三角函数辅助角公式应用20170313

辅助角公式应用20170313

基础知识：化asin? 解: asin?+bcos?=?bcos?为一个角的一个三角函数的形式. a2?b2(aa?b222sin?+ba?b22cos?),

① 令aa?b22=cos?,

ba?b2=sin?,

② 顺序：要使正弦在前，余弦在后；系数：分析好a、b，正弦系数为a、余弦系数为b。 例题：例１、试将以下各式化为Asin(???)?A?0?的形式. （1）31sin??cos?（2）sin??cos?（3）2sin??6cos? （4）3sin??4cos? 22

例2、试将以下各式化为Asin(???)（A?0,??[??,?)）的形式. （1）sin??cos? （2）cos??sin? （3）?3sin??cos? 例3、若sin(x?50?)?cos(x?20?)?3，且0??x?360?，求角x的值。 例4、若3sin(x?4、课堂练习

??????(1)、3sin?????3cos???? =________________（化为Asin(???)?A?0?的形式）

66?????12)?cos(x??12)?2?，且 ??x?0，求sinx?cosx的值。

23(2) 、关于x的方程2sinx?5cosx?有解，求实数k的取值范围。 (3)、已知sinx?3cosx?(4)、已知函数f(x)?4m?6，求实数m的取值范围。 4?m1k531???sinx?cosx。若cosx??，x??,??，求f(x)的值；

1344?2?(5)、已知函数f(x)?2cosxsin(x??3)?3。求函数f(x)的最小正周期及取得最大值时x的取值集合； 2(6)、已知函数f(x)?2cos2x?sin2x?4cosx。求f()的值及f(x)的最值。

?3(7)、设f(x)?cos(x?2?x)?2cos2,x?R。求f(x)的值域及f(x)的对称中心。 32(8)、已知f(x)?cos(2x?

?)?2sin(x?)sin(x?)在区间???,??上的值域

?344?122????例15（2008惠州三模）已知函数f(x)??3sin2x?sinxcosx （I）求函数f(x)的最小正周期； （II）求函数f(x)在x??0,解：f(x)??3sin2x?sinxcosx??3?????的值域. 2??1?cos2x1?sin2x 22 ?2?133?3?? ?sin(2x?)? （I）T?sin2x?cos2x?222232 （II）∴0?x??2 ∴

?3?2x??3?4?3? ∴ ??sin(2x?)?1 323 所以f(x)的值域为：??3,??2?3?? 2?点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。

??xx??33?sin)，且x∈[0，]．例6、（2008广东六校联考）已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(?cos，（1）求a?b 22222????（2）设函数f(x)?a?b+a?b，求函数f(x)的最值及相应的x的值。

3xx3xx??解：（I）由已知条件： 0?x?， 得：a?b?(cos?cos,sin?sin)

22222?(cos3xx3xx?cos)2?(sin?sin)2?2?2cos2x?2sinx 2222（2）f(x)?2sinx?cos3xx3xxcos?sinsin?2sinx?cos2x 222213???2sin2x?2sinx?1??2(sinx?)2?，因为：0?x?，所以：0?sinx?1

22213所以，只有当： x?时， fmax(x)?，x?0，或x?1时，fmin(x)?1

222 点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等知识。 练习题1、（2008北京文、理）已知函数f(x)?sin?x?3sin?xsin(?x?（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，

?2)(??0)的最小正周期为π.

2?]上的取值范围. 3解：（Ⅰ）f(x)??11?cos2?x3311?sin2?x=sin?x?cos2?x?=sin(2?x?)?.

62222222???解得ω=1. 2?因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω＞0，所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?sin(2x??12?1?7?1?)?.因为0≤x≤.所以?≤(2x?)≤1. ，所以?≤2x?≤62326626因此0≤sin(2x?

?6)?133≤，即f(x)的取值范围为[0，] 2222.（2009安徽卷理）已知函数f(x)?3sin?x?cos?x(??0)，y?f(x)的图像与直线y?2的两个相邻交点的距离等于?，则f(x)的单调递增区间是 A.[k???,k??5?],k?Z B.[k??5?,k??11?],k?ZC.[k???,k???],k?Z D.[k???,k??2?],k?Z 121236631212答案 C

解析 f(x)?2sin(?x??6)，由题设f(x)的周期为T??，∴??2，

由2k??

?2?2x??6?2k???2得，k???3?x?k???6,k?z，故选C

3.（广东理科卷）已知函数f(x)?(sinx?cosx)sinx，x?R，则f(x)的最小正周期是．答案：? 解析 f(x)?sinx?sinxcosx?21?cos2x12??sin2x,所以函数的最小正周期T???。 2224.（2006年天津）已知函数f(x)?asinx?bcosx（a、b为常数，a?0，x?R）在x??4处取得最小值，则函数

y?f(

3??x)是（ ）答案 D 4A．偶函数且它的图象关于点(?,0)对称 B．偶函数且它的图象关于点(3?,0)对称 2C．奇函数且它的图象关于点(

3?,0)对称 D．奇函数且它的图象关于点(?,0)对称 25. 如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=??8对称，那么a=()

（A）2 （B）?2 （C）1 （D）-1 解：可化为y?1?a2sin(2x??)。 知x???8时，y取得最值±1?a2，即

sin2(?)?acos2(?)?±1?a2882?(?1?a)?±1?a221?(?1?a)2?1?a22?a2?2a?1?0?a??1选（D）。??

6. 若函数f(x)=

1?cos2xxx?asincos(??)的最大值为2，试确定常数a的值。 ?224sin(?x)22cos2xxx?asincos 解：f(x)=

4cosx22 =cosx?sinx

12a21a2 =?sin(x??)，

4411?a2其中角?由sin?=,cos??a1?a2来确定。

1a2?4，解得a=?15。 由已知有?44

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