ARCH模型和GARCH模型 - yukz

ARCH模型和GARCH模型

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Robert F. Engle Clive W. J. Granger

本章模型与以前所学的异方差的不同之处：随机扰动项的无条件方差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。

引子---问题的提出

以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的

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异方差却不属于递增型异方差。例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，

yt=yt-1+εt 其中εt为白噪声过程，

1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图1和图2。 3

160140JPY (1995-2000)12010080200400600800100012001400图1 日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000)

64D(JPY) (1995-2000)20-2-4-6-8200400600800100012001400 图2 日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)

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8Volatility of returns6420200400600800100012001400图3 收益绝对值序列 (1995-2000)

6050DJPY^2403020100200400600800100012001400 图4 D(JPY)的平方 (1995-2000) 5

这种序列的特征是（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatility clustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosis and fat-tail）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。图5给出高峰厚尾分布示意图。

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高峰厚尾分布曲线正态分布曲线图5 高峰厚尾分布特征示意图

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显然现期方差与前期的“波动”有关系。描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型（Engle 1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1）通过预测yt或ut的变化量评估股票的持有或交易对收益所带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；（2）可以预测yt的置信区间，它是随时间变化的；（3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。

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§1、ARCH模型

1、条件方差

多元线性回归模型：

yt?Xt???t

条件方差或者波动率（Condition variance，volatility）定义为?2t?var(?t|?t?1)

其中?t?1是信息集。

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2、ARCH模型的定义

Engle（1982）提出ARCH模型（autoregressive conditional heteroskedasticity，自回归条件异方差）。

ARCH(q)模型：

yt?xt??? t （1）

?t的无条件方差是常数，但是其条件分布为

?t|?t?12 ?t2????1?t?1?N(0,?t2)

2 （2） ??q?t?q 10

其中?t?1是信息集。

方程（1）是均值方程（mean equation）

? ?t2：条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差

方程（2）是条件方差方程（conditional variance equation），由二项组成 ? 常数?

? ARCH项?t2?i：滞后的残差平方

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由于εt的非负性，对?i应有如下约束，

ω>0, ?i?0, i = 1, 2, … q

当全部?i = 0, i = 1, 2, …, q时，条件方差?t2 =ω。因为方差是非负的，所以要求ω > 0。

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3、ARCH模型的平稳性条件

为保证?t2是一个平稳过程，(2) 式的特征方程 1-?1L-?2L2-…-?qLq=0 的根都应在单位圆之外。

对?i, i = 1, 2, …, q的另一个约束是

0 ??1+?2+…+?q<1

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对(2) 式求期望，

?t2 =ω+ ?1 E(εt -1 2) + ?2 E(εt -22) + … + ?q E(εt - q2) =ω+ ?1 ?t -1 2 + ?2 ?t -22 + … + ?q ?t - q2

当T?? 时， ?2 =ω+ ?1 ? 2 + ?2 ? 2 + … + ?q ? 2 则无条件方差

?2?11??q? i?1?i

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可见若保证?t2

是一个平稳过程，应该有约束 0 ? (?1 + ?2 + … + ?q ) < 1。

因为Var(yt) = Var(εt) = ?t2，所以上式可以用来预测yt 的方差。综上所述，ARCH模型的方差方程的的平稳性条件有 1) 1-?1L-?2L2-…-?qLq=0 的根都应在单位圆之外。 2) 0 ??1+?2+…+?q<1

为使模型能够成立还需要满足 ω>0, ?i?0, i = 1, 2, … q

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例1 ARCH(1)模型中参数?1的含义：

?2?var(?1t)?1??? 1

当?1?1时，var(?t)??

当?1?0时，退化为传统情形，?tN(0,?)

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4、ARCH效应检验

ARCH LM Test：拉格朗日乘数检验 建立辅助回归方程

e22t??0??21et?1???qet?q?vt此处e是回归残差。

原假设：

H0：序列不存在ARCH效应

即 H0：?1??2???q?0

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可以证明：若H0为真，则

LM?mR2?2(q)

此处，m为辅助回归方程的样本个数。R2为辅助回归方程的确定系数。

Eviews操作：①先实施多元线性回归

②view/residual/Tests/ARCH LM Test

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§2、ARCH模型的实证分析

从收盘价，得到收益率数据序列。 series r=log(p)-log(p(-1))

点击序列p，然后view/line graph

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2000150010005000500100015002000P20

Sample(adjusted): 2010 2254

Included observations: 245 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C

0.000110 5.34E-05 2.060138 0.0405 RESID^2(-1) 0.141549 0.065237 2.169776 0.0310 RESID^2(-2) 0.055013 0.065823 0.835766 0.4041 RESID^2(-3) 0.337788 0.065568 5.151697 0.0000 RESID^2(-4) 0.026143 0.069180 0.377893 0.7059 RESID^2(-5) -0.041104 0.069052 -0.595260 0.5522 RESID^2(-6) -0.069388 0.069053 -1.004854 0.3160 RESID^2(-7) 0.005617 0.069178 0.081193 0.9354 RESID^2(-8) 0.102238 0.065545 1.559806 0.1202 RESID^2(-9)

0.011224

0.065785

0.170619

0.8647

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RESID^2(-10) 0.064415 0.065157 0.988613 0.3239 R-squared

0.182406 Mean dependent var 0.000305 Adjusted R-squared 0.147466 S.D. dependent var 0.000679 S.E. of regression 0.000627 Akaike info criterion -11.86836 Sum squared resid 9.19E-05 Schwarz criterion -11.71116 Log likelihood 1464.875 F-statistic

5.220573 Durbin-Watson stat 2.004802 Prob(F-statistic) 0.000001 得到什么结论？

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2、模型定阶：如何确定q

实施ARCH LM test时，取较大的q，观察滞后残差平方的t统计量的p－value即可。

此处选取q＝3。因此，可以对残差建立ARCH(3)模型。

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3、ARCH模型的参数估计

参数估计采用最大似然估计。具体方法在GARCH一节中讲解。 如何实施ARCH过程：

由于存在ARCH效应，所以点击estimate，在method中选取ARCH

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得到如下结果

Dependent Variable: R Method: ML - ARCH

Date: 10/21/04 Time: 21:48 Sample: 2000 2254

Included observations: 255

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Convergence achieved after 13 iterations Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C -0.000640 0.000750 -0.852888 0.3937 Variance Equation C 9.24E-05 1.66E-05 5.569337 0.0000 ARCH(1) 0.244793 0.082640 2.962142 0.0031 ARCH(2) 0.081425 0.077428 1.051624 0.2930 ARCH(3) 0.457883 0.109698 4.174043 0.0000 R-squared

-0.003823 Mean dependent var 0.000432 Adjusted R-squared -0.019884 S.D. dependent var 0.017364 S.E. of regression 0.017535 Akaike info criterion -5.495982 Sum squared resid

0.076872 Schwarz criterion

-5.426545

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Log likelihood 705.7377 Durbin-Watson stat 2.042013 为了比较，观察将q放大对系数估计的影响

Dependent Variable: R Method: ML - ARCH

Date: 10/21/04 Time: 21:54 Sample: 2000 2254

Included observations: 255

Convergence achieved after 16 iterations Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C -0.000601 0.000751 -0.799909 0.4238

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Variance Equation C 9.38E-05 1.60E-05 5.880741 0.0000 ARCH(1) 0.262009 0.090256 2.902959 0.0037 ARCH(2) 0.041930 0.070518 0.594596 0.5521 ARCH(3) 0.452187 0.108488 4.168076 0.0000 ARCH(4) -0.021920 0.050982 -0.429956 0.6672 ARCH(5) 0.037620 0.044394 0.847408 0.3968 R-squared

-0.003550 Mean dependent var 0.000432 Adjusted R-squared -0.027830 S.D. dependent var 0.017364 S.E. of regression 0.017603 Akaike info criterion -5.483292 Sum squared resid 0.076851 Schwarz criterion -5.386081 Log likelihood 706.1198 Durbin-Watson stat 2.042568 34

观察：说明q选取为3确实比较恰当。

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4、ARCH模型是对的吗？

如果ARCH模型选取正确，即回归残差的条件方差是按规律变化的，那么标准化残差就会服从标准正态分布，即不会有ARCH效应了。

对q为3的ARCH模型做LM test，发现没有了ARCH效应。

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注意，虽然是同一个检验名称，但是ARCH过程后是对标准化残差进行检验。注意观察被解释变量或者依赖变量是什么？

ARCH Test: F-statistic 0.238360 Probability 0.992099 Obs*R-squared 2.470480 Probability 0.991299

Test Equation:

Dependent Variable: STD_RESID^2

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Method: Least Squares

Date: 10/21/04 Time: 21:56 Sample(adjusted): 2010 2254

Included observations: 245 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C

1.102371 0.264990 4.160043 0.0000 STD_RESID^2(-1) -0.038545 0.065360 -0.589741 0.5559 STD_RESID^2(-2) -0.003804 0.065308 -0.058252 0.9536 STD_RESID^2(-3) -0.057313 0.065303 -0.877649 0.3810 STD_RESID^2(-4) -0.010325 0.065277 -0.158169 0.8745 STD_RESID^2(-5) 0.003537 0.065280 0.054185 0.9568 STD_RESID^2(-6) -0.007420 0.065274 -0.113670 0.9096 STD_RESID^2(-7) 0.063317 0.065264 0.970165 0.3330 STD_RESID^2(-8)

-0.012167

0.065293

-0.186340

0.8523

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STD_RESID^2(-9) -0.010653 0.065278 -0.163194 0.8705 STD_RESID^2(-10) -0.020211 0.065228 -0.309845 0.7570 R-squared 0.010084 Mean dependent var 1.007544 Adjusted R-squared -0.032221 S.D. dependent var 2.112747 S.E. of regression 2.146514 Akaike info criterion 4.409426 Sum squared resid 1078.160 Schwarz criterion 4.566625 Log likelihood -529.1546 F-statistic

0.238360 Durbin-Watson stat 2.000071 Prob(F-statistic) 0.992099 方程整体是不显著的。

还可以观察标准化残差

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ARCH建模以后，procs/make residual series/可以产生残差?t和标准化残差?t/?t，以下分别是残差和标准化残差。可以看出没有了集群现象。

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§3、GARCH模型

ARCH (q) 模型 是关于?t2的分布滞后模型。为避免εt2的滞后项过多，可采用加入?t2的滞后项的方法，此方法是Bollerslov（1986）提出的GARCH模型（Generalized ARCH），主要就是针对q较大的情形

1、模型定义

2?t2????iq?1?i?t2?i??pj?1?j?t?j

条件方差方程

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? 均值? ? ?t2?i

? ?t2?j：过去的条件方差（也即预测方差，forecast variance）

注意：均值方程中若没有解释变量（即只有常数，如R C），则R2没有直观定义了，因此可为负）

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例2 GARCH(1,1) Model 标准的GARCH(1,1)描述为：

yt?xt????t （a）

?t2?????t2?1???t2?1 （b）

（a）式是均值的方程，带误差项的外生变量的函数。因为?t2是

基于过去信息的一步向前预测方差，所以称为条件方差。条件方差的方程有三项。

? 是均值项；?t2?1是GARCH项；?t2?1是ARCH项；

在 GARCH(1,1) 的(1,1) 表明有1阶GARCH项和1阶ARCH 项。 一个ARCH 模型是GARCH模型的特殊情况，即当条件方差的方程

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中没有条件方差的滞后项时，即：

yt?xt????t （c）

?2t?????2t?1 （d）

如果对（2）式右边进行迭代。可以有 ?2t?????2t?1???2t?1

?22t?????t?1??(????22t?2???t?2)

?2t????????222t?1?????t?2??2?t?2 …

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?t2??1??????j?1?t2?j

j?1?这说明GARCH(1,1)的条件方差是以前的所有随机干扰项平方的加

?权和与共同部分构成。

1??令?t??t2??t2,将其代入(b)得,?t??0?(?1??1)?t?1??t??1?t?1 由此可见，残差平方服从一个ARMA(1,1)过程。自回归因子的根为???，如果???接近1，则冲击是长久的。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lb55.html