专题5 三角函数的图像与性质-2019年高考数学高频考点剖析 Word版含解析

专题5 三角函数的图像与性质

-----------精讲深剖

三角函数作为函数性质最完备的基本初等函数，一直是高考的必考点。由于其涉及的概念多、公式多、应用较为灵活，考题看似简单，但不易得分。高考命题点主要有：三角恒等变换求值、三角函数的图象和性质、三角函数图象的平移伸缩变换、三角函数的实际应用等。涉及的数学思想主要有：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想以及转化与化归思想等。高考题型常出现在选择题与填空题中比较靠前的位置,在解答题中一般出现在第17题，分值为10或12分，属于中低档题。

近几年三角函数的图象与性质考点解读 考点 内容解读 ①能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,2017课标全国Ⅰ,9; 1.三角函数的图 象及其变换 了解三角函数的周期性; 2016北京,7; ②了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数Ⅲ,14; A,ω,φ对函数图象变化的影响 2015湖南,9 2018课标全国2.三角函数的性 质及其应用 理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等).理解正切函数的单调性 理解 Ⅱ,10; 2017课标全国Ⅲ,6; 2016课标全国Ⅱ,7; 2015课标Ⅰ,8

1．【2018全国卷Ⅱ理科第10题】若值是

在

是减函数，则的最大

选择题 填空题 解答题 掌握 2016课标全国解答题 填空题 选择题 要求 高考示例 2018天津高考，7 常考题型 A． B． C． D．

【答案】A

所以由

，

得

因此，所以，解得， ，从而

的最大值为

，

故选A．

解法三： 因为则由题意，知

，所以

在

上恒成立，

，

即，即，在上恒成立，

结合函数的图象可知有，

解得，所以， 所以的最大值是，故选A．

课本题源1.（必修4第142页练习第4题（3））求函数周期，递增区间及最大值： 【解析】由

的最小正

【反思回顾】（1）知识反思：熟练掌握三角函数的性质及常见的恒等变形公式；

（2）解题反思：本题为考查三角的性质，其基本方法为运用三角恒等变形公式将所给函数变形为

型，在运用整体思想结合三角函数的性质进行求解。体现了考

生数学运算，逻辑推理、直观想象等核心素养；

知识点1. 任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝，cos α＝，tan

y

α＝x(x≠0)．

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．

（3）.同角三角函数的基本关系

sin α

①平方关系：sinα＋cosα＝； ②商数关系：tan α＝cos α.

2

2

（4）．诱导公式 公式 角 正弦 余弦 正切 口诀 记忆规律 一 2kπ＋ α(k∈Z) sin α cos α tan α 二 π＋α －sin α －cos α tan α 三 －α －sin α cos α －tan α 四 π－α sin α －cos_α －tan_α 五 π2－α cos α sin α 六 π2＋α cos_α －sin α 函数名不变符号看象限 奇变偶不变，符号看象限 函数名改变符号看象限

知识点2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：

π3π

(0,0)，，1，(π，0)，，－1，(2π，0)．

在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：

π3π

(0,1)，，0，(π，－1)，，0，(2π，1)．

五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)．

知识点3． 正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 R [－1,1] 奇函数 ππ在－2＋2kπ，2＋R [－1,1] 偶函数 πxx∈R，且x，k∈Z R 奇函数 定义域 值域 奇偶性 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 周期是2kπ(k∈Z且周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正k≠0)，最小正周期是2π 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心π是kπ＋2，0(k∈Z) kπ对称中心是，0(k∈Z) 周期是π ππ在－2＋kπ，2＋ kπ(k∈Z)上是递 增函数 单调性 2kπ(k∈Z)上是递增函数，π3π在2＋2kπ，2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π π对称轴是x＝2＋对称性 kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 周期性

知识点4．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0) 振幅 A 周期 2πT＝ω 频率 1ωf＝T＝2π 相位 ωx＋φ 初相 φ 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ωx＋φ x y＝Asin(ωx＋φ) φ－ω 0 π2 πφ2ω－ω A π－φω 0 3π2 3πφ2ω－ω －A 2π 2π－φω 0

知识点5．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图

象的两种方法

变式训练

考点1 三角函数的单调性

例1．在下列各区间中，函数y=sin(x+)的单调递增区间是（ ） A[，

] B[0，] C[-，0] D[，]

【答案】B

132π

例2．已知函数f(x)＝2sin 2x－2cos 2x,讨论f(x)在3上的单调性． 13π

【解析】f(x)＝2sin 2x－2cos 2x＝sin3.

2πππππ5π

当x∈3时，0≤2x－3≤π，从而当0≤2x－3≤2，即6≤x≤12时，f(x)单调递增． ππ5π2π

当2≤2x－3≤π，即12≤x≤3时，f(x)单调递减． 5π2π

综上可知，f(x)在12上单调递增，在3上单调递减．

例3．已知函数f(x)=sin(x+)(>0,0≤≤)是R上的偶函数，其图像关于点M(

,0)对称，

变式训练

考点1 三角函数的单调性

例1．在下列各区间中，函数y=sin(x+)的单调递增区间是（ ） A[，

] B[0，] C[-，0] D[，]

【答案】B

132π

例2．已知函数f(x)＝2sin 2x－2cos 2x,讨论f(x)在3上的单调性． 13π

【解析】f(x)＝2sin 2x－2cos 2x＝sin3.

2πππππ5π

当x∈3时，0≤2x－3≤π，从而当0≤2x－3≤2，即6≤x≤12时，f(x)单调递增． ππ5π2π

当2≤2x－3≤π，即12≤x≤3时，f(x)单调递减． 5π2π

综上可知，f(x)在12上单调递增，在3上单调递减．

例3．已知函数f(x)=sin(x+)(>0,0≤≤)是R上的偶函数，其图像关于点M(

,0)对称，

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