小五数学第8讲：比例模型（教师版）

第八讲 比例模型

1鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

鸟头模型：有相等（或互补）的内角的两个三角形，其面积比等于相等（或互补）内角的夹边乘积之比.

A D A E E B C B 即有关系式

D

C S?ADEAD?AE?存在。

S?ABCAB?AC

2、风筝模型 （蝶形定理）

任意四边形中的比例关系：

①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4 ②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系

AS2aS1OS3S4DBbC①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?． 3相似模型

2ADB①

FGEC

ADAEDEAF； ???ABACBCAG22②S△ADE：S△ABC?AF:AG

正确识别各种图形所属的模型，并正确熟练运用比例模型中的关系

例1如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB?2:5，AE:AC?4:7，

S△ADE?16平方厘米，求△ABC的面积．

ADEB答案 70平方厘米

C

解析连接BE，S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?4):(5?4)， S△ABE:S△ABC?AE:AC?4:7?(4?5):(7?5)，所以S△ADE△:SABC?(?24?):(，设

S△ADE?8份，则S△ABC?35份，S△ADE?16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米

例2 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE?CE,AD?2BD,CF?3AF，求△ABC的面积．

AFDBEC

答案24平方厘米 解析

S△BDE:S△ABC?(BD?BE):(BA?BC)?(1?1):(2?3)?1:6S△CEF:S△ABC?(CE?CF):(CB?CA)?(1?3):(2?4)?3:8S△ADF:S△ABC?(AD?AF):(AB?AC)?(2?1):(3?4)?1:6

，

设S△ABC?24份，则S△BDE?4份，S△ADF?4份，S△CEF?9份，

S△DEF?24?4?4?9?7份，恰好是7平方厘米，所以S△ABC?24平方厘米

例3 如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE?2ED，则阴影部分的

面积为．

AOB答案 2.7

EDAMOBENDCC

解析如图，连接OE．根据蝶形定理，ON:ND?S?COE:S?CDE?以

1S?CAE:S?CDE?1:1，所2，

所

以

1S?OEN?S?OED21?EMS?5；

1OM:MA?S?BOE:S?BAE?S?BDE:S?BAE?1:42S?O11S??S矩形ABCD?3，S?OEA?2S?OED?6，所以阴影部．又O?OEDEA3411分面积为：3??6??2.7．

25

例4 如图，已知CD?5，DE?7，EF?15，FG?6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是．

AACDBEFGCDBEFG

答案 40

解析连接AF，BD．

根据题意可知，CF?5?7?15?27；DG?7?15?6?28； 所以，

S?BEF?15S?CBF，S?BEC?12S?CBF，S?AEG?21S?ADG，272728S?AED?7S?ADG， 287122115S?S?CBF?38； S?S?65于是：；?ADG?ADG?CBF28272827可得S?ADG?40．故三角形ADG的面积是40．

例5 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于1三角形BCD的面积的，且AO?2，DO?3，那么CO的长度是DO的长度的_________

3倍．

AOB答案 2:1

DC

解析∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3，∴OC?2?3?6，∴OC:OD?6:3?2:1

例6 如图， △ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD?DF?FB，

则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB? ．

ADFBEGC答案 1:3:5

解析设S△ADE?1份，根据面积比等于相似比的平方，

2222S:S?AD:AF?1:4S:S?AD:AB?1:9， △ADE△AFG△ADE△ABC所以，

因此S△AFG?4份，S△ABC?9份， S?3S?5S:S:S?1:3:5进而有四边形DEGF份，四边形FGCB份，所以△ADE四边形DEGF四边形FGCB

A

1如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:BE?2:5，BC:CD?3:2， 三角形BDE的面积是多少？

ABCDEABCE

D答案 12.5平方厘米 解析

由于?ABC??DBE?180?，所以可以用共角定理，设AB?2份，BC?3份，则BE?5份，

BD?3?2?5份，由共角定理S△ABC:S△BDE?(AB?BC):(BE?BD)?(2?3):(5?5)?6:25，

设S△ABC?6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25?0.5?12.5平方厘米，三角形BDE的面积是12.5平方厘米

2 如图，平行四边形ABCD，BE?AB，CF?2CB，GD?3DC，HA?4AD，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．

HHAGDFBCEAGDFBCE

答案 1/18

解析连接AC、BD．根据共角定理

∵在△ABC和△BFE中，?ABC与?FBE互补，

∴

S△ABCAB?BC1?11???． S△FBEBE?BF1?33又S△ABC?1，所以S△FBE?3．

同理可得S△GCF?8，S△DHG?15，S△AEH?8．

所以SEFGH?S△AEH?S△CFG?S△DHG?S△BEF?SABCD?8?8?15+3+2?36． 所以

3如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC?1:2，AD与

SABCD21??． SEFGH3618BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．

AA33EF312CDEBDAEFBDCFCB

答案 5/12

S△ABFBD1S△ABFAE??1, ??，解析方法一：连接CF，根据燕尾定理，

S△ACFDC2S△CBFEC设S△BDF?1份，则S△DCF?2份，S△ABF?3份，S△AEF?S△EFC?3份，如图所

55S△ABC? 1212标所以SDCEF?11S?S?方法二：连接DE，由题目条件可得到△ABD， △ABC331121BFS△ABD1S△ADE?S△ADC??S△ABC?，所以??，

FES△ADE122331111111S△DEF??S△DEB???S△BEC????S△ABC?，

223232122115S???S?而△CDE．所以则四边形DFEC的面积等于． △ABC32312

4 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC?？

A2B1G3DC答案 6 1:3

解析⑴根据蝶形定理，S?BGC

?1?2?3，那么S?BGC?6；

⑵根据蝶形定理，AG:GC??1?2?:?3?6??1:3．

5 如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积．

AOGB答案 4 2/3

DFCE

解析⑴根据题意可知，△BCD的面积为2?4?4?6?16，那么△BCO和?CDO的面积都是

16?2?8，所以△OCF的面积为8?4?4；

⑵由于△BCO的面积为8，△BOE的面积为6，所以△OCE的面积为8?6?2， 根据蝶形定理，

E:G?F?CGO:S??ECS?2OF:4，所以

S?GCE:S?GCF?EG:FG?1:2，

那么S?GCE?112S?CEF??2?． 1?233

B

6如图，长方形ABCD中，BE:EC?2:3，DF:FC?1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．

AGDFCAGDFC

B答案 72平方厘米 解析连接AE，FE．

EBE因为BE:EC?2:3，DF:FC?1:2，所以S?DEF因为S?AED?3111?(??)S长方形ABCD?S长方形ABCD． 532101S长方形ABCD，AG:GF?1:1?5:1，所以S?AGD?5S?GDF?10平方厘米，22101S?12S?S长方形ABCD，所以?AFD平方厘米．因为?AFD所以长方形ABCD的面积是72平

6方厘米．

7 如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．

BCGA答案 1平方厘米

解析因为M是AD边上的中点，所以AM:BC?1:2，根据梯形蝶形定理可以知道

MD

S△AMG:S△ABG:S△MCG:S△BCG?12（:1?2）（:1?2）:22?1:2:2:4，设S△AGM?1份，

则S△MCD?1?2?3 份，所以正方形的面积为1?2?2?4?3?12份，

S阴影?2?2?4份，所以S阴影:S正方形?1:3，所以S阴影?1平方厘米．

8 在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．

ADFB答案 12平方厘米

解析连接DE，根据题意可知BE:AD?1:2，根据蝶形定理得S梯形厘米)，S△ECD

9 已知ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．

2?（1?2）?9(平方

EC

?3(平方厘米)，那么S?ABCD?12(平方厘米)．

AODAODB答案 21平方厘米 解析 连接AC．

CEBCE

由于ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，所以CE:AD?2:3，

22根据梯形蝶形定理，S?COE:S?AOC:S?DOE:S?AOD?2:2?3:2?3:3?4:6:6:9，所以

S?AOC?6(平方厘米)，S?AOD?9(平方厘米)，?AS又S?ABCCD?阴影部分面积为6?15?21(平方厘米)．

?6?9?15(平方厘米)，

10右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)阴影部分的面积是平方厘米．

A9214B答案 6平方厘米

DA921O4CBEDEC

解析 连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S?OCD根据蝶形定理，

?S?OAE．

S?OCD?S?OAE?S?OCE?S?OAD?4?9?36，故

S?OCD2?36，

所以S?OCD?6(平方厘米)．

C

11右图中ABCD是梯形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，ABED是平行四边形，阴影部分的面积是平方厘米．

A8162B答案 4平方厘米

DA816O2CBEDEC

解析连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S?OCD?S?OAE．

根据蝶形定理，

S?OCD?S?OAE??S?8?1，?6故OSC?E2?OADS?OCD2?16，所以S?OCD?4(平方厘米)．

另解：在平行四边形ABED中，S?ADE?11S?ABED???16?8??12(平方厘米)， 22所以S?AOE?S?ADE?S?AOD?12?8?4(平方厘米)， 根据蝶形定理，阴影部分的面积为8?2?4?4(平方厘米)．

12 在四边形ABCD中，其对角线AC、DB交于E点。且AF=CE，DE=BG。已知四边形ABCD

的面积为1，求△EFG的面积。

答案 1 解析

分别用a、b、c、d表示△CDE、△ADE、△ABE、△BCE。 由鸟头模型，可知：

a:S△EFG=(CE×DE):(EF×EG); b:S△EFG=(AE×DE):(EF×EG); c:S△EFG＝(AE×BE):(EF×EG); d:S△EFG＝(CE×BE):(EF×EG). 因此，(a+b+c+d):4S△EFG＝

(CE×DE+AE×DE+AE×BE+CE×BE):(EF×EG)=[DE×(AE+CE)+BE×(AE+CE)]:(EF×EG)=[(A

E+CE)×(BE+DE)]:(EF×EG)=(AC×BD):(EF×EG)。

因为AF=EC、DE＝BG，可知BD=EG、EF＝AC，因此(AC×BD):(EF×EG)=1，即S△EFG＝S四边形ABCD=1

13 如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，AE?面积为_______平方厘米．

AD11AC，CF?BC．三角形DEF的33EBFC

答案 10平方厘米

112解析 由题意知AE?AC、CF?BC，可得CE?AC．根据”共角定理”可得，

333S△CEF:S△ABC?(CF?CE):(CB?AC)??1?2?:(3?3)?2:9；而

S△ABC?6?6?2?18；所以S△CEF?4；同理得，S△CDE:S△ACD?2:3;，S△CDE?18?3?2?12，S△CDF?6

故S△DEF?S△CEF?S△DEC?S△DFC?4?12?6?10(平方厘米)．

14 如图，已知三角形ABC面积为1，延长

AB至D，使BD?AB；延长BC至E，使

CE?2BC；延长CA至F，使AF?3AC，求三角形DEF的面积．

FABD答案 18

CE

解析用共角定理∵在?ABC和?CFE中，?ACB与?FCE互补，

∴

S?ABCAC?BC1?11???． S?FCEFC?CE4?28又S?ABC?1，所以S?FCE?8． 同理可得S?ADF?6，S?BDE?3．

所以S?DEF?S?ABC?S?FCE?S?ADF?S?BDE?1?8?6?3?18． ．

15 如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？

AEFGDB答案 12平方厘米 解析连接AF、EG．

C

1因为S△BCF?S△CDE??82?16，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这

4两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”S?AEF?8，S?EFG?8，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到S?BFC?16，SABFE?32，S?ABF?24，所以S?ABG?12平方厘米．

1如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD?DC?4，BE?3，AE?6乙部分面积是甲部分面积的几倍？

AEB甲D乙C

答案 5

解析连接AD．∵BE?3，AE?6∴AB?3BE，S?ABD?3S?BDE

又∵BD?DC?4，∴S?ABC?2S?ABD，∴S?ABC?6S?BDE，S乙?5S甲

2如图在△ABC中，

D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD?5:2，

DAE:EC?3:2，S△ADE?12平方厘米，求△ABC的面积．

答案50平方厘米

AEBC解析连接BE，S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?3):(5?3) 所以S△ADE:S△ABC?(3?2):?5?(3?2)??6:25，设S△ADE?6份，则S△ABC?25份，S△ADE?12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．

3 长方形ABCD的面积为36cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

AHD2EGBFC

答案 13.5

解析寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：

AHDEGBFC

111S?FHB?S?CHBS?DHG?S?DHCS?EHB?S?AHB222 可得：、、，而

SABCD?S?AHB?S?CHB?S?CHD?36

11S?EHB?S?BHF?S?DHG?(S?AHB?S?CHB?S?CHD)??36?1822 即；

S?EHB?S?BHF?S?DHG?S阴影?S?EBF，

11111S?EBF??BE?BF??(?AB)?(?BC)??36?4.522228．

所以阴影部分的面积是：

4如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF?2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？

DFABCS阴影?18?S?EBF?18?4.5?13.5

E

答案 48平方厘米

解析 连接FB．三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三

（3?2）?6倍．因此，平角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的

行四边形的面积为8?6?48(平方厘米)．

5 如图， △ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，AD?DF?FM?MP?PB，

则

S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB?

．

DFMAEGNQCPB

答案 1:3:5:7:9

22S?1S:S?AD:AF?1:4，因此S△AFG?4份，进而有△ADE△ADE△AFG解析 设份，

S四边形DEGF?3所以有

份，同理有

S四边形FGNM?5份，

S四边形MNQP?7份，

S四边形PQCB?9份．

S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB?1:3:5:7:9

1如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB?2:5，AE:AC?4:7，S△ADE?16平方厘米，求△ABC的面积．

AADEDEBCBC

答案 70平方厘米

解析连接BE，S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?4):(5?4)，

S△ABE:S△ABC?AE:AC?4:7?(4?5):(7?5)，所以S△ADE:S△ABC?(2?4):(7?5)，

设S△ADE?8份，则S△ABC?35份，S△ADE?16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米．

2如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？

ADECDAECB答案 15 解析连接BE．

B

∵EC?3AE ∴S?ABC?3S?ABE又∵AB?5AD∴S?ADE?S?ABE?5?S?ABC?15，∴S?ABC?15S?ADE?15．

3 如图，园林小路由白色正方形石板和红、青两色的三角形石板铺成. 问：内圈 红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？

答案一样大

解析图中有多个。因为白色石板均为正方形（如图）。因此AB=AD、AE=AC，推出S△ADE:S△ABC＝ (AD×AE):（AB×AC)＝1:1，即两三角形面积相等。同理可知内圈红色三角形面积应该等于外圈青色三角形面积，所以内外总面积相等。

4、如下图，在三角形ABC中，BD=2AD，AG=2CG，E、F为BC边上的三等分点，求四边形DGFE面积占三角形ABC的几分之几？

答案4/9

解析 三角形ADG的面积：三角形ABC的面积=(AD:AB)×(AG:AC)=(1：3)×(2：3)=2/9 三角形CGF的面积：三角形ABC的面积=(CG:AC)×(CF:BC)=(1：3)×(1：3)=1/9 三角形BED的面积：三角形ABC的面积=(BD:AB)×(BE:BC)=(2：3)×(1：3)=2/9 四边形DGFE=1-2/9-1/9-2/9=4/9

5 已知三角形 ABC 面积为 1， 分别延长 AB、 BC、 CA 至 D、 E、 F， 使 BD =AB ? ， CE =BC , AF =AC，求三角形 DEF 的面积.

答案 7 解析

6 以下各个示意图中均有两个三角形，给出了某些线段的长度，请求出小三角形和大三角形的面积比.

答案 2/25 1/12 5/28 3/56 1/8 1/9 3/5 34/585 解析

7 AC的长云是AD的五分之四，且△AED的面积是△ABC面积的一半。请问：AE是AB的几分之几？ 答案 2/5

解析因为“AC的长云是AD的五分之四”，所以S△ABC:S△ABD＝4:5，又因为S△AED是S△ABC的一半，可知S△AED占2份，S△AED:S△ABD＝2:5。因此AE是AB的五分之二。

8 如图，DE平行BC，且AD?2，AB?5，AE?4，求AC的长．

ADBEC 答案 10

解析 AD:AB?AE:AC?DE:BC?2:5，所以AC?4?2?5?10

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