大学物理习题集3-(2010)详解

1

作业12 真空中静电场的强度

12-1 关于电场强度定义式0/q F E =，下列说法中哪个是正确的？[ B ] (A) 场强E 的大小与试探电荷0q 的大小成反比． (B) 对场中某点，试探电荷受力F 与0q 的比值不因0q 而变． (C) 试探电荷受力F 的方向就是场强E 的方向． (D) 若场中某点不放试探电荷0q ，则F = 0，从而E = 0．

12-2 在电场中某点P 放入试探电荷0q ，测得电场力为F ，则该点的场强为0q F ；若放入另一试探电荷0q -，测得电场力为F ' ，则该点的场强为[ C ]． (A) 00q F q F ='； (B) 00q F q F -='； (C) 00F q F ='-；(D) 0；． (原3题变) 解：试探电荷不影响场强，但影响其自身的受力．

12-3 电子所带电量最先是由蜜立根通过油滴实验测定的．其原理是：一个很小的油滴处在匀强电场内，调节电场强度E ，是作用在油滴上的作用力与油滴

的重力平衡．如果油滴的半径为1.64 ×

10-4 cm ，油密度为0.851 × 103 kg/m 3， 平衡的电场强度为1.92 × 105 V/m ．则油滴上的电量 q = 8.02 × 10-19 C ．

解： ∑=+=0g m E q F → g R qE ρ3π3

4= → E g R q 3π43ρ= =…= 8.02 × 10-19 C 12-4 两个间距为r 的正电荷q 1与q 2 ，如图所示，在引入一个电荷q 3 后，三个

电荷处于平衡状态，则q 3位于q 1与q 2连线之 间 (填“间”或“外”)；q 3与q 1的距离为r 13

q 3的电量为q

3 (原2题) 解：取向右为正 21221012π41r q q F ε-=，21331013π41r q q F ε-=，223

32023π41r q q F ε= 而 1312F F -=，122123F F F =-=，解得：……

12-5 在正方形的两个相对的角上各放一个点电荷Q

，在其他两个相对的角上各

放一个点电荷q ，如果作用在Q 上的力为零，则Q 与q 的关系为

Q （原6题） 解：0225sin 13121=?+-=F F F x , 0225cos 13141=?+-=F F F y

02

2)2(π4π420220=--a Q a Qq εε q Q 22-= 1q 2

q r 题12-4图 F 13

2

12-6 把某一电荷分成q 与 (Q - q ) 两个部分，且此两部分相隔一定距离，如果

使这两部分有最大库仑斥力，则Q 与q 的关系为：Q =

解：20π4)(r q Q q F ε-?=

， 令 0d d =q

F

， 即 0)(1=--?q q Q ， 解得 q Q 2=

12-7 半径为R ，长度为L 的均匀带电圆柱面，其单位长度带电量为λ，在带电

圆柱的中垂面上有一点P ，它到轴线距离为r （r > R ），则P 点的电场强度

的大小：当r << L 时，E

当r >> L 时，E

（原11题）解：r <

r >>L 时，可视为点电荷，L q λ=

12-8 如图所示，一根细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆周，沿其上半部分均匀分

布有电荷q +，沿其下半部分均匀分布有电荷q -，求半圆中心O 点的场强．

(原8题) 解: 建立坐标系xOy ，相对于x 轴对称分布的正负电荷元产生的

场强的x 分量将相互抵消，y 分量相等且沿y 负向,

)π(2R q =-=-+λλ

πd 2d d d θθλλq R l q ===+++

而 20π4d d R q E ε++=

π

d 2π4120θ

εq R =

∴ ?

-=2

π0

c o s

d 2θE E ?

-=2

π0

2

02d c o s π212

θθεR q

2

π

0202sin π44???

???-=θεR q 202πR q ε-= E

向下

q

-q +R

O

题12-8图

3 12-9 用不导电的塑料棒弯成一个半径为50.0 cm ，两端间空隙为2.0 cm 的环，

电量为3.12×10-9C 的正电荷均匀分布在棒上，求环心处场强的方向和大小． （原7题）解：（补偿法），缺口带电圆环可视为在带电整圆环对应处加上电量

l q ?-='λ的带电短线，如下图示

则 O O O E E E 短线圆

+

=

∵

均匀带电圆环圆心O 处 E = 0 ，而 R l <

≈=短线 而 R

q l R q π2π2≈?-=λ ∴

930109π2π41?-=???-≈R l q E O ε= -0.715(V/m)，E 指向空隙．

12-10 电量Q ( Q > 0 ) 均匀分布在长为2L 的细棒上，在细棒的延长线上距细棒

中心O 距离为x 的P 点处放一带电量为q ( q > 0 )的点电荷，求带电细棒对该点电荷的静电力． 解：建立如图所示的坐标系，

在带电直线上取电荷元 a q d d λ=a L

Q d 2 = 它在P 点产生的电场强度的大小为

204πd d r q E ε=

2

0)(8πd a x L a Q -=ε 且各E d 均同向(向右)． ∴ ?=E E d ?--=L L a x L a Q 20)(8πd ε?=-=---=L a L a a x a x L Q 20)()(d 8πεL

a L a a x L Q =-=??????-=18π0ε ??? ??+--=L x L x L Q 118π0ε2

2014πL x Q -=ε 点电荷受力：qE F =)(4π220L x qQ -=

ε F 的方向：在带电直线延长线上，远离O 点．

题12-10图 O l q ?-='λE O → ＝ ＋ ＝

4

12-11 半径为R 的带电细圆环，线电荷密度?λλcos 0=，0λ为常数，?为半径

R 与x 轴夹角，如图所示，求圆环中心O

（原10题）

解：∵电荷相对于x 轴对称，

∴ O 点处的合场强必沿 x 轴．

取 ?λλd d d

R l q == d c o s 0??λR = 而 2

0π4

d d R q

E ε=

R 00π4d c o s

ε??λ=

∴ ??-===)c o s (d d ?

E E E E x x ??ελd c o s π42

00π

20R ?-= ?+-=π2000d )2cos 1(π8??ελR R 00

4ελ-= E

沿 x 轴负方向

12-12 在一个很大的均匀带电（面电荷密度为

σ0）平面的中部开一个半径为R 的小圆孔，求通过小圆孔中心O 并与平面垂直的直线上P 点的电场强度． (原18题)

解: 【不要用补偿法！】

以O 点为原点，取x 轴垂直于带电平面， 并在带电平面上取极坐标系，如图所示．

则面元 θd d d r r S = ∴ θσd d d 0r r q = 20π4d d l q E ε=

)

(π4d d 2200x r r r +=εθ

σ

由对称性可知: 0==z y E E ∴ ?

==?cos d E E E x

?

?

∞

+?+=

π

20

222200)(π4d d R

x r x

x r r

r εσθ

?

∞

=++=

R

r x r x r d x 2

322

220

)

()(4εσ2

2

00

2R

x x +=

εσ

E

沿 x 轴背离平面

题12-11图

5 12-13 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：[ D ] (A) 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷． (B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零． (C) 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷．

(D) 如果高斯面内净电荷不为零，则通过高斯面的电通量必不为零． (E) 高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场．

12-14 如图所示，闭合曲面S 内有一点电荷q ，P 为S 面上一点，在S 面外A

点有一点电荷q '，若将q '移至B 点，则 [ B ] (A) 穿过S 面的电通量改变，P 点的电场强度不变； (B) 穿过S 面的电通量不变，P 点的电场强度改变；

(C) 穿过S 面的电通量和P 点的电场强度都不变； (D) 穿过S 面的电通量和P 点的电场强度都改变．

解：穿过闭合曲面的电通量与面外电荷无关，P 点的电场强度由内外电荷决定.

12-15 有两个点电荷电量都是 +q 相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，

以a 为半径，作一球形高斯面．在球面上取两块相等的小面积S 1、S 2．其位置如图所示．设通过S 1、S 2的电场强度通量分别为1Φ、2Φ，通过整个球面的电场强度通量为3Φ，则

(A)

21ΦΦ>，

03εΦq =(B) 21ΦΦ<，032Φq =(C) 21ΦΦ=，03εΦq =(D) 21ΦΦ<，0

3εΦq =(原13题)

12-16 ⑴ 点电荷q 位于边长为a 的立方体中心，通过此立方体的每一面的电通

量各是多少？⑵ 若电荷移至立方体的一个顶点上，通过每个面的电通量又各是多少？

(原14题) 解: ⑴∵6个全等的正方形组成一个封闭面，∴ 016εΦq =

⑵ 该顶点可视为边长等于2a 的大立方体的中心，

通过每个大面的电通量为 0εq

∴对于小立方体而言，不过该顶点的三个小面上的电通

量为：002416141εεΦq q =?=

而通过该顶点的另三个小面的电通量为='Φ0.

q 'B 题12-14图

6

12-17 半径 R 的球形带电体，体电荷密度为)( 3R r Ar ≤=ρ（A 为常数），

总带电量为Q ，求球内外各点的场强分布．

解：∵ 电荷分布呈球对称性，∴ E

分布也球对称， 即：r e E r

//?//，且 同一球面上各点E 相等． 作半径 r 的同心球面为高斯面 S ，则：

S E S

d e ?=?ΦS E S

d cos ??=?θ?=S

S E d 2 π4r E ?=

由高斯定理 0

e d εΦ内

S S

q S E =?=?

⑴ 当 r ≤R 时，??==内内

内V S q

S V q q d d ρ，而 r r V d π4d 2 =(薄球壳层体积元)

∴

60502 π3

2d π4d π4Ar r Ar r r q r

r S ===??ρ内

∴ 062132ππ4 εAr r E =? 0416εAr E =

E 1= ⑵ 当 r > R 时， Q q S

=内 )π3

2(6 AR =

∴ 22 π4r E ?0

εQ

=

2

02π4r

Q

E ε=

E 02

12-18 半径 R 的无限长圆柱形带电体，体电荷密度为)( 3R r Ar ≤=ρ（A 为常

数），求圆柱体内外各点的场强分布．

解：∵电荷分布具∞长轴对称性，∴E

分布也具∞长轴对称性．作

半径r 高L 的同轴封闭圆柱面为高斯面，则

S E S

d ??S E S E S S d 0cos d 90cos ?+?=??侧底?+=侧

S S E d 0rL E π2?= 由高斯定理 0

e d εΦ内S S

q

S E =?=?

⑴ 当 0 < r < R （在圆柱体内）时，

内S q 1?=r

r r L 0d π2 ρ?=r

r r L Ar 03d π2 ?=r

r r LA 04d π25 π5

2

LAr = ∴50

1 π52π2LAr rL E ε=

4

15εAr E =

r

e Ar E ?504

1ε= ⑵当R r ≥（在圆柱体外）时，

?=R S r r L q 02d π2 ρ内?=R

r r L Ar 03d π2 5 π52LAR =

∴ 5

02 π52π2LAR rL E ε= r AR E 0525ε=

r e r AR E ?50

52ε= 横截面

7

12-19 如图所示，在半导体pn 结附近总是堆积着正、负电荷，n 区内是正电荷，

p 区内是负电荷，两区内的电量相等．把pn 结看做一对带正、负电荷“无限大”平板，它们相互接触．x 轴方向垂直于板面，原点取在pn 结的交接面上．n 区的范围是 –x n ≤ x ≤0；p 区的范围是0 ≤ x ≤x p ．设两区内电荷分布都是均匀的，它们的体电荷密度分别为，n 区：e N D =ρ，p 区：e N A -=ρ，这种分布称为实变形模型，其中N D 和N A 都是正的常数，且有x n N D = x p N A (两区内的电荷数量相等)．

⑴ 求电场强度分布；

⑵ 画出)(x ρ和)(x E 随x 的变化曲线．

解： ⑴ 解法一：叠加法：将带电区域分割成厚度为d x 的“无限大”薄平板，它在空间产生的电场强度的大小为 )2d d 0ερx E =，薄板带正电时，E

d 垂直于薄板向外；薄平板带负电时，E d 垂直于薄平板向内． 在n 区（– x n ≤x ≤0）内任意一点的电场强度为：

=

)(x E x e N x e N x e N x x D x

x d 2d 2d 2p n 00A 000D ???+--εεεp 0

A n 0D 0D 2222x e N x e N x e N εεε++= ∵ x n N D = x p N A ，∴ =)(x E ())(n 0D x x e N +ε E

向右； 在p 区（0≤ x ≤ x p ）内任意一点的电场强度为：

=

)(x E x e N x e N x e

N x x x x

d 2d 2d 2p n

A 00A 0

0D ???+--εεε())(p 0A x x e N += E 向右 在n 左区（x ≤ – x n ）内任意一点的电场强度为： =)(x E x e N x e N x x

D d 2d 2p n

00A 0

0??+--εεp 0

A n 0D 22x e

N x e N εε+-== 0 在p 右区（x ≥ x p ）内 同理有 =)(x E 0 ⑵)(x ρ和)(x E 随x 的变化曲线见图．

解法二：运用高斯定理 0e d Φ内S S q S E =?=?

∵ pn 结可视为一对带等量正、负电荷的“无限大”平板，∴各处E

// x 轴． 作一个两底均在pn 结之外的封闭柱面为高斯面S 1，

∵01=内S q ，由高斯定理，0e =Φ，而S 1外左右侧无电荷分布， ∴无电力线穿过S 1，即pn 结之外

E (x ) = 0 .

另作两个高斯面S 2和S 3（见如图），

在n 区内：0D )()(d e SN x x S x E S E n S +==??

得 =)(x E ())(n 0D x x e N +ε，E 向右 在p 区内：同理有=)(x E ())(p

A

x x e N -，E 向右

题12-19图

8 *12-20 氢原子是一个中心带正电的电量为e 的原子核（可视为点电荷），核外

是带负电的电子云，在正常状态时，电子云的电荷分布密度是球对称的：

)2exp(π030

r a a e --=ρ 式中a 0为常数（玻尔半径）．试求原子电场强度大小的分布．

【 数学公式：??--=u au u a n a au u u au u n n n

d )exp()exp(d )exp(1 C au a au u au u +-=?)1()exp(d )exp(2

】 解：∵ 电荷分布呈球对称性，∴ E 分布也球对称．以原子核为球心，作半径 r

的球形高斯面 S ． 由高斯定理 ∑?=?=内

S S q S E 0e 1d εΦ 令高斯面内包围的电子云的电量为q '，则

?='V V r q d )(ρ)2exp(d π4π00230r a r r a e r

-??-=?r r a r a e r d )2exp(400230-?-=? ??

????-+---=?r r a r a r a r a a e r d )2exp()2exp(2400002030 r r a r a a a r a r a a e 0

0020002030)2exp()12()2()2exp(24??????----+---= r

r a r a a r a r a a e 0003002030)2exp()12(4)2exp(24??????---+---= e r a r a r a e --??

????++?=)2exp()12200220 于是 q e q S '+=∑内)2e x p ()12200220r a r a r a e -??

????++?= 而 E r S E S ?=??2π4d

∴ )2exp()122π40022020r a r a r a r e

E -??????++=ε

9

作业14 静电场中的导体

14-1 当一个带电导体达到静电平衡时, [ D ]

(A) 表面上电荷密度较大处电势较高．

(B) 表面曲率较大处电势较高．

(C) 导体内部的电势比导体表面的电势高．

(D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零．

14-2 两个同心薄金属球壳，半径分别为1R 和2R （1R <2R ）,若分别带上电量1

q 和2q 的电荷，则两者的电势分别为1U 和2U （选无穷远处为电势零点）．现用导线将两球壳连接，则它们的电势为 [ B ]

(A) 1U (B) 2U (C) 21U U + (D) )(2

121U U + 解：用导线将两球壳连接前后电荷分布如图所示，由高斯定理易知，两种情况下

外球壳以外空间的电场强度不变，均为 r e R q q E E ?π42202122ε+='= ，∴2222d d 22U l E l E U R R =?=?'='??∞∞ 14-3 一任意形状的带电导体，其面电荷密度分布为),,(z y x σ，则在导体表面外

附近任意点处的电场强度的大小),,(z y x E

，其方向______垂直于导体表面________．

14-4 假定从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为R 的导体球带电．当球已带

有电荷q 时，再将一个电荷元d q 从无穷远处移到球上的过程中，外力作功 =外A d

使球上电荷从零开始增加Q 的过程中，外力共作功

外A 原2题

14-5 两个带电量分别为 +q 、-q 的两金属球，半径为R ，两球心的距离为d ，

且d > 2R 其间的作用力设为f 1，另有两个带电量相等的点电荷+q 、-q ，相距也是 d ，其间作用力设为f 2，可以肯定f 1 > f 2 ( 填< , > 或 = )． 原3题

2q 2

q

10 14-6 在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A 内，放有一带电量为 +Q

的带电导体B ，如图所示．则比较空腔导体A 的电势U A

和导体B 的电势U B 时，可得以下结论：［ C ］ (A) U A ＝U B ； (B) U A ＞U B ； (C) U A ＜U B ；

(D) 因空腔形状不是球形，两者无法比较． 解：空腔内表面因感应而带电 -Q ，

电力线始于正电荷，指向电势降落的方向．

14-7 如图所示，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距

离为d 处 ( d < R )，固定一电量为 +q 的点电荷．用导线把球壳接地后，再把地线撤除．选无穷远处为零电势点，求球心O 处的电势．

原4题

解： 接地后，球壳上U 壳 = 0，球壳带电 -q , 且都分布于内表面. 于是球外 E = 0 ，地线撤去仍不变. 无球壳存在时 d

q U Oq 0π4ε= 无 +q 存在，但球壳带电 -q 时 ?

=-q O R q U 00π4d ε球R q 0π4ε-= （各d q 距O 均为R ） 运用叠加原理可求得 O 的电势为 ??

? ??-=R d q U O 11π40ε

14-8 在盖革计数器中有一半径为a 的金属圆筒，在园筒轴线上有一条半径为 b

（a ＞b ）的导线，如果在导体与园筒之间加上U 的电压，分别求出金属圆筒内表面处以及导线表面处的电场强度的大小．

（原5-5题）

解：设导线与圆筒单位长度带电分别为 λ 和 -λ．

??=b a l E U d ?=b a r E d ?

=b a r r d π2 0ελb a ln π20ελ= ∴ ()b a U ln π20=ελ ∴ r E 0

π2ελ=()b a r U ln = ()a a U E ln =

筒内面 ()b a b U E ln =线外表

题14-6图

11 14-9 一个接地导体球，半径为R ，原来不带电，今将一点电荷q 放在球外距球

心距离为r 的地方，求球上的感应电荷总量．

原9题 解：∵导体球接地，∴ 0=球U 感应电荷将不均匀的分布于球面上，设总量为Q

单看感应电荷在球心 O 点的电势为 ??== 01π4d d q q R q U U εR

Q 0π4ε= 单看点电荷 q 在球心 O 点的电势为 r q U 02π4ε=

叠加： 0π4π400=+r

q R Q εε ∴ q r R

Q -=

14-10 两块“无限大”平行导体板，相距为2d ，且都与地连接，如图所示．两板

间充满正离子气体（与导体板绝缘），离子数密度为n ，每一离子的带电量为q ．如果气体中的极化现象不计，可以认为电场分布相对中心平面OO 是对称的，求空间的场强分布和电势分布．

解：导体板因感应而带负电荷，由对称性，场强均垂直并指向导体板，如图取x 轴向上为正，原点取在

OO 平面上，对称于OO 面取底面积为底S ，高为 |2x | 的柱形高斯面，

由高斯定理 0d ε∑?=?内q S E S 有 02ε∑=?内底q S E

当d x <时，nq xS q 底内2=∑ ? x nq E )(0= 当d x >时，nq xS q 底内2=∑，? 0=E

∴空间的场强分布为 ()()??

???>=<=时时 0 ?)(0d x E d x i x nq E ε 电势分布 ??=0d P x r E U ?±?=d x x E d ()

2202x d nq -=ε （d x <时） 0=U （d x >时）

题14-9图

12 14-11 如图所示，将半径分别为R 1、R 2（R 1< R 2）的两根很长的共轴金属筒分别

连接到直流电源的两极上，今使一电子以速率υ沿半径为r (R 1< r < R 2)的圆周运动，电源电压为多大？（电子质量为m ，电子电荷为e ）

（原6题）

解: ∵ 向心力＝电场力 即 eE r m F ==2υ ? er m E 2υ= ??=∴21d R R l E U ?=21d R R r E ?

=21d 2R R r er m υ122ln R R e m υ= 【注意： U ≠Ed 】

14-12 如图所示，有三块互相平行的导体板，外面的两块用导线连接，原来不

带电，中间一块上所带总面电荷密度为σ0，求每块板的两个表面的面电荷密度各是多少？ 原10题 解: 设自上而下各表面的面电荷密度分别为： σ1、σ2、σ3、σ4、σ5、σ6 ，则 06521=+++σσσσ ①

043σσσ=+ ② 取场强向上为正，则 02)(0654321=+++++-=εσσσσσσA E ③ 02)(0654321=+++---=εσσσσσσB E ④ 02)(0654321=+-----=εσσσσσσC E ⑤

∵ A 、C 相连，为等势体， ∴CB AB U U =

即 r E r E B C

B A d d ?=??? ? r E r E B

C BC B

A A

B d 0cos d πcos ??= ? CB AB E E 2=- ?065432106543212)(22)(εσσσσσσεσσσσσσ++----=++++---⑥ 解得: 2061σσσ==， 2032σσσ-=-=， 3054σσσ=-= 题14-11图

d 题14-12图 d

13

作业16 稳恒电流的磁场(1)

—— 真空中的磁场

16-1 一长直载流导线，沿空间直角坐标Oy 轴放置，电流沿y 正向．在原点O

处取一电流元l I d ，则电流元在（a ，0，0）点处的磁感应强度的大小为

，方向为________平行z 轴负方向_________．

16-2 如图所示，电流I 沿三种不同形状的导线流动，求各种情况下O 点处的磁

感应强度大小． （原1，9，10题合并）

解：型载流导线的磁场公式 π

220?μ?=R I B 弧心， R I B 20μ=圆心 )cos (cos π4210θθμ-=r I

B 直， r I

B π20μ=∞长， r I

B π40μ=∞长半

B 取向内为正

⑴ 长直圆心B B B O -=R I R I π2200μμ-=

)1π(π20-=R I μ ⑵ 各段电流在O 点产生的B 均向内

半圆心半长直B B B O +=2π2π2π4200?+=R I R I μμπ)2(π40+=R I μ ⑶ 由 B 直 公式知：直线电流延长线上 B = 0，（∵021==θθ或π21==θθ）

∵ O 点处，弧B 与DE B 均向内

∴ DE O B B B +=弧)4π3cos 4π(cos π4412 00--?=r I R I μμ )2

121(2 π4800++=R I R I μμ)4π(π80+=R I μ

题16-2图

⑴

⑵ ⑶

14

16-3 载流的圆形线圈（半径R ）与正方形线圈（边长a ）通有相同电流I ．若两

个线圈的中心O 1、O 2处的磁感应强度大小相同，则半径R 与边长a 之比R ∶a 为 [ D ] (A) 1∶1 (B)

π2 ∶1 (C) π2 ∶4 (D)

π2 ∶8

解：

)135cos 45(cos )

2(π4200?-?=

a I

R

I

μμ 解得

8

π

2=a R

16-4 载有电流I 的导线由两根半无限长直导线和

半径为R 的，以xyz 坐标系原点O 为中心的3/4圆弧组成，圆弧在yOz 平面内，两根半无限长直导线分别在xOy 平面和xOz 平面内且与x 轴平行，电流流向如图所示．O 点的磁感应强度 =B

解：k R

I B ?π40μ-=入 ， i R I B ?4320?-=μ弧 ， j R I

B ?π40μ-=出

()

?2?2?π3π8 0k

j i R

I B ++-=μ

16-5 有一边为a 电阻均匀分布的正三角形金属框CDE ，与电源相连的长直导

线1和2彼此平行并分别与金属框在C 点和D 点相接，导线1和金属框的EC 边的延长线重合．导线1和2上的电流为I ，如图所示．令长直导线1、2

和金属框在框中心O 点产生的磁感应强度分别为1B 、2B 和3B

，O 点的总磁

感应强度为B

，则应有 [ C ] (A)

B ＝0，因为B 1＝B 2＝B 3＝0；

(B)

B ＝0，因为虽然B 3≠0，但0321=++B B B

(C) B ≠0，因为虽然B 3＝0，但021≠+

B B ； (D) B ≠0，因为虽然021=+B B

，但B 3≠0．

解：∵导线1和2相对于O 点不对称，∴021≠+B B

． O 点到△各边距离 3

2323L L r ==；∵电阻CD CED R R 2=，∴ 2I I '=''

取B 向外为正，则 CD ED CE B B B B -+=3)6

π

5c o s 6π)(c o s ( π20-''-''-'=I I I r μ= 0

图

I

题16-5图 题16-4图

16-6 电流由长直导线1沿半径方向经a 点流入一电阻均匀分布的圆环，再由b

点沿半径方向从圆环流出，经长直导线2返回电源（如图所示）．已知直导线上电流强度为I ，求圆心O 点的磁感应强度．（原6解：∵O 点导线

1和2的延长线上，∴B 1 = B 2 = 0

设两导线夹角φ，环的半径r ，电阻率 ρ，横截面积S ，则

S r R ?ρ ='， S r R )

π2( ?ρ-=''，并联 π2)

π2( ??ρ-=S r R I R IR I π2π2 ?-='='∴， I R IR I π

2 ?=''=''∴ π220?μ?'='r I B ()r I 20π8π2??μ-=，π2π220?μ-?''=''r I B ()r

I 20π8π2??μ-= B '向外，B '' 向里， ∴ 03=''+'=B B B ∴B B B B O ''+'+= 环= 0

16-7 用同样的几根导线连接成立方体框架，如图所示，

在一对角线相连的两顶点A 及C 上各连接一长直导线，两长直导线均在对角线AC 的延长线上，两长直

导线的远端与电源相连，总电流为I ，求立方体中心O 点的磁感应强度．

（原11题变） 解：∵O 点导线1和2的延长线上，∴B 1 = B 2 = 0

在立方体中： ∵ 过A 或 点的6条边上的电流均为 I / 3，

而不过A 或C 点的6条边上的电流均为 I / 6，

∴以O 点为对称中心的一对边上通过的电流总是大小相等、方向相同的，则它们在O 点产生的磁感应强度大小相等、方向相反 ∴最终O 点处磁感应强度 O B = 0

16-8 已知两长直导线C 、D 通有电流 I C = 1A ，I D = 2A ，电流流向和放置如图所示，设I C 、I D 在P 点产生的磁

感应强度大小分别为B C 、B D ，则它们的比值B C :B D =__1:1___，此时P 点处B 与x 轴的夹角为 30° ． （原14题）解：

题16-6图 题16-7图 I I 题16-8图 I I

16

16-9 如图所示，半径为R ，电荷线密度为 λ（λ > 0）的均匀带电的圆线圈绕过

圆心与圆平面垂直的轴以角速度ω 转动，求轴线上任意一点的磁感应强度B

. （原17题）解： 取l q d d λ=θλd R =

则 t q

I d d =

t

R d d θλ=R λω= 2

0 π490sin d d r

l I B ?

=

μ2

0 π4d r

l

R ωλμ=

由对称性 0d ==?⊥⊥B B

∴ ?==////d B B B ?=?s i n d B ??=R

r R

r

l R π20

2

0 π4d ωλμ ?=

R

l r R π20

3

20d π4ω

λμ3

302r R ω

λμ=

2

32230)(2R x R +=

ω

λμ B

向上．

16-10 有一闭合回路由两个半径为a 和b 的同心共面半圆连接而成，如图所示，

其上均匀分布线密度为 λ 的电荷，回路以角速度 ω 转动，求圆心O 点处的

磁感应强度O B ．（原18题图变） 解：∵电流定义为 1 秒钟内通过某截面的电荷量， ∴ 等效圆形(平均)电流 T q

I a =a π2πλω=ωλa 21=， 同理 ωλa I b 2

1= ∴a

I B a

a 20μ=

4

0λω

μ=

， 同理4

0λω

μ=

b B

a B 和

b B

均垂直向外

而两直线段上元电荷d q 旋转形成等效圆形(平均)电流 T

q

I r d 2

d =r d 2π2λω=r d πλω= ∴r

I B r

r 2d d 0μ=

r

r

π2d 0λωμ=

, 所有的B

d 垂直向外

则 ?=r r B B d ?=

b

a r

r d π

20λω

μa b ln π

20λω

μ=

∴ O 点处总磁感应强度的大小：r b a B B B B ++=)ln π(π

20a b +=λω

μ

B

方向：垂直向外

题16-10图

题16-9图

d l

17 16-11 将半径为R 的无限长导体薄壁管（厚度忽略）沿轴向割去宽度为h 的 ( h

<< R ) 的无限长狭缝后，再沿轴向通以均匀的电流，其电流面密度为i ，如图所示，求管轴线上一点的磁感应强度．

（原8题）

解：(用补偿法：用一窄条补齐圆管)

则 余窄条圆管心B B B += 由∞长轴对称性，或安培环路定律得 0=圆管心B

∴ 窄条余B B B -==

∴ B 大小 窄条余B B B ==R h i π2 0μ=， B 方向：向右

16-12 取一闭合回路L ，使三根截流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线

之间的相互间隔，但不越出积分回路，则 [ B ] (A) 回路L 内的∑i I 不变，L 上各点的B 不变； (B) 回路L 内的∑i I 不变，L 上各点的B 改变； (C) 回路L 内的∑i I 改变，L 上各点的B 不变； (D) 回路L 内的∑i I 改变，L 上各点的B 改变；

16-13 一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I ．若作一个半

径为R = 5a 、高为l 的高斯面，已知此柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距 3a (如图)．则B 在高斯面的

上下两个底面上的积分??底S S B d ＝____0____；在 侧面S 上的积分 ??侧S S B d ＝____0____．

解：磁力线是围绕着长直载流导线轴的一系列同心圆环

由磁场的高斯定理有 0d d d =?+?=????底侧S S S B S B S B S 而在两底面上 S B d ⊥， ∴ 0d =??底S S B ∴ 0d =??侧S S B

16-14 一长直螺线管是由直径d = 0.2 mm 的漆包线密绕而成．当它通以I = 0.5 A

的电流时，其内部的磁感应强度大小B ＝_____π × 10-3 __ T ．（忽略绝缘层厚度）(μ0 = 4π ×10-7 N/A 2 )

解：nI B 0μ=∞

题16-11图

题16-13图

18 16-15 有一很长的载流导体直圆管，内半径为a ，外半径为b ，

电流强度为I ，电流沿轴线方向流动，并且均匀地分布在

管壁的横截面上．空间某一点到管轴的垂直距离为r ，求

r < a ，a < r < b 及 r > b 等各区间的磁感应强度．

解：取半径为r 的安培环路，根据 ?∑=?I l d B 0μ 有

∑=?I r B 02μπ 即 r I B πμ20?=

∑ 对于 a r < ∑=0I ∴ 0=B

b r a << ∑-?-=)()(2222a r a b I I ππ ∴ )

(2)(22220a b r a r I B --=πμ b r >

∑=I I ∴ r

I B πμ20=

16-16 一根很长的铜导线载有电流10 A ，在导线内部作一平面S ，如图所示，

试计算通过S 平面的磁通量（沿导线方向取长为1 m 的一段作计算）铜的磁导率0μμ≈．

（原16题）

解：以轴为中心作半径 r 的圆环，则环上 r I B π20内μ= 当 0＜r ＜R 时： I R

r I 22=内， r R I B 20π2μ=，B 沿环的切向. S B d d m ?=ΦS B d =r B d 1??=r B d =

m m d ΦΦ?=?=R r B 0d ?=R r R Ir 020d π2μI π40μ=

10107?=-6100.1-?=(wb)

题16-15图

19

作业18 电磁感应

18-1 如图，一导体棒 在均匀磁场中沿金属导轨向右作匀加速运动，磁场方向垂直导轨所在平面．若导轨电阻忽略不计，并设铁芯磁导率为常数，则达到稳定后在电容器的 M 极板上［ B

(A)带有一定量的正电荷； (B)带有一定量的负电荷； (C) 带有越来越多的正电荷； (D) 带有越来越多的负电荷. 解：∵ab 作匀加速运动， ∴右线圈电流↑

，∴铁芯中B ↑

， ∴左线圈中产生电流，由M 到N 阻碍B

↑

，直到 U NM = 左

时，达到稳定.

18-2

矩形区域为均匀稳恒磁场，半圆形闭合导线回路在纸

面内绕轴O 作逆时针方向匀角速转动，O 点是圆心且恰好落在磁场的边缘上，半圆形闭合导线完全在磁场外时开

始计时．图(A)-(D)的-t 函数图象中哪一条属于半圆形导

线回路中产生的感应电动势？ ［ A ］

解：t ωθ=θ'+=π2k 在Ⅰ、Ⅱ象限时，m Φ↑， 逆时针(取正)；

π) π2(2π 2m k t R B -=ωΦ，∴ 2

2 R B ω= t ωθ=在Ⅲ、Ⅳ象限时，m Φ↓，

顺时针(取负)； 随回路的转动周期变化.

18-3 如图所示，一导线构成一正方形线圈然后对折，并使其平面垂直置于均匀磁场B ．当线圈的一半不动，另一半以角速度ω张开时（线圈边长为2l ）， 线圈中感应电动势的大小 ． （设此时的张角为θ，见图）

解：只考虑运动的一半线圈t B l cos 22m ωΦ=

||t d d m Φ

-=t B l sin 22ωω=θωsin 2 2B l =

题18-2图 题18-2图 × × × × × × × × × × × × × × × B 题18-3图

20 18-4 一导线被弯成如图所示形状，acb 为半径为R 的四分之三圆弧，直线段Oa 长为R ．若此导线放在匀强磁场B 中，B 的方向垂直图面向内．导线以角

速度ω在图面内绕O 点匀速转动，则此导线中的动生 电动势

i

，电势最高的点是_O _点. 解： l B b O d )(i ??=?υl r r B b O d ?-=?υl r B b O d ?-=?ω r r B b O d ?-=ω22Ob B ω-=])2[(22R R B +-=ω 252R B ω-=——等效于直杆Ob 的转动．

18-5 如图所示，铜棒

AC

速度 ω 转动，求AC 棒上总的感应电动势．(原10解： OA ?

=A O d r B l d )(20??=?υr r B l d 20ω?=2 92l B ω= CO ?=O C d r B l d )(310??'=?υr r B l d 310ω?-=2 181l B ω-= ∴ CA = CO + OA 2 61l B ω== ω 顺时针时，

CA 由 C 指向A （即：A 点电势高）

18-6 如图所示，一半径为R 的水平导体圆盘，在竖直向上的磁场B 中以角速度

ω 绕通过圆盘中心的轴线转动，圆盘的轴线与磁场B 平行，求：⑴ 盘边与盘心的电势差；⑵ 盘边与盘心的电势哪个

高？⑶ 当盘反转时，它们电势的高低如何？(原7题)

解：⑴ 盘边与盘心间的电势差就是盘上沿半径方向的感应电

动势，可以认为它是沿任意半径的一导体杆在磁场中绕一

端转动的结果，而半径上线元 d r 将产生 d r B d )(??=υr B d υ=r r B d ω=

∴ 总的 ?=d ?=R

r r B 0d ω2 2

1R B ω= ⑵ ∵r B d //)(?υ，∴ 径向向外, 盘边电势高． ⑶∵r B

d //)(-?υ，∴ 大小不变，径向向内，盘心电势高． 题18-4图 ×× ×× ×× ×× ×× B → ω A C 题18-6图

21 18-7 如图所示，半径为R= 8 cm 的圆柱形空间内有一均匀磁场B ，以每秒10-2

的速率减小，在该磁场空间中，离轴线O 分别为r 1 = 5 cm 处的A 点以及r 2 = 10 cm 处的C 点各有一个由静止状态释放的电子，求：两电子在释放时刻的加速度．（m e = 9.1×10-31 kg ，e =1.6×10-19 C ）

(原6、9题合并)

解：∵ B ∥轴，均匀分布，且减小， ∴i E 线为一系列顺时针同轴圆环． ∴ 作半径为 r 的同轴圆形环路，取顺时针为正，

则 t

r E L d d d m i Φ-=?? ?t r E d d π2m i Φ-=??t r E d d π21m i Φ-= 当 r < R 时，B r BS 2m π0cos =?=Φ ? t

B r E d d 2i -=内 当 r > R 时，B R 2m π=Φ ? t

B r rR E d d 22i -=外 ∵ 0d /d

电子初速度为0时，初始时刻电子只受电场力的作用，

电场力e e i e a m E e F =-=，

∴电子加速度 e e e m F a a == 沿均逆时针切向．

大小： e i m eE a 内内=t

B m er d d 2e =， e i m eE a 外外=t B r m eR d d 2e 2= ∴ t

B m er a A d d 2e 1==…= 4.40×107 (m/s 2)， t

B r m eR a

C d d 22e 2==…= 5.63×107 (m/s 2) A a 和C a 均逆时针切向．

题18-7图

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lb0e.html