；能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。

重要结论

1. 两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函数；奇函数与偶函数之积必为

奇函数；奇（偶）函数的复合必为偶函数； 2. 单调有界数列必有极限；

3. 若一个数列收敛，则其任一个子列均收敛，但一个数列的子列收敛，该数列不一定收敛； 4. 若一个函数在某点的极限大于零，则一定存在该点的一个邻域，函数在其上也大于零；

5. 无穷小（大）量与无穷小（大）量的乘积还是无穷小（大）量，但无穷小量与无穷大量的乘积则有多种可

能

6. 初等函数在其定义域内都是连续函数；

7. 闭区间上的连续函数必能取到最大值与最小值。

重要公式

1. 若limf(x)?A,limg(x)?B,则

x?x0x?x0x?x0lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?AB；

x?x0x?x0

limf(x)f(x)x?x0Alim??。(B?0) x?x0g(x)limg(x)Bx?x02. 两个重要极限公式

1sin?1??1；2） lim?1???e，lim?1?x?x?e。 1）limx?0xx?0x???x?x3. 在求极限的运算中注意使用等价无穷小量的代换，常见的等价无穷小量代换有：当x?0时，

x2x(?x)~x,sinx~x,tanx~x,1?cosx~,e?1~x。 ln12

第二部分 一元函数微积分

复习内容

导数的概念及其几何、物理意义、基本求导公式与各种求导法则，微分的概念及计算，罗尔定理、拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数增减性的判定，函数的极值与极值点、最大值与最小值，函数的凹凸性及拐点，曲线的渐近线。

复习要求

理解导数的定义，同时掌握几种等价定义，即

f?(x0)??yf(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0??x)f(x)?f(x0)；掌握导数的几何意义，????x?x2?xx?x0了解导数的物理意义；掌握连续与可导的关系，即连续不一定可导，而可导一定连续；熟练掌握基本初等函数的

导数公式与导数的四则运算法则、反函数与复合函数、隐函数、由参数方程确定的函数的求导法则，掌握对数求导法与高阶导数的求法；理解微分的定义，明确一个函数可微与可导的关系，即可微一定可导，反之一样；熟练掌握微分的四则运算和复合函数的微分；理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理，了解其几何意义；能熟练运用洛必达法则求极限，必须记住使用洛必达法则的条件，同时应注意以下几个问题：1.如果使用洛必达法则后，问题仍然是未定型极限，且仍满足洛必达法则的条件，则可再次使用洛必达法则，2.如果在“0/0”型或“?/?”型极限中含有非零因子，该非零因子可以单独求极限，不必参与洛必达法则运算，以达到简化运算的目的，3.如果能进行等价无穷小量代换或恒等变形配合使用洛必达法则，也可以达到简化运算的目的；会利用导数的几何意义求已知曲线的切线方程与法线方程，会利用导数的符号判断函数的增减性，熟练掌握函数的极值与最值的求法即需掌握以下步骤：1.求出函数y?f(x)的定义域，2.求出f?(x)，并在函数的定义域内求出导数等于零与导数不存在的点（驻点）3.判定驻点两侧导数的符号，4.如果驻点处函数的二阶导数易求，可再次求导通过在该点的符

号来判断极值，5.求最值时，只需求出所有的极值点与端点的值，最大（小）者即为最大（小）值；掌握判断曲线y?f(x)的拐点、凹凸性的一般方法：1.求出该函数的二阶导数，并求出其二阶导数等于零的点，2.同时求出二阶导数不存在的点，3.判定上述各点两侧，该函数的二阶导数是否异号，如果f??(x)在x0的两侧异号，则（x0,f(x0)）为曲线y?f(x)的拐点，4.在f??(x)?0的x的取值范围内，曲线是弧是下凹的，在f??(x)?0的

x的取值范围内，曲线弧是上凸的.；了解渐近线的定义，并会求水平渐近线与铅直渐近线，即limf(x)?C，则

x??y?C为曲线y?f(x)的水平渐近线，若limf(x)??，则称x?x0为曲线y?f(x)的铅直渐近线；

x?x0

重要结论

1. 如果函数y?f(x)在点x0的导数f?(x0)存在，则在几何上表明曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）处存在切

线，且切线的斜率为f?(x0)，且切线方程为

y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)，

当f?(x0)?0时，法线方程为

y?f(x0)??1(x?x0)， f?(x0)2. 若函数在点x0处可导，那么函数f(x)在点x0处必定连续，反之不一定；

3. 函数y?f(x)在点x可微的充分必要条件是y?f(x)在点x处可导，且有dy?f?(x)dx?y?dx； 4. 罗尔定理：若函数y?f(x)满足以下条件：

1）在闭区间[a,b]上连续，2）在开区间(a,b)内可导，3）f(a)?f(b)， 则在开区间(a,b)内至少存在一点?，使得f?(?)?0； 5. 拉格郎日中值定理：若函数y?f(x)满足以下条件：

1）在闭区间[a,b]上连续，2）在开区间(a,b)内可导， 则在开区间(a,b)内至少存在一点?，使得

f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)。

重要公式

1. 设u?u(x)与v?v(x)在点x可导，则

?u?v?uv??u?(v?0) (uv)??u?v?uv?， ???2vv??2. 设复合函数y?f(g(x))，若u?g(x)点x处可导，y?f(u)在相应的点可导，则复合函数y?f(g(x))在

点x处可导，且有链式法则

dydydu???f?(u)?g?(x) dxdudx?x??(t)3. 设y?f(x)是由?所确定，其中?(t),?(t)都为可导函数，且??(t)?0，则

?y??(t)dydydt??(t)， ??dx?dx?(t)dt4. 在求导数时，有时要注意对数求导法的应用 5. 洛必达公式：当f(x),F(x)满足一定条件时，有

x?x0limf(x)f?(x)f(x)f?(x)?lim?lim，lim F(x)x?x0F?(x)x??F(x)x??F?(x) 同时应注意可转化为“0/0”型或“?/?”型的极限

第三部分 一元函数积分学

复习内容

不定积分的概念与性质，不定积分的基本公式，积分第一换元法与第二换元法，分部积分公式与应用分部积分公式时应注意的一般原则，定积分的基本概念与基本性质，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元积分法与分部积分法，无穷区间上的广义积分，求平面图形的面积，求旋转体体积。

复习要求

理解原函数与不定积分定义，了解不定积分的几何意义与隐函数存在定理；熟练掌握不定积分的性质与不定积分的基本公式，理解积分第一换元法，即设f(u)具有原函数F(u),u??(x)存在连续导函数，则有换元公式

?f[?(x)]??(x)dx??f(u)du?F(u)u??(x)?C?F(?(x))?C.

了解积分第二换元法；掌握分部积分公式，同时应注意在使用时应遵循的一般原则；理解定积分的定义与定积分的几何意义；熟练掌握定积分的性质与牛顿-莱布尼茨公式；熟练运用定积分的换元积分法与分部积分法；了解无穷区间上的广义积分的求法；会用定积分的性质求平面图形的面积与旋转体的体积。

重要结论

1.

若F(x)为f(x)在某区间上的一个原函数，则F(x)?C为f(x)的所有原函数，称为f(x)的不定积分，记为2.

?f(x)dx；

b定积分表示一个数值，它只取决于函数f(x)与积分区间，与积分变量无关，即

?3. 4. 5.

baf(x)dx??f(t)dt；

a如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分

?baf(x)dx必定存在；

以y?f(x),x?a,x?b及OX轴所围成的曲边梯形的面积等于

?baf(x)dx；

如果f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点?，使得

?6.

baf(x)dx?f(?)(b?a)；

如果f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数?(x)?x?xaf(t)dt在区间(a,b)内可导，且

??(x)?[?f(t)dt]??f(x)；

a

7.

若f(x)是区间[?a,a]上的连续函数(a?0)，则

?a?a0,f(x)为奇函数??。 f(x)dx??a2f(x)dx，f(x)为偶函数???0

重要公式

1. 先积分后求导，作用抵消，即

(?f(x)dx)??f(x),

先求导后积分，相差一个常数，即

?f?(x)dx?2. 分部积分公式：

f(x)?C

?uv?dx?uv??u?vdx

3. 牛顿-莱布尼茨公式：1）如果f(x)在区间[a,b]上连续，2）F(x)为f(x)在(a,b)内的一个原函数，

则

?1）?(?)?a,?(?)?b;

baf(x)dx?F(x)a?F(b)?F(a)。

b4. 定积分的换元公式：设f(x)在区间[a,b]上连续，函数x??(t)满足以下条件：

2）?(t)在[?,?]上为单值、有连续导数的函数，则有

?

baf(x)dx??f(?(t))??(t)dt。

??第四部分 空间解析几何

复习内容

平面方程的基本概念、直线方程的基本概念，简单的二次曲面。

复习要求

了解平面的点法式方程与一般式方程、了解特殊的平面方程、两个平面之间的关系：垂直、平行、重合，会

通过已知条件建立平面方程，掌握直线的标准式方程与一般方程，了解直线之间的关系以及直线与平面之间的关系，会根据已知条件建立直线方程，了解常见的二次曲面，即柱面方程、球面方程、椭球面方程、锥面方程、旋转抛物面方程.

重要结论

1. 设有平面

?1:A1x?B1y?C1z?D1?0,

?2:A2x?B2y?C2z?D2?0,

平面?1与?2相互垂直的充分必要条件是A1A2?B1B2?C1C2?0， 平面?1与?2平行的充分必要条件是A1/A2?B1/B2?C1/C2，

平面?1与?2重合的充分必要条件是A1/A2?B1/B2?C1/C?D1/D2， 2. 建立平面方程常用平面点法式： 1） 过点M0(x0,y0,z0)作平行于

?1:A1x?B1y?C1z?D1?0的平面方程，取n?(A1,B1,C1)及

M0(x0,y0,z0)即可，

2） 过点M0(x0,y0,z0)作垂直于向量(A,B,C)的平面方程，只需取平面法线向量n?(A,B,C)及点

M0(x0,y0,z0)即可，

3） 过点M1(x1,y1,z1)，M2(x2,y2,z2)，M3(x3,y3,z3)作平面方程，利用平面的一般式方程，设所求的

平面为Ax?By?Cz?D?0，将已给的三点的坐标代入平面方程，可以得到一个以A,B,C,D为未知量的方程组，求出A,B,C,D即可， 3. 设有直线

l1:x?x1y?y1z?z1 ??m1n1p1

l2:x?x2y?y2z?z2 ??m2n2p2 直线l1与l2平行的充分必要条件为

m1n1p??1， m2n2p2 直线l1与l2垂直的充分必要条件为m1m2?n1n2?p1p2?0， 4. 设直线l与平面?的方程为

l:x?x0y?y0z?z0 ??mnp?:Ax?By?Cz?D?0

1） 直线l与平面?垂直的充分必要条件是A/m?B/n?Cp 2） 直线l与平面?平行的充分必要条件是Am?Bn?Cp?0

?Am?Bn?Cp?0l3） 直线落在平面?上的充分必要条件是?

Ax?By?Cz?D?000?05. 建立直线方程，常用直线的标准式方程，只需确定直线上的一点M0(x0,y0,z0)及直线的方向向量

s?{m,n,p}，即

1） 作过点M0(x0,y0,z0)，且垂直与平面?:Ax?By?Cz?D?0的直线方程，取M0(x0,y0,z0)及方向

向量s?A,B,C)即可，

2） 作过点M1(x1,y1,z1)，M2(x2,y2,z2)的直线方程，取M0(x0,y0,z0)=

M1(x1,y1,z1)及方向向量s?{x2?x1,y2?y1,z2?z1}即可

第五部分 多元函数微积分学

复习内容

二元函数的概念及几何意义，多元函数的概念，二元函数的极限与连续性以及连续性的基本性质，偏导数的定义，全微分的概念与基本性质，二阶偏导数，复合函数微分法、隐函数微分法，二元函数的极值与条件极值，二重积分的概念与基本性质，直角坐标系下二重积分的计算、极坐标系下二重积分的计算，二重积分的应用。

复习要求

了解二元函数的定义，会求二元函数的定义域，掌握二元函数的连续性与连续的基本性质；理解二元函数偏导数的定义及几何意义；掌握全微分的定义极其存在的基本性质，会求二元函数的二阶偏导数与复合函数的链式法则。理解隐函数微分法；熟练掌握二元函数极值的求法，了解二元函数的条件极值；理解二重积分的概念，掌握二重积分的基本性质，熟练掌握在直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算问题；了解二重积分的应用

重要结论

1. 有界闭区域上的连续函数，在区域上必能取得最大值与最小值，

2. 有界闭区域上的连续函数，在区域上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值， 3. 如果z?f(x,y)在点P(x,y)处的偏导数

?z?z,为连续函数则z?f(x,y)在点P(x,y)处可微分，且 ?x?ydz??z?zdx?dy， ?x?y4. 设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内具有连续的一阶和二阶偏导数，又

fx?(x0,y0)?0,??(x0,y0)?A,记fxx2fy?(x0,y0)?0

??(x0,y0)?B,fxy??(x0,y0)?C，则 fyy（1）当B?AC?0时，在点(x0,y0)处取得极值，且当A?0时，取得极大值，A?0时取得极小值； （2）当B?AC?0时，(x0,y0)不是极值点；

（3）当B?AC?0，点(x0,y0)是否为极值点需进一步判定。 5. 在D上若f(x,y)?1，且D的面积为?，则有

重要公式

22??1d????DDd???，

1. 链式法则：设z?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y)，在一定条件下，有

?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v??， ???x?u?x?v?x?y?u?y?v?y2. 一元隐函数求导：设F(x,y)?0对x,y存在连续偏导数，且

对x的导数为

?F?0，则由F(x,y)?0确定的函数y?y(x)?y?Fdy???x，

?Fdx?y3. 二元隐函数求导：设F(x,y,z)?0，其中z为x,y的二元函数，F(x,y,z)对x,y,z存在连续偏导数，且

?F?0，则 ?z?F?Fdz?ydz?? ???x，

?F?Fdydx?z?z4. 直角坐标系下二重积分的计算：1）若D:a?x?b,c?y?d，则

??f(x,y)dxdy??dx?Dabdcf(x,y)dy，??f(x,y)dxdy??dy?f(x,y)dx，

Dcadb2）若D:a?x?b,?1(x)?y??2(x)，则

??Df(x,y)dxdy??dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy

3） 若D:?1(y)?x??2(y),c?y?d，则

??Df(x,y)dxdy??dy?cd?2(y)?1(y)f(x,y)dx，

5. 极坐标系下二重积分的计算：1）若D:?????，r1(?)?r?r2(?)，则

??f(x,y)dxdy=??f(rcos?,rcos?)rdrd????d?????f(rcos?,rcos?)rdr。

DDr1()D?r2(?)0?r?r(?)，则 2） 若极点O在区域D的边界上，积分区域可表为D:?????，??Df(rcos?,rcos?)rdrd???d????r(?)0??f(rcos?,rcos?)rdr。

D0?r?r(?)，则二重积分可化为 3） 若极点O在区域D的内部，积分区域可表为D:0???2?，??Df(rcos?,rcos?)rdrd???d??02?r(?)0f(rcos?,rcos?)rdr

第六部分 无穷级数

复习内容

数项级数的概念，级数的收敛与发散，级数的基本性质，级数收敛的必要条件，正项级数收敛性的判别法与任意项级数收敛性的判别法；幂级数的概念与基本性质。

复习要求

理解级数收敛、发散的概念，掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质，会熟练使用比较判别法与比值判别法判别正项级数的收敛性，掌握几何级数、调和级数、与p级数的收敛性，了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。了解幂级数的概念及在其收敛区间内的基本性质，会求幂级数的收敛半径、收敛区间，会利用常见函数的麦克劳林公式，将一些简单的初等函数展开为幂级数。

重要结论

1. 在一个级数的前面去掉或添加有限项，不改变级数的收敛性，

2. 若

??n?1un收敛，则必有limun?0，但反之不一定，

n??3. 幂级数

??nax在收敛区间(?R,?R)内可以逐项积分（求导），且积分（求导）后所得到的幂级数nn?1

的收敛半径不变

重要公式

?1，|r|?1?1?1. 三个常用的标准级数：1）?n?1rn??1?r，2）?n?1发散（调和级数），3）p级数

n??发散,|r|?1?1?发散，0?p?1?n?1np??收敛，p?1

??2. 比值判别法：设

且lim?n?1un为正项级数，

?un?1??u则1）当??1时，收敛，2）当时，??1??，?n?1n?n?1unn??un发散，3）当??1时，

??n?1un收敛性需进一步判定，

?3. 收敛半径的求法：设幂级数

?n?1anxn的系数有liman?11则1）当0?????时，有R?，2）当??0??，

n??a?n时，定义R???，3）当????，定义R?0，

第七部分 常微分方程

复习内容

微分方程的定义，初始条件，特解，可分离变量的方程，一阶线性方程；二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程。

复习要求

理解微分方程的定义与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解，掌握可分离变量方程的解法，掌握一阶线性方程的解法；了解二阶线性微分方程解的结构，掌握二阶常系数齐次线性微分方程与二阶常系数非齐次线性微分方程。

重要结论

1. 对可分离变量的微分方程求解，只需将含x与y的项移到两边，再分别积分即可，

2. 二阶线性常系数齐次方程y???p1y??p2y?0的通解求解步骤为：

1）求解其特征方程 r2?p1r?p2?0， 2）设r1,r2为其两个特征根，则

①若r1?r2，则其通解为y?C1e1?C2e2， ②若r1?r2，则其通解为y?(C1?C2x)e1，

③若r1?a?bi,r2?a?bi，则其通解为y?e(C1cosbx?C2sinbx)。

重要公式

1. 一阶线性微分方程求解：若微分方程为y??p(x)y?q(x)，其解为

?p(x)dx??p(x)dxdx?C?。 y?e?q(x)e?????rxrxrxax

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