2018北京各区初三数学一模试题分类——新定义问题(含28题)

新定义问题

1.（18海淀一模8）如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y.定义(x,y)为这个矩形的

坐标. 如图2，在平面直角坐标系中，直线x?1,y?3将第一象限划分成4个区域. 已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中.

y① 3④ x21② ③ O1x

图1 图2

则下面叙述中正确的是（ ）

A. 点A的横坐标有可能大于3

B. 矩形1是正方形时，点A位于区域②

C. 当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小 D. 当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等

2.（18海淀一模15）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．

MB阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组A成圆的折弦，AB?BC，M是弧ABC的中FC点，MF?AB于F，则AF?FB?BC．

A如图2，△ABC中，?ABC?60?，DAB?8，BC?6，D是AB上一点，BD?1，

C作DE?AB交△ABC的外接圆于E，连接

图1图2EA，则?EAC=________°．

EB3.（18平谷一模28）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为?x1,y1?，点N的坐标为?x2,y2?，

且x1?x2，y1?y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.

（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为_______； （2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线

CD 表达式；

（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为(3，m) .若在⊙O上存在一点Q ，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．

2. （18延庆一模28）平面直角坐标系xOy中，点A(x1，y1)与B(x2，y2)，如果满足x1?x2?0，

y1?y2?0，其中x1?x2，则称点A与点B互为反等点．已知：点C(3，4)

（1）下列各点中， 与点C互为反等点；

D(?3，?4)，E（3，4），F（?3，4） （2）已知点G（?5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，

求点P的横坐标xp的取值范围； （3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取

值范围．

-6-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-5-6y654321123456x3.（18石景山一模28）对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B

为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B 的“确定圆”的示意图． ．．．

（1）已知点A的坐标为(?1,0)，点B的坐标为(3,3)，则点A，B的“确

AB定圆”的面积为_________；

（2）已知点A的坐标为(0,0)，若直线y?x?b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9?，求点B的坐标；

0)为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y??（3）已知点A在以P(m，3x?3上，若3要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于9?，直接写出m的取值范围．

4.（18房山一模28）在平面直角坐标系xOy中，当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等

时，则称点P为图形W的“梦之点”. （1）已知⊙O的半径为1.

22

①在点E（1，1），F（－2 ，－2 ），M(－2，－2)中，⊙O的“梦之点”为 ；

k

②若点P位于⊙O内部，且为双曲线y?（k≠0）的“梦之点”，求k的取值范围.

x（2）已知点C的坐标为（1，t），⊙C的半径为2 ，若在⊙C上存在“梦之点”P，直接写出t的取值范围.

（3）若二次函数y?ax2?ax?1的图象上存在两个“梦之点”A?x1,y1?，B?x2,y2?，且

x1?x2?2，求二次函数图象的顶点坐标.

5.（18西城一模28）对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与

⊙C存在公共点，记为点A，B，设k?AQ?BQ，则称点A（或点B）是⊙C的“k相关依CQ2AQ2BQ附点”，特别地，当点A和点B重合时，规定AQ?BQ，k?CQ（或CQ）． 已知在平面直角坐标系xOy中，Q(?1,0)，C(1,0)，⊙C的半径为r．

（1）如图1，当r?2时，

①若A1(0,1)是⊙C的“k相关依附点”，则k的值为__________．

②A2(1?2,0)是否为⊙C的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M，

①当r?1，直线QM与⊙C相切时，求k的值． ②当k?3时，求r的取值范围．

（3）若存在r的值使得直线y??3x?b与⊙C有公共点，且公共点是⊙C的“3相关依附点”，直接写出b的取值范围．

yyA1OQCA2xOQCx

图1备用图

6.（18怀柔一模28）P是⊙C外一点，若射线．．PC交⊙C于点A，B两点，则给出如下定义：

若0＜PA?PB≤3，则点P为⊙C的“特征点”．

（1）当⊙O的半径为1时．

①在点P1（2,0）、P2（0,2）、P3（4，0）中，⊙O的“特征点”是 ； ②点P在直线y=x+b上，若点P为⊙O的“特征点”．求b的取值范围；

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上的所有点都不是⊙C的“特征点”，直接写出点C的横坐标的取值范围． ．．．

y54321–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–512345x

7.（18海淀一模28）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上

存在一点T不与O重合，使点P关于直线OT的对称点P'在⊙C上，则称P为⊙C的反射点．下图为⊙C的反射点P的示意图．

（1）已知点A的坐标为(1,0)，⊙A的半径为2，

①在点O(0,0)，M(1,2)，N(0,?3)中，⊙A的反射点是____________； ②点P在直线y??x上，若P为⊙A的反射点，求点P的横坐标的取值范围； （2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，y轴上存在点P是⊙C的反射点，直接写出圆心C

的横坐标x的取值范围．

yTCP’OxP

8.（18朝阳一模28）对于平面直角坐标系xOy中点P和线段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)

两点，给出如下定义：若在线段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的伴随点． （1）当t=?3时，

①在点P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，线段AB的伴随点是 ；

②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N， 且MN?5，求b的取值范围； （2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针旋转30°得到射线l，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围．

9.（18东城一模28）给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共

线，且P，O在直线MN的异侧），当∠MPN＋∠MON=180°时，则称点 P是线段MN关于点O的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.

在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.

?22??22?（1）如图2， M?，B（1，1），C?02,?2,2??，N??2,?2??.在A（1，0）

????是线段MN关于点O的关联点的是 ；

?三点中，

?31?（2）如图3， M（0，1），N??2,?2??，点D是线段 MN关于点O的关联点.

??①∠MDN的大小为 °； ②在第一象限内有一点E

?点E是线段MN关于点O的关联点，判断△MNE3m,m，

?的形状，并直接写出点E的坐标； ③点F在直线y??

3x?2上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F横坐标xF的取值范围． 3

10.（18丰台一模28）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形W1，W2给出如下定义：点P

为图形W1上一点，点Q为图形W2上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形W1，

?x?xy?y2?W2的“中立点”．如果点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么“中立点”M的坐标为?12,1?．

2??2已知，点A(-3，0)，B(0，4)，C(4，0)．

11（1）连接BC，在点D(，0)，E(0，1)，F(0，)中，可以成为点A和线段BC的“中立

22点”的是____________；

（2）已知点G(3，0)，⊙G的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K可以成为点A和⊙G的“中立点”，求点K的坐标；

（3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”，直接写出点N的横坐标的取值范围．

y6543217654321O12345678123456x

11.（18门头沟一模28）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(x1,y1)，点N的坐标为(x2,y2)，

且x1?x2，y1?y2,我们规定：如果存在点P，使?MNP是以线段MN为直角边的等腰直角三角形，那么称点P为点M、N的 “和谐点”.

（1）已知点A的坐标为(1,3)，

①若点B的坐标为(3,3)，在直线AB的上方，存在点A，B的“和谐点”C，直接写出点C的坐标；

②点C在直线x=5上，且点C为点A，B的“和谐点”，求直线AC的表达式.

（2）⊙O的半径为r，点D(1,4)为点E(1,2)、F(m,n)的“和谐点”，若使得△DEF与⊙O有交点，画出示意图直接写出半径r的取值范围. ．．．．．

yyOxOx

备用图1 备用图2

12.（18大兴一模28）在平面直角坐标系xOy中，过y轴上一点A作平行于x轴的直线交某函

数图象于点D，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线交y轴于点E（E在线段OA上，E不与点O重合），则称?DPE为点D，P,E的“平横纵直角”.图1为点D，P，E的“平横纵直角”的示意图.

图1

13.如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数图象与y轴交于点F(0,m)，与x轴分别

交于点B（?3，0），C（12，0）. 若过点F作平行于x轴的直线交抛物线于点N. （1）点N的横坐标为 ； （2）已知一直角为点N,M,K的“平横纵直角”，若在线段OC上存在不同的两点M1、M2，

使相应的点K1、K2都与点F重合，试求m的取值范围； （3）设抛物线的顶点为点Q，连接BQ与FN交于点H,当45??∠QHN?60?时，求m的取值范围．

图2

13.（18顺义一模28）如图1，对于平面内的点P和两条曲线L1、L2给出如

Q2，下定义：若从点P任意引出一条射线分别与L1、L2交于Q1、总有

PQ1PQ2Q2Q1L1图1L2PPQ1是定值，我们称曲线L1与L2“曲似”，定值为“曲似比”，点P为“曲心”．

PQ2例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为r1、r2（都是常数）的两个同心圆C1、C2，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因为总有

rO'Mr1所以同心圆C1与C2曲似，曲似比为1，?是定值，

O'Nr2r2O'C2C1图2MN“曲心”为O'．

（1）在平面直角坐标系xOy中，直线y?kx与抛物线y?x2、y?12x分别交于点A、2

B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使⊙O与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

11（3）在（1）、（2）的条件下，若将“y?x2”改为“y?x2”，其他条件不变，当存在⊙O

2m与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．

14.（18通州一模）.在平面直角坐标系xOy中有不重合的两个点Q?x1,y1?与P?x2，y2?.若Q，P为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x或y轴平行(或重合)，则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和定义为点Q与点P之间的“直距

DPQ”.例如在下图中，点P?1,1?，Q?3,2?，则该直角三角形的两条直角边长为1和2，此时点Q与点P之间的“直距”DPQ=3.特别地，

当PQ与某条坐标轴平行(或重合)时，线段PQ的长即为点Q与点P之间的“直距”. （1）①已知O为坐标原点，点A?2,?1?，B??2,0?，则DAO?_______，DBO?_______；

② 点C在直线y??x?3上，请你求出DCO的最小值；

（2）点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点；点F是直线y?2x?4上一动点.

请你直接写出点E与点F之间“直距DEF”的最小值.

15.（18燕山一模27）如图，抛物线y?ax2?bx?c(a?0)的顶点为M ，直线y=m与抛物线

交于点A，B ，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶．

yABy=mABoMxM准蝶形AMB

（1）由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是

1（2）抛物线y?x2对应的准蝶形必经过B(m，m),则m= ，对应的碟宽AB是

25（3）抛物线y?ax2?4a?(a?0)对应的碟宽在x 轴上，且AB=6.

3①求抛物线的解析式；

②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB为锐角，若有，请

求出yp的取值范围.若没有，请说明理由. ,

yO1x备用图

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