平面向量测试题（高考经典试题）附详细答案

平面向量高考经典试题

一、选择题

1．（全国1文理）已知向量a?(?5,6)，b?(6,5)，则a与b

A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 解．已知向量a?(?5,6)，b?(6,5)，a?b??30?30?0，则a与b垂直，选A。

，n)，b?(?1，n)，若2a?b与b垂直，则a?（ ） 2、（山东文5）已知向量a?(1A．1

B．2

C．2

D．4

【答案】:C【分析】：2a?b=(3,n)，由2a?b与b垂直可得：

(3,n)?(?1,n)??3?n2?0?n??3， a?2。

3、（广东文4理10）若向量a,b满足|a|?|b|?1，a,b的夹角为60°，则a?a?a?b=______； 313答案：；解析：a?a?a?b?1?1?1??，

2224、（天津理10） 设两个向量a?(??2,?2?cos2?)和b?(m,若a?2b,则

A.[?6,1]

m?sin?),其中?,m,?为实数.2( ) D.[?1,6]

?m的取值范围是

B.[4,8]

C.(??,1]

【答案】A

【分析】由a?(??2,?2?cos2?),b?(m,???2?2mm，?sin?),a?2b,可得?222???cos??m?2sin?设

?km?2?2m消去m化简得?k代入方程组可得?222mkm?cos??m?2sin???24?2?2k??22，再化简得?cos???2sin?2??cos???2sin??0再令????2?kk?2?k?2?2?k??221?t代入上式得(sin2??1)2?(16t2?18t?2)?0可得?(16t2?18t?2)?[0,4]解不等式得k?2111t?[?1,?]因而?1???解得?6?k?1.故选A

8k?28

5、（山东理11）在直角?ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是 （A）AC?AC?AB （B） BC?BA?BC （C）AB?AC?CD （D） CD?22222(AC?AB)?(BA?BC)AB2

【答案】:C.【分析】： AC?AC?AB?AC?(AC?AB)?0?AC?BC?0，A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为CD?AB?AC?BC，通过等积变换判断为正确. 6、（全国2 理5）在?ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=CA??CB,则?=

2222132 31解．在?ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=CA??CB，则

312222CD?CA?AD?CA?AB?CA?(CB?CA)?CA?CB，???=，选A。

33333(A)

(B)

(C) -

(D) -7、（全国2理12）设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA?FB?FC=0，则|FA|+|FB|+|FC|=

(A)9 (B) 6

(C) 4

(D) 3

2 31 31 3解．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA?FB?FC=0，则F为△ABC的重心，∴ A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，∴ |FA|+|FB|+|FC|=(xA?1)?(xB?1)?(xC?1)?6，选B。

CD?8、（全国2文6）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD?2DB，则??（ ） A．

1CA??CB，32 3 B．

1 3

C．?1 3

D．?2 313解．在?ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=CA??CB，则

CD?CA?AD?CA?12222AB?CA?(CB?CA)?CA?CB，???=，选A。

33333x9（全国2文9）把函数y?e的图像按向量a?(2，0)平移，得到y?f(x)的图像，则f(x)?（ ）

A．e?2

x

B．e?2

x

C．ex?2

D．ex?2

解．把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= ex?2?3，选C。

10、（北京理4）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA?OB?OC?0，那么（ ） Ａ．AO?OD

Ｂ．AO?2OD

Ｃ．AO?3OD

Ｄ．2AO?OD

解析：O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，∴ OB?OC?2OD，且

2OA?OB?OC?0，∴ 2OA?2OD?0，即AO?OD，选A

11、（上海理14）在直角坐标系xOy中，i,j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，AB?2i?j，AC?3i?kj，则k的可能值有

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 【答案】B

【解析】解法一：BC?BA?AC??2i?j?3i?kj?i?(k?1)j???（1） 若A为直角，则AB?AC?(2i?j)(3i?kj)?6?k?0?k??6； （2） 若B为直角，则

AB?BC?(2i?j)[i?(k?1)j]?1?k?0?k??1；

（3） 若C为直角，则

AC?BC?(3i?kj)[i?(k?1)j]?k2?k?3?0?k??。?

所以 k 的可能值个数是2，选B

解法二：数形结合．如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B 12、（福建理4文8）对于向量，a 、b、c和实数错误！未找到引用源。，下列命题中真命题是

A 若错误！未找到引用源。，则a＝0或b＝0 B 若错误！未找到引用源。，则λ＝0或a＝0

C 若错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。，则a＝b或a＝－b D 若错误！未找到引用源。，则b＝c

解析：a⊥b时也有a·b＝0，故A不正确；同理C不正确；由a·b=a·c得不到b=c，如a为零向量或a与b、c垂直时，选B

13、（湖南理4）设a，b是非零向量，若函数f(x)?(xa?b)(a?xb)的图象是一条直线，则必有（ ） A．a⊥b 【答案】A

【解析】f(x)?(xa?b)(a?xb)??abx2?(|a|2?|b|2)x?ab,若函数f(x) 的图象是一条直线，即其二次项系数为0， ?ab=0， ?a⊥b. 14、（湖南文2）若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是

A．EF?OF?OE B. EF?OF?OE C. EF??OF?OE D. EF??OF?OE 【答案】B

【解析】由向量的减法知EF?OF?OE

?xπ??π??2?平移，则平移后所得图象的解析15、（湖北理2）将y?2cos???的图象按向量a???，?36??4?式为（ ）

?xπ??xπ?Ａ．y?2cos????2 Ｂ．y?2cos????2

?34??34??xπ??xπ?Ｃ．y?2cos????2 Ｄ．y?2cos????2

?312??312?答案：选Ａ

'''解析：法一 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点Px,y，P?x,y?，

B．a∥b

C．|a|?|b| D．|a|?|b|

???'?π?''''?2??PP?x?x,y?y?x?x?,y?y?2，带入到已知解析式中则a???，?4?4??可得选Ａ

??π??2?平移的意义可知，先向左平移个单位，再向下平移2个单位。 法二 由a???，4?4?16、（湖北文9）设a=(4,3),a在b上的投影为A.(2,14) 答案：选B

52,b在x轴上的投影为2,且|b|＜1,则b为 2 C.(-2,

B.(2,-

2) 7

2) 7D.(2,8)

解析：设a在b的夹角为θ，则有|a|cosθ=＜1,结合图形可知选B

52，θ=45°，因为b在x轴上的投影为2,且|b|217、（浙江理7）若非零向量a，b满足a?b?b，则（ ） Ａ．2a??a?b 【答案】：C 【分析】：

Ｂ．2a?2a?b Ｃ．2b?a??b

Ｄ． 2b?a?2b

a??b?a?b+b?a+b?b?2b,

由于a，b是非零向量，则必有a+b?b,故上式中等号不成立 。 ∴2b?a?2b。故选C.

18、（浙江文9） 若非零向量a，b满足a?b?b，则（ ） Ａ．2b?a?2b Ｂ．2b?a?2b Ｃ．2a?a??b 【答案】：A

【分析】：若两向量共线，则由于a，b是非零向量，且a?b?b，则必有a=2b；代入可知只有A、C满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC；令OA?a, OB?b,则BA?a-b, ∴CA?a-2b且

C

Ｄ．2a?a??b

a?b?b；又BA+BC>AC ∴a?b?b?a?2b

∴2b?a?2b

B，，b?(1，?1)，则向量19、（海、宁理2文4）已知平面向量a?(11)（ ）

13a?b?22OA ?1) Ａ．(?2，

， Ｂ．(?21)，0) Ｃ．(?1

，2) Ｄ．(?113a?b?(?1，2). 22???????【答案】：D 【分析】：

20、（重庆理10）如图，在四边形ABCD中，|AB|?|BD|?|DC|?4,AB?BD?BD?DC?0,

|AB|?|BD|?|BD|?|DC|?4，则(AB?DC)?AC的值为（ ）

A.2 B. 22 C.4 D.42 【答案】：C

【分析】：(AB?DC)?AC?(AB?DC)?(AB?BD?DC)?(|AB|?|DC|).

?????|AB|?|BD|?|DC|?4,?|AB|?|DC|?2. ??????|BD|(|AB|?|DC|)?4,???DC????????????2

?(AB?DC)?AC?4.

AB21、（重庆文9）已知向量OA?(4,6),OB?(3,5),且OC?OA,AC//OB,则向量OC等于 ?32?（A）??,?

?77?【答案】：D

?24? （B）??,?

?721??32?（C）?,??

?77?4??2（D）?,??

?721?分析】：设C(x,y)OC?OA,?4x?6y?0,AC//OB?5(x?4)?3(y?6)?0,

3727 联立解得C(,?).

22、（辽宁理3文4）若向量a与b不共线，ab?0，且c=a-?为（ ） A．0

B．

?2?aa??b，则向量a与c的夹角?ab?π 6C．

π 3D．

π 2解析：因为a?c?a?(????2aa?b?)a?b?0，所以向量a与c垂直，选D

??23、（辽宁理6）若函数y?f(x)的图象按向量a平移后，得到函数y?f(x?1)?2的图象，则向量a=（ ）

，?2) A．(?1，?2) B．(1，2) C．(?1，2) D．(1''解析：函数y?f(x?1)?2为y?2?f(x?1)，令x?x?1,y?y?2得平移公式，所以向

，?2)，选A 量a=(?1

24、（辽宁文7）若函数y?f(x)的图象按向量a平移后，得到函数y?f(x?1)?2的图象，则向量a=（ ）

，?2) A．(1，2) B．(1

，?2) C．(1，2) D．(?1解析：函数y?f(x?1)?2为y?2?f(x?1)，令x'?x?1,y'?y?2得平移公式，所以向

，?2)，选C 量a=(125、（四川理7文8）设A(a,1)，B(2,b)，C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（ ）

（A）4a?5b?3 （B）5a?4b?3 （C）4a?5b?14 （D）5a?4b?14 解析：选A．由OA与OB在OC方向上的投影相同，可得：OA?OC?OB?OC即

4a?5?8?5b，4a?5b?3．

26、（全国2理9）把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移，得到y=f(x)的图象，则f(x)= (A) ex-3+2

(B) ex+3－2

(C) ex-2+3

(D) ex+2－3

解．把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= e二、填空题

1、（天津文理15） 如图，在?ABC中，?BAC?120?,AB?2,AC?1,D是边BC上一点，

x?2?3，选C。

DC?2BD,则ADBC?__________.

【答案】?

A

83B D C

AB2?AC2?BC2AB2?AD2?BD2?【分析】法一：由余弦定理得cosB?可得

2?AB?AC2?AB?BDBC?7,AD?13， 3BD2?AD2?AB23298?????又AD,BC夹角大小为?ADB，cos?ADB?，

2?BD?AD9413?791所以ADBC?AD?BC?cos?ADB??83.

法二：根据向量的加减法法则有:BC?AC?AB A112AD?AB?BD?AB?(AC?AB)?AC?AB,此时 BC333D

2212122AD·BC?(AC?AB)(AC?AB)?AC?AC·AB?AB

333331818?????. 33332、(安徽文理13) 在四面体O-ABC中，OA?a,OB?b,OC?c,D为BC的中点，E为AD的

中点，则OE= （用a，b，c表示）

解析：在四面体O－ABC中，OA?a,OB?b,OC?c,D为BC的中点，E为AD的中点，则

OE=OA?AE?OA?11AD?OA?(AO?OD) 2211111=OA?(OB?OC)?a?b?c。 242444?b=?11，?．若向量b?(a+?b)，则实数?的值是 3、（北京文11）已知向量a=?2，， ．

解析：已知向量a=?2，，向量a??b?(2??,4??)，则2+λ+4+λ=0，4?b=?11，?．b?(a+?b)，实数?=－3．

4、（上海文6）若向量a，b的夹角为60，a?b?1，则aa?b? ． 【答案】

???1 211?。 225、（江西理15）如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直【解析】aa?b?a?a?b?a?a?bcos60??1???22A N 线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB?mAM，

AC?nAN，则m?n的值为 ．

解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1，n=1，故m+n=2，填2 6、（江西文13）在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的

M 两端点

B O C

0)，B(11)，，则ABAC? 分别为O(0，

．

解析：ABAC?(0,1)?(?1,1)?0?(?1)?1?1?1. 三、解答题：

1、（宁夏，海南17）（本小题满分12分）

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D．现测得

?BCD??，?BDC??，CD?s，并在点C测得塔顶A的仰角为?，求塔高AB．

解：在△BCD中，?CBD?π????． 由正弦定理得所以BC?BCCD?．

sin?BDCsin?CBDCDsin?BDCs·sin??．

sin?CBDsin(???)s·tan?sin?．

sin(???)在Rt△ABC中，AB?BCtan?ACB?2、（福建17）在△ABC中，tanA?（Ⅰ）求角C的大小；

13，tanB?． 45（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．

本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分． 解：（Ⅰ）

C?π?(A?B)，

13?45??1．又0?C?π，?C?3π． ?tanC??tan(A?B)??1341??453（Ⅱ）C??，?AB边最大，即AB?17．

4又

???tanA?tanB，A，B??0，?，?角A最小，BC边为最小边．

???

sinA1?tanA??，??π?由?cosA4且A??0，?，

?2??sin2A?cos2A?1，?得sinA?ABBCsinA17??2． ．由得：BC?ABsinCsinAsinC17所以，最小边BC?2．

3、（广东16）已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).

（1）若c?5，求sin∠A的值; （2）若∠A是钝角，求c的取值范围.

解：(1) AB?(?3,?4), AC?(c?3,?4) 当c=5时，AC?(2,?4)

cos?A?cos?AC,AB??(2)若A为钝角，则

?6?165?25?15 进而

sin?A?1?cos2?A?255

25AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)<0 解得c>3

2

25显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[3，+?)

4、（广东文16） 已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)． (1)若ABAC?0，求c的值；

(2)若c?5，求sin∠A的值

解: (1) AB?(?3,?4) AC?(c?3,?4 ) 由 ABAC 得 c???3(c?3)?16?25?c3? (2) AB?(?3,?4) AC?(2?,4 ) cos?A?25 3ABACABAC??6?161252? sin?A?1?cos?A?

552055、（浙江18）（本题14分）已知△ABC的周长为2?1，且sinA?sinB?2sinC．

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