高三数学二轮复习1 - 4 - 2数列求和及综合应用课时巩固过关练理

课时巩固过关练 十一 数列求和及综合应用

(35分钟 55分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.(2016·成都一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列前2016项和为 ( )

的

A. B. C. D.

【解析】选A.设等差数列{an}的首项为a1,公差为d. 因为a5=5,S5=15,

所以

所以所以an=a1+(n-1)d=n.

所以==-,所以数列的前2016项和为

1-+-+…+-

=1-=.

2.(2016·南阳二模)已知数列{an}满足条件a1+项公式为 ( )

a2+a3+…+an=2n+5,则数列{an}的通

A.an=2 C.an=2

n

n+1

B.an=D.an=2

n+2

【解析】选B.由题意可知,数列{an}满足条件a1+a2+a3+…+an=2n+5,

则n>1时,有a1+两式相减可得:

a2+a3+…+an-1=2(n-1)+5,n>1,

=2n+5-2(n-1)-5=2, 所以an=2,n>1,n∈N.

n+1

*

当n=1时,=7,所以a1=14,

综上可知,数列{an}的通项公式为:

an=

-an-1-an+1=0(n∈N,n≥2),则S2016

*

3.(2016·安庆一模)各项均不为零的等差数列{an}中,若等于 ( ) A.0

B.2

C.2016

D.4032

【解题导引】将-an-1-an+1=0变形为=an-1+an+1,求其通项公式即可.

【解析】选D.由题意得所以an=2.所以Sn=2n,

=an-1+an+1=2an,an≠0, =2×2016=4032.

*

4.(2016·秦皇岛一模)满足a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N),它的前n项和为Sn,则满足Sn>1025的最小n值是 ( ) A.9

B.10

C.11

*

D.12

n-1

n

【解析】选C.因为a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N),所以an+1=2an,an=2,Sn=2-1,则满足Sn>1025的最小n值是11.

【加固训练】已知数列{an}的前n项和Sn=n-9n,第k项满足5

( )

A.9

B.8

C.7

D.6

2

【解析】选B.因为Sn=n-9n,

所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10,a1=S1=-8适合上式, 所以an=2n-10(n∈N),

所以5<2k-10<8,得7.5

5.(2016·桂林一模)已知数列{an}中,an+1=2an,a3=8,则数列{log2an}的前n项和等于________.

*

2

【解析】因为=2,a3=8,所以a2=4,a1=2,所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数

列,所以an=2,所以log2an=n,所以数列{log2an}的前n项和等于

n

.

答案:

n-1

6.(2016·太原一模)已知数列{an}的通项公式为an=2,{bn}的通项公式为bn=2n-1,设cn=anbn,则数列{cn}的前n项和为________.

【解析】因为cn=(2n-1)·2.设{cn}的前n项和为Sn,则Sn=1×2+3×2+5×2+…+(2n-3)×2+(2n-1)×2,

2Sn=1×2+3×2+5×2+…+(2n-3)×2+(2n-1)×2,

两式相减得-Sn=1+2+2+…+2-(2n-1)×2=2-3-(2n-1)×2=-(2n-3)×2-3, 所以Sn=(2n-3)·2+3. 答案:(2n-3)·2+3

三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)

7.(2016·开封一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式.

n

n2

3

n

n

n+1

n

n

1

2

3

n-1

n

n-2

n-1

n-1

0

1

2

(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.

【解析】(1)依题意得,

解得

所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1, 即an=2n+1(n∈N).

*

(2)=3,bn=an·3=(2n+1)·3,

2

n-1

n-1n-1n-1

Tn=3+5×3+7×3+…+(2n+1)·3, ①

3Tn=3×3+5×3+7×3+…+(2n-1)·3+(2n+1)·3,② ①-②得

-2Tn=3+2×3+2×3+…+2·3-(2n+1)3

2

n-1

n

2

3

n-1

n

=3+2·

所以Tn=n·3(n∈N).

n

*

-(2n+1)3=-2n·3,

nn

【加固训练】(2016·石家庄一模)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=λSn+1(n∈N,λ≠-1),且a1,2a2,a3+3为等差数列{bn}的前三项. (1)求数列{an},{bn}的通项公式. (2)求数列{anbn}的前n项和.

【解析】(1)方法一:因为an+1=λSn+1(n∈N), 所以an=λSn-1+1(n≥2),

所以an+1-an=λan,即an+1=(λ+1)an(n≥2),λ+1≠0, 又a1=1,a2=λS1+1=λ+1,

所以数列{an}是以1为首项,以λ+1为公比的等比数列, 所以a3=(λ+1),

所以4(λ+1)=1+(λ+1)+3,整理得λ-2λ+1=0,解得λ=1, 所以an=2,bn=1+3(n-1)=3n-2. 方法二:因为a1=1,an+1=λSn+1(n∈N),

所以a2=λS1+1=λ+1,a3=λS2+1=λ(1+λ+1)+1=λ+2λ+1, 所以4(λ+1)=1+λ+2λ+1+3,整理得λ-2λ+1=0,解得λ=1,

2

2

2

*

n-1

2

2

2

*

*

所以an+1=Sn+1(n∈N), 所以an=Sn-1+1(n≥2),

所以an+1-an=an(n≥2),即an+1=2an(n≥2), 又a1=1,a2=2,

所以数列{an}是以1为首项,以2为公比的等比数列, 所以an=2, bn=1+3(n-1)=3n-2.

(2)由(1)知,anbn=(3n-2)2,设Tn为数列{anbn}的前n项和, 所以Tn=1×1+4×2+7×2+…+(3n-2)·2, ①

所以2Tn=1×2+4×2+7×2+…+(3n-5)·2+(3n-2)·2. ② ①-②得,-Tn=1×1+3×2+3×2+…+3·2-(3n-2)·2

1

2

n-1

n

1

2

3

n-1

n

1

2

n-1

n-1

n-1

*

=1+3×

整理得:Tn=(3n-5)·2+5.

n

-(3n-2)·2,

n

8.(2016·成都一模)已知数列{an}的前n项和Sn=-an-bn=2an.

(1)求证：数列{bn}是等差数列.

n

+2(n∈N)，数列{bn}满足

*

(2)设cn=log2，数列的前n项和为Tn，求满足Tn<(n∈N)的n的最大值.

*

【解析】(1)因为Sn=-an-+2，令n=1，可得S1=-a1-1+2=a1，

所以a1=，

当n≥2时，Sn-1=-an-1-+2，

所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1+，

所以2ann=an-1+

，即2an=2n-1

an-1+1.

因为bn

n=2an，即当n≥2时，bn-bn-1=1，又因为b1=2a1=1， 所以数列

是以1为首项，1为公差的等差数列.

(2)由(1)可得bn

n=1+(n-1)×1=n=2an，

所以an=.

所以cn=logn

2=log22=n，

所以==-，

所以Tn=++++=1+--，

因为T2

n<，所以整理得：13n-45n-100<0，

(13n+20)(n-5)<0，

所以-

，

所以nmax=4.

(30分钟 55分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.已知数列{a2

n}的前n项和Sn=n-6n,则{|an|}的前n项和Tn= ( ) A.6n-n2

B.n2

-6n+18

C. D.

+…

【解析】选C.由Sn=n-6n得{an}是等差数列,且首项为-5,公差为2. 所以an=-5+(n-1)×2=2n-7, 所以n≤3时,an<0;n>3时,an>0,

2

所以Tn=

2.抛物线x=y在第一象限内的图象上一点(ai,2其中i∈N,若a2=32,则a4+a6+a8等于 ( )

*

2

)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai+1,

A.64 B.42

2

C.32 D.

【解题导引】令y=f(x)=2x,对其求导写出切线方程,即可求解.

【解析】选D.令y=f(x)=2x,所以y′=f′(x)=4x,则切线斜率k=f′(ai)=4ai, 切线方程为y-2

=4ai(x-ai).

2

令y=0,得x=ai+1=ai.

由a2=32,得a4=8,a6=2,a8=,所以a4+a6+a8=.

3.Sn是等比数列{an}的前n项和,a1=( ) A.3

B.4

,9S3=S6,设Tn=a1a2a3…an,则使Tn取最小值的n值为

C.5 D.6

【解析】选C.设等比数列的公比为q,故由9S3=S6,得9×=,解得

q=2,故=an=×2,易得当n≤5时,

n-1

<1,即Tn

当n≥6时,Tn>Tn-1,据此数列单调性可得T5为最小值.

4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=4,a2+a4=2,则log2=

( )

A.2016 B.2017 C.2

2016

D.2

2017

【解析】选B.设公比为q,则q==,

所以===2

2017

-1,

所以log2=2017.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.已知向量a=(2,-n),b=(Sn,n+1),n∈N,其中Sn是数列{an}的前n项和,若a⊥b,则数列

*

的最大项的值为________.

【解析】因为a⊥b,所以a·b=2Sn-n(n+1)=0,

所以Sn=,所以an=n,

所以==,当n=2时,n+取最小值4,此时

取到最大值.

答案:

6.f是点集A到点集B的一个映射，且对任意(x，y)∈A，有f(x，y)=(y-x，y+x).现对集合A中的点Pn(an，bn)(n∈N)，均有Pn+1(an+1，bn+1)=f(an，bn)，点P1为(0，2)，则|P2017P2018|=________. 【解析】由题意知P1(0，2)，P2(2，2)，P3(0，4)，P4(4，4)，P5(0，8)，根据两点间的距离公式可得， |P1P2|=2，|P2P3|=2|P4P5|=4

，

)， )

2016n-1*

，|P3P4|=4，

从而|PnPn+1|=2×(所以|P2017P2018|=2×(答案：2

1009

=2

1009

.

三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)

7.已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn+an=1(n∈N). (1)求数列{an}的通项公式.

*

(2)设bn=log3(1-Sn+1)(n∈N),求适合方程值.

*

++…+=的正整数n的

【解析】(1)当n=1时,a1=S1,由S1+a1=1,得a1=,

当n≥2时,因为Sn=1-an,Sn-1=1-an-1,

所以Sn-Sn-1=(an-1-an),即an=(an-1-an),

所以an=an-1(n≥2),

所以{an}是以为首项,为公比的等比数列.

故an=·=2·(n∈N).

*

(2)1-Sn=an=,bn=log3(1-Sn+1)

=log3=-n-1,

==-,

++…+

=++…+=-,

解方程-=

2

,得n=100.

8.已知函数f(x)=x-ax+a(x∈R)同时满足:①函数f(x)有且只有一个零点;②在定义域内存在0f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn=f(n)(n∈N). (1)求函数f(x)的表达式. (2)求数列{an}的通项公式.

(3)在各项均不为零的数列{cn}中,所有满足ci·

<0的整数的个数称为数列{cn}的变号

*

数.令cn=1-,求数列{cn}的变号数.

2

【解题导引】(1)看到函数f(x)=x-ax+a(x∈R)有且只有一个零点,想到Δ=0,从而确定解析式.

(2)看到Sn求an,想到an=

(3)看到求数列{cn}的变号数以及变号数的定义,想到从函数角度考虑数列的性质. 【解析】(1)因为f(x)有且只有一个零点, 所以Δ=a-4a=0,解得a=0或a=4,

当a=4时,函数f(x)=x-4x+4在(0,2)上递减,

2

2

故存在0f(x2)成立, 当a=0时,函数f(x)=x在(0,+∞)上递增, 故不存在0f(x2)成立, 综上,得a=4,所以f(x)=x-4x+4. (2)由(1)可知Sn=n-4n+4, 当n=1时,a1=S1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-5,

2

22

所以an=

(3)由题设得cn=

因为当n≥3时,cn+1-cn=所以当n≥3时,数列{cn}递增.

->0,

因为c4=-<0,由1->0?n≥5.

可知c4·c5<0,即当n≥3时,有且只有1个变号数; 又因为c1=-3,c2=5,c3=-3,即c1·c2<0,c2·c3<0, 所以此处变号数有2个; 综上知,数列{cn}的变号数为3.

故存在0f(x2)成立, 当a=0时,函数f(x)=x在(0,+∞)上递增, 故不存在0f(x2)成立, 综上,得a=4,所以f(x)=x-4x+4. (2)由(1)可知Sn=n-4n+4, 当n=1时,a1=S1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-5,

2

22

所以an=

(3)由题设得cn=

因为当n≥3时,cn+1-cn=所以当n≥3时,数列{cn}递增.

->0,

因为c4=-<0,由1->0?n≥5.

可知c4·c5<0,即当n≥3时,有且只有1个变号数; 又因为c1=-3,c2=5,c3=-3,即c1·c2<0,c2·c3<0, 所以此处变号数有2个; 综上知,数列{cn}的变号数为3.

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