湍流模化理论

3.1 湍流模化理论分析

流体力学中常用控制体的方法研究物理系统，则对一给定控制系统，其随流物理量（如动量）Φ满足雷诺输运方程，即：

d??????dv??cs??V?ndA ??cv?tdt??Φ取动量（mv）时的雷诺输运方程就变为动量方程。而针对微元控制体时，动量方程就转化为了微分形式的动量方程即N-S方程，对X方向有：

dVx???2Vx?2Vx?2Vx??V?n ???X???(2??)?dt?x?x?y2?z23?x当系统内的流动为湍流时，由于湍流流动的物理量随时间不断变化，遂采用雷诺时均方法进行研究，将瞬时变量表示成时均量和脉动量的和，即??????。

将此式代入X方向的N-S方程，对于不可压湍流流动，化简得：

??dVx???2Vx?2Vx?2Vx?-?Vx'Vx'?-?VxVy?-?Vx'Vz'???X???(2??)???dt?x?x?y2?z2?x?y?z由此可见，当采用雷诺时均方法研究时，方程中多了三项由于湍流脉动而引起的

???''???附加应力，称为雷诺应力。因此必须对多出的雷诺应力进行模拟，即对??ui?u?j进行模拟。而Boussinesq基于涡粘系数各向同性假设认为雷诺应力与平均速度梯度成正比。即：

??ui?uj????uiuj??t????x?j?xi?2???k?ij?3?。

k-ε湍流模型即是在Boussinesq假设的基础上发展出来的，有标准k-ε湍流模型、RNG k-ε湍流模型和Realizable k-ε湍流模型三种。 3.1.1 标准k-ε湍流模型

标准k-ε模型由湍动能k方程及湍流耗散率ε方程组成。湍动能输运方程是通过精确的方程推导得到，但耗散率方程是由经验公式得到的。该模型假设流动为完全湍流，分子粘性的影响可以忽略。因此，标准k-ε模型只适合模拟完全湍流的流动过程。

标准k-ε模型的湍动能k和耗散率ε方程为如下形式：

??tDk????????Dt?xi???k???k????x??Gk?Gb????YM?Sk ?i???????2???x??C1?k(Gk?C3?Gb)?C2??k?S? ?i?Gb?tD??????????Dt?xi?????在上述方程中，

Gk表示由于平均速度梯度引起的湍动能产生，是用于浮

力影响引起的湍动能产生；YM可压缩湍流脉动膨胀对总的耗散率的影响；?k和

??是k方程和e方程的湍流Prandtl数，Sk、S?是用户定义的源项。湍流粘性系

数

?t??C?k2?，C?是常数。方程中的常数C1?、C2?、C?都是经验常数。

3.1.2 RNG k-ε湍流模型

RNG k-ε模型是用重整化群的数学方法推导出来的模型。其k方程与标准k-ε模型相同，只是模型常数不同，ε方程与标准k-ε模型具有相同的形式，其ε方程如下：

?tD???????? ??Dt?xi?????*其中， C2??C2????????2????x??C1?k(Gk?C3?Gb)?C2??k?R?S? ?i?C???3(1??/?0)1???3 ，??Sk/?

RNG k-ε模型通过修正湍流粘性系数来考虑了旋流影响。湍流粘性的修正形

?t??t0f(?s,?,)?，其中，?t0是不考虑有旋计算出来的湍流粘性系数；式为：

Ω是FLUENT计算出来的特征旋流数；

k?s是旋流常数，不同值表示有旋流动的

强度不同。因而，RNG模型相比于标准k-ε模型对瞬变流和流线弯曲的影响能作出更好的反应。

3.1.3 Realizable k-ε湍流模型

Realizable k-ε模型的k方程也与标准k-ε模型相同，其ε方程如下：

D????Dt?xj???t??????t????????2????CS???C?CC3?Gb?S? 121???x?kk?????j????C1?max?0.43,???5??，??Sk/?。 其中，

湍流粘性系数计算公式为?t??C?k2?，这和标准κ-ε模型相同。只是这里的

C?不再是个常数，而是通过如下公式计算：

C??1A0?AsU*K ，U*是平均应变率和旋度的函数。该模型适合的流动类型比

?较广泛，包括有旋均匀剪切流，自由流（射流和混合层），管道和边界层流动。

由以上方程可以看出，三个模型有相同的κ方程，相似的ε方程，它们的区别在于：1、计算湍流粘性的方法不同；2、控制湍流扩散的湍流Prandtl数和模型常数不同。因此三个模型适用的流场不同。 3.1.4 标准k-w湍流模型

标准k-w模型是由k方程和w方程组成的两方程模型，与标准k-ε模型一样，也是一种经验模型，k与标准k-ε模型中的k一样都代表湍流动能，w代表湍流耗散的比率。标准k-w模型的模型方程如下：

???k?????kui????t?xi?xj???????t???k????k???x?j???Gk?Yk?Sk ?????w?????wui????t?xi?xj?????????t??w??Gw?Yw?Sw ????w???xj???其中Gk是层流速度梯度而产生的湍流动能，Yk和Yw是由于扩散产生的湍流，Sk和Sw是源项。 而湍流粘性?t??*?kwk-w模型与标准k-e模型形式相似，但标准k-w模型方程中不包含浮力产生的湍流项，而对湍流粘性进行了低雷诺数修正。 3.1.5 SST k-w湍流模型

，?*对湍流粘性进行低雷诺数修正。由方程可看出，标准

SST k-w模型是在标准k-ε模型和标准k-w模型的基础上发展出来的，其k方程与标准k-w模型的模型方程相同，只是模型中各项具体表达式不完全一致，

w方程如下：

???w?????wui????t?xi?xj?????????t??w??Gw?Yw?Dw?Sw ????w???xj???其中Dw代表正交发散项，Dw是在标准k-e模型和标准k-w模型的基础上综合考虑得到的，其方程式中包含k、w的变化梯度，其他与标准k-w模型意义相同。 其湍流粘性系数?t??k1。SST k-w模型更适合对流减压区的计算，由

w?1?F2???*,aw?1??于它也考虑了正交发散项，因而在近壁面及远壁面都适合。

由于防火试验中流场结构复杂，包含充分发展的管内流动、经过静子叶片后的旋流、包含逆压梯度的扩张流动和从扩张锥喷出后的自由射流，因此本文选择RNG k-ε湍流模型、Realizable k-ε湍流模型和SST k-w湍流模型进行研究。

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