高中数学奥林匹克竞赛讲座：07面积问题和面积方法

竞赛讲座07

--面积问题和面积方法

基础知识

1．面积公式

由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．

设△ABC，a,b,c分别为角A,B,C的对边，ha为a的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p?（1）S?ABC?（2）S?ABC1(a?b?c)．则△ABC的面积有如下公式： 21aha； 21?bcsinA 2（3）S?ABC?（4）S?ABC?（5）S?ABCp(p?a)(p?b)(p?c)

1r(a?b?c)?pr 2abc? 4R（6）S?ABC?2R2sinAsinBsinC （7）S?ABCa2sinBsinC ?2sin(B?C)1ra(b?c?a) 21?R2(sin2A?sin2B?sin2C) 2（8）S?ABC?（9）S?ABC2．面积定理

（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和； （2）两个全等形的面积相等；

（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等； （4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；

（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；

（6）共边比例定理：若△PAB和△QAB的公共边AB所在直线与直线PQ交于M，则

S?PAB:S?QAB?PM:QM；

（7）共角比例定理：在△ABC和△A?B?C?中，若?A??A?或?A??A??180?，则

S?ABCAB?AC． ?S?A?B?C?A?B??A?C?3．张角定理：如图，由P点出发的三条射线PA,PB,PC，设?APC??，?CPB??，

?APB?????180?，则A,B,C三点共线的充要条件是： sin?sin?sin(???)??． PBPAPC例题分析

例1．梯形ABCD的对角线AC,BD相交于O，且S?AOB?m，S?COD?n，求SABCD 例2．在凸五边形ABCDE中，设S?ABC?S?BCD?S?CDE?S?DEA?S?EAB?1，求此五边形的面积．

例3．G是△ABC内一点，连结AG,BG,CG并延长与BC,CA,AB分别交于D,E,F，△

AGF、△BGF、△BGD的面积分别为40，30，35，求△ABC的面积．

例4．P,Q,R分别是△ABC的边AB,BC和CA上的点，且BP?PQ?QR?RC?1，求△ABC的面积的最大值．

例5．过△ABC内一点引三边的平行线DE∥BC，FG∥CA，HI∥AB，点

D,E,F,G,H,I都在△ABC的边上，S1表示六边形DGHEFI的面积，S2表示

2S2． 3例6．在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，过△ABD的内心与△ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面积分别记为S和T．求证：S?2T．

△ABC的面积．求证：S1?例7．锐角三角形ABC中，角A等分线与三角形的外接圆交于一点A1，点B1、C1与此类似，直线AA1与B、C两角的外角平分线将于一点A0，点B0、C0与此类似．求证： （1）三角形A0B0C0的面积是六边形AC1BA1CB1的面积的二倍； （2）三角形A0B0C0的面积至少是三角形ABC的四倍．

例8．在△ABC中，P,Q,R将其周长三等分，且P,Q在边AB上，求证：

S?PQRS?ABC?2． 9例9．在锐角△ABC的边BC边上有两点E、F，满足?BAE??CAF，作FM?AB，

FM?AC（M,N是垂足），延长AE交△ABC的外接圆于点D，证明四边形AMDN与

△ABC的面积相等． 三．面积的等积变换

等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．

例10．凸六边形ABCDEF内接于⊙O，且AB?BC?DC?3?1，DE?EF?FA?1，求此六边形的面积．

例11．已知?ABC的三边a?b?c，现在AC上取AB??AB，在BA延长线上截取

BC??BC，在CB上截取CA??CA，求证：S?ABC?S?A?B?C?．

例12．?A?B?C?在?ABC内，且?ABC∽?A?B?C?，求征：S?A?BC?S?B?CA?S?C?AB?S?ABC 例13．在?ABC的三边BC,CA,AB上分别取点D,E,F，使BD?3DC,CE?3EA，

AF?3FB，连AD,BE,CF相交得三角形PQR，已知三角形ABC的面积为13，求三角形

PQR的面积．

例14．E为圆内接四边形ABCD的AB边的中点，EF?AD于F，EH?BC于H，EG?CD于G，求证：EF平分FH．

例15．已知边长为a,b,c,的?ABC，过其内心I任作一直线分别交AB,AC于M,N点，求证：

MIa?c?． INb例16．正△PQR?正△P?Q?R?，AB?a1，BC?b1，CD?a2，DE?b2，

EF?a3，FA?b3．求证：a1?a2?a3?b1?b2?b3．

例17．在正?ABC内任取一点O，设O点关于三边BC,CA,AB的对称点分别为A?,B?,C?，则AA?,BB?,CC?相交于一点P．

例18．已知AC,CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M,N分别内分ACCE，且使

222222AMCN??k，如果B,M,N三点共线，试求k的值． ACCE例19．设在凸四边形ABCD中，直线CD以AB为直径的圆相切，求证：当且仅当BC∥AD时，直线AB与以CD为直径的圆相切．

训练题

21．设?ABC的面积为10cm，D,E,F分别是AB,BC,CA边上的点，且

AD?2cm,DB?3cm,若S?ABE?SDBEF，求?ABE的面积．

2．过?ABC内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将?ABC分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为S1,S2,S3，求三角形?ABC的面积．

3．在?ABC的三边AB,BC,CA上分别取不与端点重合的三点M,K,L，求证：?AML，

1?BKM,?CLK中至少有一个的面积不大于?ABC的面积的．

44．锐角?ABC的顶角A的平分线交BC边于L，又交三角形的外接圆于N，过L作AB和AC边的垂线LK和LM,垂足是K,M，求证：四边形AKNM的面积等于?ABC的 面积．

5．在等腰直角三角形ABC的斜边BC上取一点D，使DC?求证：AE?EC．

6．三条直线l,m,n互相平行，l,n在m的两侧，且l,m间的距离为2，m,n间的距离为1，若正?ABC的三个顶点分别在l,m,n上，求正?ABC的边长．

7．已知?P，证明：在1P2P3及其内任一点P，直线PiP分别交对边于Qi（i?1,2,3）

1BC，作BE?AD交AC于E，3P1PP2PP3P这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2． ,,PQ1PQ2PQ38．点D和E分别在?ABC的边AB和BC上，点K和M将线段DE分为三等分，直线BK和BM分别与边AC相交于点T和P，证明：TP?1AC． 39．已知P是?ABC内一点，延长AP,BP,CP分别交对边于A?,B?,C?，其中AP?x，

BP?y,CP?z,PA??PB??PC??w，且x?y?z?23,w?3，求xyz之值．

10．过点P作四条射线与直线l,l?分别交于A,B,C,D和A?,B?,C?,D?，求证：

AB?CDA?B??C?D??．

AD?BCA?D??B?C?11．四边形ABCD的两对对边的延长线分别交K,L，过K,L作直线与对角线AC,BD的延长线分别G,F，求证：

LFLG?． KFKG12．G为?ABC的重心，过G作直线交AB,AC于E,F，求证：EG?2GF．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lbw.html