广西柳州一中2015届高考数学一模试卷（理科）

广西柳州一中2015届高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：（共12小题．每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．） 1．已知i为虚数单位，则复数 A．2+i

2．已知集合

A．（1，2） B． C．

B．2﹣i

=( )

C．﹣1﹣2i

D．﹣1+i

，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩?RB=( )

8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则( )

A．a=3 9．若 A．

10．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得

的最小值为( )

A．

11．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（

，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，

MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是( )

B．

C．

D．

B．

B．a=4

C．a=5

等于( ) C．

D．

D．a=6

A．

﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1

12．已知函数f（x）=x﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若?x1∈，?x2∈，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是( )

A．

B．

C．（0，3]

D．

2

16．表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为__________．

三、解答题：（第17、18、19、20、21题每题12分，第22、23、24题为选做题，每小题12分，请同学们选择其中1题来做） 17．已知数列{an}满足

（I）求数列{an}的通项公式； （II）求数列{an}的前n项和Sn．

18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=（1）求证：C1B⊥平面ABC； （2）设值．

=λ

（0≤λ≤1），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的

．

．

19．乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：

（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．

20．设椭圆

点，O为坐标原点．

（1）若直线AP与BP的斜率之积为

，求椭圆的离心率；

．

的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两

（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞

2

21．已知函数f（x）=ax+bx﹣lnx（a，b∈R） （Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间

（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．

【选修4-1：几何证明选讲】 22．选修4﹣1几何证明选讲

如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD=5． （Ⅰ）若sin∠BAD=，求CD的长；

（Ⅱ）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．

【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）

23．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；

（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为

）=2

．

（t∈R为参数），求a，b的值．

【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）

2

24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N． （Ⅰ）求M；

（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：xf（x）+x≤．

2

2

广西柳州一中2015届高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：（共12小题．每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．） 1．已知i为虚数单位，则复数

=( )

D．﹣1+i

A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i

考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数．

分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

解答： 解：=，

故选：C．

点评：本题考查复数复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．

2．已知集合 =2

A．（1，2） B． C．

﹣1=﹣，

，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩?RB=( )

故选D．

点评：本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题．

10．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得

的最小值为( )

A．

B．

C．

D．

考点：基本不等式；等比数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列．

分析：由 a7=a6+2a5 求得q=2，代入小值．

求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最

解答： 解：由各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5，可得 ∴q﹣q﹣2=0，∴q=2． ∵∴成立． 故

的最小值等于 ，

，∴q

m+n﹣2

2

，

=16，∴2

m+n﹣2

=2，∴m+n=6，

，当且仅当 =

时，等号

4

故选A．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于基础题．

11．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是( )

A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1

考点：双曲线的标准方程．

分析：先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦

达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c=a+b，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程． 解答： 解：设双曲线方程为

﹣

=1．

222

将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b﹣a）x+2ax﹣a﹣ab=0．

2222222

由韦达定理得x1+x2=

2

2

2

2

2

，则==﹣．

又c=a+b=7，解得a=2，b=5， 所以双曲线的方程是

．

故选D．

点评：本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．

12．已知函数f（x）=x﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若?x1∈，?x2∈，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是( )

A．

B．

C．（0，3]

D．时的值域为，再根据一次g（x）

2

=ax+2（a＞0）为增函数，求出g（x2）∈，由题意得f（x）值域是g（x）值域的子集，从而

得到实数a的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）=x﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称 ∴x1∈时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3， 可得f（x1）值域为

又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈，

∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为 即g（x2）∈

∵?x1∈，?x2∈，使得f（x1）=g（x2）， ∴

?a≥3

2

故选D

点评：本题着重考查了函数的值域，属于中档题．本题虽然是一道小题，但完全可以改成一道大题，处理的关键是对“任意”、“存在”的理解．

二、填空题：（每小题5分，共20分.） 13．

（

+2x）dx=1+ln2．

考点：定积分．

专题：导数的综合应用．

分析：找出被积函数的原函数，然后代入上下限计算．

解答： 解：（+2x）dx==1+ln2；

故答案为：1+ln2．

点评：本题考查了定积分的运算，熟练找出被积函数的原函数是求定积分的关键．

2

2

14．实数x，y，k满足，z=x+y，若z的最大值为13，则k的值为2．

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可． 解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图；则k＞1， 则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方， 由图象知，O到A的距离最大，

∵z=x+y的最大值为13， ∴O到A的距离最大为d=

22

，

由，即，

即A（k，k+1）， 则OA=

2

=，

即2k+2k+1=13，

2

即k+k﹣6=0，解得k=2或k=﹣3（舍）， 故k=2， 故答案为：2

点评：本题主要考查线性规划以及点到直线的距离的应用，利用数形结合是解决本题的关键．

15．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为{an}的前n项和，则的值为2．

考点：等差数列的性质．

专题：计算题；等差数列与等比数列．

分析：由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案． 解答： 解：设等差数列的公差为d，首项为a1， 所以a3=a1+2d，a4=a1+3d． 因为a1、a3、a4成等比数列，

2

所以（a1+2d）=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d．

所以==2，

故答案为：2．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质解决问题． 16．表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为27．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题：空间位置关系与距离．

分析：棱锥S﹣ABC的底面积为定值，欲使棱锥S﹣ABC体积体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，由此能求出棱锥S﹣ABC体积的最大值． 解答： 解：∵表面积为60π的球，∴球的半径为， 设△ABC的中心为D，则OD=，所以DA=，则AB=6

棱锥S﹣ABC的底面积S=为定值，

欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值， 又平面SAB⊥平面ABC，

∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO=，点D到直线AB的距离为则S到平面ABC的距离的最大值为， ∴V=

．

，

故答案为：27．

点评：本小题主要考查棱锥的体积的最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．

三、解答题：（第17、18、19、20、21题每题12分，第22、23、24题为选做题，每小题12分，请同学们选择其中1题来做） 17．已知数列{an}满足

（I）求数列{an}的通项公式； （II）求数列{an}的前n项和Sn．

考点：数列递推式；数列的求和． 专题：计算题．

．

分析：（I）由，知

=（n﹣1）+n﹣1=n﹣n（n≥2，n∈N），由此能够得到数列{an}

的通项公式．

（II）设bn=n?2，其前n项和为Tn，则Tn=1×2+2×2+…+n×2Tn，从而能够得到数列{an}的前n项和Sn． 解答： 解：（I）∵

n+1

2

3

n+1

22+

，由错位相减法能够得到

①

∴=（n﹣1）+n﹣1=n﹣n（n≥2，n∈N），②

22+

由①﹣②得：

，∴an=n?2

n+1

+1，n≥2，n∈N，③

n+1

+

+

在①中，令n=1，得a1=5，适合③式，∴an=n?2+1，n∈N．

n+1

（II）设bn=n?2，其前n项和为Tn，则：

23n+1

Tn=1×2+2×2+…+n×2，①

34n+2

2Tn=1×2+2×2+…+n×2，②

23n+1n+2

②﹣①，得Tn=﹣2﹣2﹣…﹣2+n?2

n+2

=（n﹣1）?2+4．

n+2

∴Sn=Tn+n=（n﹣1）?2+n+4． 点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意迭代法和错位相减法的合理运用．

18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=（1）求证：C1B⊥平面ABC； （2）设值．

=λ

（0≤λ≤1），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的

．

考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定． 专题：空间角．

分析：（1）由已知条件推导出AB⊥BC1，BC⊥BC1，由此能证明C1B⊥平面ABC．

（2）以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出λ的值．

解答： （1）证明：AB⊥侧面BB1C1C，BC1?侧面BB1C1C，∴AB⊥BC1， 在△BCC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=由余弦定理得：B=1+2﹣2×1×2×cos∴BC1=∴BC+B

22

2

，

=BC+C=3，

2

﹣2BC?CC1?cos∠BCC1

，…3 分 =C

，∴BC⊥BC1，

∵BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．…

（2）解：由（1）知，BC，BA，BC1两两垂直，

以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 则∴则

设平面AB1E的法向量为

，

，∴

，，∴

．

．…

，

则，∴，

令，则，∴

=（0，1，0）是平面BEB1的一个法向量，

．…

∵AB⊥侧面BB1C1C，∴

∴|cos＜＞|=|

2

|=，

两边平方并化简得2λ﹣5λ+3=0， ∴λ=1或

（舍去）．…

∴λ的值是1．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

19．乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：

（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．

考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题：概率与统计．

分析：（Ⅰ）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为+=， 回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为+=，

故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P=×（1﹣）+（1﹣）×=+（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6 其中P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）=

；

=

．

P（ξ=1）=×（1﹣）+（1﹣）×=； P（ξ=2）=×=；

P（ξ=3）=×（1﹣）+（1﹣）×=P（ξ=4）=×+×=P（ξ=6）=×=故ξ的分布列为： ξ 0 P

；

；

；

1

2 +1×+2×+3×

3 +4×

+6×

4 =

．

6

故ξ的数学期望为E（ξ）=0×

点评：本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科2015届高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．

20．设椭圆

点，O为坐标原点．

（1）若直线AP与BP的斜率之积为

，求椭圆的离心率；

的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两

（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞．

考点：圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：（1）设P（x0，y0），则得椭圆的离心率；

，利用直线AP与BP的斜率之积为，即可求

（2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），则

，进一步可得

，利用AP|=|OA|，A（﹣a，0），可求得

率的范围．

解答： （1）解：设P（x0，y0），∴

①

，从而可求直线OP的斜

∵椭圆的左右顶点分别为A，B，∴A（﹣a，0），B（a，0）

∴，

∵直线AP与BP的斜率之积为代入①并整理得∵y0≠0，∴a=2b ∴

2

2

，∴

∴

；

∴椭圆的离心率为

（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），∴

∵a＞b＞0，kx0≠0，∴∴

②

∵|AP|=|OA|，A（﹣a，0）， ∴∴

∴

代入②得

2

∴k＞3

∴直线OP的斜率k满足|k|＞．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查直线的斜率，考查学生的计算能力，属于中档题．

21．已知函数f（x）=ax+bx﹣lnx（a，b∈R） （Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间

（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；不等关系与不等式． 专题：导数的综合应用．

2

分析：（Ⅰ）由函数的解析式知，可先求出函数f（x）=ax+bx﹣lnx的导函数，再根据a≥0，分a=0，a＞0两类讨论函数的单调区间即可；

2

（Ⅱ）由题意当a＞0时，是函数的唯一极小值点，再结合对于任意x＞0，f（x）

≥f（1）．可得出=1化简出a，b的关系，再要研究的结论比较lna与﹣2b的大小

构造函数g（x）=2﹣4x+lnx，利用函数的最值建立不等式即可比较大小 解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=ax+bx﹣lnx（a，b∈R） 知f′（x）=2ax+b﹣ 又a≥0，

故当a=0时，f′（x）=

2

若b≤0时，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调递减区间是（0，+∞）；若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜，即函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数、 所以函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）， 当a＞0时，令f′（x）=0，得2ax+bx﹣1=0

2

由于△=b+8a＞0，故有 x2=

，x1=

2

显然有x1＜0，x2＞0， 故在区间（0，

）上，导数小于0，函数是减函数；

在区间（，+∞）上，导数大于0，函数是增函数

综上，当a=0，b≤0时，函数的单调递减区间是（0，+∞）；当a=0，b＞0时，函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）；当a＞0，函数的单调递减区间是（0，

），

单调递增区间是（，+∞）

（Ⅱ）由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值， 由（1）知，

是函数的唯一极小值点故

=1

整理得2a+b=1，即b=1﹣2a 令g（x）=2﹣4x+lnx，则g′（x）=令g′（x）=

=0得x=

当0＜x＜时，g′（x）＞0，函数单调递增； 当＜x＜+∞时，g′（x）＜0，函数单调递减 因为g（x）≤g（）=1﹣ln4＜0

故g（a）＜0，即2﹣4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜﹣2b 点评：本题是函数与导数综合运用题，解题的关键是熟练利用导数工具研究函数的单调性及根据所比较的两个量的形式构造新函数利用最值建立不等式比较大小，本题考查了创新探究能力及转化化归的思想，本题综合性较强，所使用的方法具有典型性，题后应做好总结以备所用的方法在此类题的求解过程中使用．

【选修4-1：几何证明选讲】 22．选修4﹣1几何证明选讲

如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD=5． （Ⅰ）若sin∠BAD=，求CD的长；

（Ⅱ）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．

考点：弦切角；与圆有关的比例线段． 专题：立体几何． 分析：（I）由⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，利用垂径定理可得CE=ED．在Rt△ABD中，利用直角三角形的边角关系可得BD=ABsin∠BAD．再利用勾股定理可得

．由等面积变形可得，即可得出．

（II）设∠ODE=x，则∠ADO=4x，利用三角形外角定理可得∠EOD=∠OAD+∠ODE=8x．在Rt△EOD中，由于∠EOD+∠ODE=

，可得x=

．进而得到∠AOC=2∠ADC=

．再利

用扇形的面积计算公式即可得出． 解答： 解：（I）∵⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，∴CE=ED，∠ADB=90°． 在Rt△ABD中，∵sin∠BAD=，∴由勾股定理可得∵

，∴

=

=8． =4.8．

=6．

∴CD=2ED=9.6．

（II）设∠ODE=x，则∠ADO=4x，∵OA=OD，∴∠OAD=4x． ∴∠EOD=∠OAD+∠ODE=8x． 在Rt△EOD中，∠EOD+∠ODE=∴

，

．

=

．

，∴8x+x=

，解得x=

．

∴∠AOC=2∠ADC=

∴扇形OAC（阴影部分）的面积S=

点评：本题综合考查了圆的性质、垂径定理、直角三角形的边角关系、勾股定理、等面积变形、三角形外角定理、扇形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，属于基础题．

【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）

23．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；

（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为

）=2

．

（t∈R为参数），求a，b的值．

考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程． 专题：压轴题；直线与圆．

分析：（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；

（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣

+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．

2

2

解答： 解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x+（y﹣2）=4，x+y﹣4=0， 解

得

或

，

∴C1与C2交点的极坐标为（4，

）．（2，）．

（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3）， 故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0， 由参数方程可得y=x﹣

+1，

∴，

解得a=﹣1，b=2．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．

【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分） 24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N． （Ⅰ）求M；

（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：xf（x）+x≤．

考点：其他不等式的解法；交集及其运算． 专题：不等式的解法及应用．

2

22

分析：（Ⅰ）由所给的不等式可得 ①，或 ②，分别求得①、②的

解集，再取并集，即得所求．

（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣

，显然它小于或等于 ，要证的不等式得证．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得 ①，或 ②．

解①求得1≤x≤，解②求得 0≤x＜1．

综上，原不等式的解集为． （Ⅱ）证明：

由g（x）=16x﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤， ∴N=， ∴M∩N=．

∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x， ∴xf（x）+x=xf（x）=﹣

2

2 2

≤，

故要证的不等式成立．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．

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