人教版九年级下册第二十七章《相似》27.3《位似》同步练习

人教版九年级下册第二十七章《相似》27.3《位似》测试

一、选择题

1、下列说法不正确的是（）

A. 位似图形一定是相似图形

B. 相似图形不一定是位似图形

C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行

2、下列说法中正确的有（）

①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81；④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm，那么这两个三角形一定相似．

A．1个； B．2个； C．3个； D ．4个；

3、如图，已知△EFH和△MNK 是位似图形，那么其位似中心是（）

A.点A

B.点B

C.点

C D.点D

4、图中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )

A．点M B．点N C．点O D．点P

5、如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，点A和点A1是一对对应点，P是位似中心，且2 PA＝3 PA1，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比等于

( )

A. B. C. D.

1

2 6、如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为位似中心，把线段 AB 放大后得到线段CD ．若点A （1，2），B （2，0），D （5，0），则点A 的对应点C 的坐标是（ ）

A ．（2，5）

B ．（，5）

C ．（3，5）

D ．（3，6）

7、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x

轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0）．以点C 为位似中心，在x 轴的下作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点A ′的对应点A 的纵坐标是1.5，则点A'

的纵坐标是（ ）

A ．3

B ．﹣3

C ．﹣4

D ．4

8、如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE 的长等于（ ）

A ．6

B ．5

C ．9

D ．

9、如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的后得到线段CD ，则端点C 和D 的坐标分别为( )

A ．(2，2)，(3，2)

B ．(2，4)，(3，1)

C ．(2，2)，(3，1)

D ．(3，1)，(2，2)

10、如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是：（）

A．（-4，-3） B．（-3，-3） C．（-4，-4） D．（-3，-4）

11、如图，在平面直角坐标系中，A（2，4）、B（2，0），将△OAB以O为中心缩小一半，则A对应的点的坐标（）

A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，2）或（﹣1，﹣2） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）

二、填空题

12、△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（4，6），B（3，0），以O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标为．

13、如图，点O是四边形ABCD和四边形EFGH的位似中心，已知AE＝2，EO＝1，则四边形ABCD与四边形EFGH的位似比是 .

14、如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，点O是

位似中心，位

似比为2：1. 若五边形ABCDE的面积为17 cm2，周长为20 cm，那

么五边形

A′B′C′D′E′的面积为______，周长为______.

3

4 15

、如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1：

，点A 的坐标为（0，），

则点E 的坐标是______。

16、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O 为位似中心，画△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的相似比为2，则点B 的对应点B 1的坐标是 ．

17、如图，△ABC 在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为A （0，3），B （3，4），C （2，2）．以点B 为位似中心，在网格内画出△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1与△ABC 位似，且位似比为2：1，点A 1的坐标是__________．

18、正方形ABCD 与正方形OEFG 中，点D 和点F 的坐标分别为（﹣3，2）和（1，﹣1），则这两个正方形的位似中心的坐标为 ．

19、如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF分别交AC、CD于P、E，则图中的位似三角形共有对．

20、如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），则位似中心的坐标是．

21、已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．

（1）画出△ABC向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______；

（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______；

（3）△A2B2C2的面积是_______平方单位．

5

6 三、简答题

22、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点坐标分别是O （0，0），A （3，0），B （4，4），C （﹣2，3），将点O ，A ，B ，C 的横坐标、纵坐标都乘以﹣2．

（1）画出以变化后的四个点为顶点的四边形；

（2）由（1）得到的四边形与四边形OABC 位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比．

23、如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣

4）．

（1）请在图中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；

（2）以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的，得到△A 2B 2C 2，请在图中y 轴右侧，画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2B 2C 2的正弦值．

24、如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，△OAB的顶点分别为O（0，0），A（1，2），B（2，﹣1）．

（1）以点O（0，0）为位似中心，按位似比1：3在位似中心的同侧将△OAB放大为△OA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′，请在图中画出△OA′B′；

（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，

写出变化后点C的对应点C'的坐标；

（3）直接写出四边形ABA′B′的面积是．

25、如图，△OAB与△ODC是位似图形，试问：

(1)AB与CD平行吗？请说明理由；

(2)如果OB＝3，OC＝4，OD＝3.5，试求△OAB与△ODC的位似比及OA的长．

7

26、如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△

A1B1C1和△A2B2C2；

（1）把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；

（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，

得到△A2B2C2．

27、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．

（1）在图1中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）在图1中画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2；

（3）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A3B3C3与△ABC的对应边

的比为2：1（画出一种即可）．直接写出点A的对应点A3的坐标．

8

28

、如图，在正方形网格中，四边形TABC的顶点坐标分别为T（1，1），A（2，3），B（3，3），C（4，2）．

（1）以点T（1，1）为位似中心，在位似中心的同侧将四边形TABC放大为原来的2倍，放大后点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′画出四边形TA′B′C′；

（2）写出点A′，B′，C′的坐标：

A′（），B′（），C′（）；

（3）在（1）中，若D（a，b）为线段AC上任一点，则变化后点D的对应点D′的坐标为（）．

9

参考答案

一、选择题

1、D

2、A；

3、B

4、D

5、B

6、B【考点】位似变换；坐标与图形性质．

【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．

【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），

∴=，

∵A（1，2），

∴C（，5）．

7、B【考点】位似变换；坐标与图形性质．

【分析】根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，进而得出点A'的纵坐标．

【解答】解：∵点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，

并把△ABC的边长放大到原来的2倍．

点A′的对应点A的纵坐标是1.5，

则点A'的纵坐标是：﹣3．

故选：B．

8、A【考点】位似变换．

【分析】位似是特殊的相似，位似比就是相似比，相似形对应边的比相等．

【解答】解：根据题意，△ABC与△DEF位似，且AB：DE=2：3，AB=4

∴DE=6

9、C 10、A．

11、C【考点】位似变换；坐标与图形性质．

【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行解答．

【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2：1，将△OAB以O为中心缩小一半，A（2，4），

10

则顶点A的对应点A′的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，2），故选：C．

二、填空题

12、（﹣2，﹣3）或（2，3）．分析：根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行解答．

解：∵以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，A（4，6），

则点A的对应点A′的坐标为（﹣2，﹣3）或（2，3），

13、3:1

14、cm2 10 cm

15、（3,3）

16、（4，2）或（﹣4，﹣2）．

【考点】SD：作图﹣位似变换．

【分析】直接利用位似图形的性质得出符合题意的图形进而得出答案．

【解答】解：如图所示：△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为2，

点B的对应点B1的坐标是：（4，2）或（﹣4，﹣2）．

故答案为：（4，2）或（﹣4，﹣2）．

17、（﹣3，2）．

【考点】位似变换；坐标与图形性质．

【分析】利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案．

【解答】解：如图所示：△A1B1C1即为所求，

则点A1的坐标是：（﹣3，2）．

11

故答案为：（﹣3，2）．

【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出对应点位置是解题关键．

18、（﹣1，0）或（5，﹣2）．

【考点】位似变换；坐标与图形性质．【专题】计算题；压轴题．

【分析】由图形可得两个位似图形的位似中心必在x轴上，连接AF、DG，其交点即为位似中心，进而再由位似比即可求解位似中心的坐标．【解答】解：当位似中心在两正方形之间，连接AF 、DG，交于H，如图所示，则点H 为其位似中心，且H在x轴上，∵点D的纵坐标为2，点F的纵坐标为1，∴其位似比为2：1，∴CH=2HO，

即OH=OC 又C（﹣3，0），∴

OC=3，OH=1，

所以其位似中心的坐标为（﹣1，0）；当位似中心在正方形OEFG的右侧时，如图所示，连接DE并延长，连接CF并延长，两延长线交于M，过M作MN⊥x轴，∵点D的纵坐标为2，点F的纵坐标为1，∴

其位似比为2：1，∴EF=DC，即EF为△MDC的中位线，∴ME=DE，又∠DEC=∠MEN，∠DCE=∠MNE=90°，∴△DCE≌△MNE，∴CE=EN=OC+OE=3+1=4，即ON=5，MN=DC=2，则M坐标为（5，﹣

2），

12

综上，位似中心为：（﹣1，0）或（5，﹣2）．故答案为：（﹣1，0）或（5，﹣

2）．

【点评】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形结合的问题，能够熟练运用位似的性质求解一些简单的位似计算问题．

19、5 对．

【考点】位似变换；平行四边形的性质．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，则可得AD∥BC，AB∥CD，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可证得：△ABP∽△CEP，△APF∽△CPB，△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，继而可得△ABF∽△CEB，则可求得答案

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴△ABP∽△CEP，△APF∽△CPB，△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，

∴△ABF∽△CEB，

∴此图中共有5对相似三角形．

故答案为5

20、（0，），（﹣6，13）【考点】位似变换；坐标与图形性质．

【分析】分别利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用当B与F是对应点，以及当B与E是对应点分别求出位似中心．

【解答】解：设当B与F是对应点，设直线BF的解析式为：y=kx+b，

则，

13

解得：，

故直线BF 的解析式为：y=﹣x+，

则x=0时，y=，

即位似中心是：（0，），

设当B与E 是对应点，设直线BE的解析式为：y=ax+c，则，

解得：，

故直线BE的解析式为：y=﹣2x+1，

设直线HF的解析式为：y=dx+e，

则，

解得：，

故直线HF的解析式为：y=﹣x+5，

则，

解得：

即位似中心是：（﹣6，13），

14

综上所述：所述位似中心为：（0，），（﹣6，13）．

故答案为：（0

，），（﹣6，13）．

【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确分类讨论得出是解题关键．21、【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．

【分析】（1）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案；

（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；

（3）直接利用△A2B2C2所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，

C1（1，﹣2）；故答案为：（1，﹣2）；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，C2（1，0）；故答案为：（1，0）；

（3）△A2B 2C2的面积是：4×6﹣×2×6﹣×2×4﹣×2

×4=10．

故答案为：10．

【点评】此题主要考查了位似变换以及平移变换和三角形面积求法等知识，根据题意得出对应点位置是解题关键．

15

三、简答题

22、【解答】解：（1）如图所示，四边形OA′B′C′即为所求四边形；

（2）∵将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以﹣2可得出四边形OA′B′C′，

∴各对应边的比为2，对应点的连线都过原点，

∴得到的四边形与四边形OABC位似，位似中心是O（0，0），与原图形的相似比为2．

23、【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求；

（2）如图所示，△A2B2C2为所求，

由图形可得：∠A2C2B2=∠ACB ，

过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，

由A （2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），

故AD=2，CD=6，AC==2，

则sin∠ACD===，即sin∠A2C2B2=sin∠ACB=．

16

17

24、如图，△OA

′B ′即为所求作三角形；（2分）

（2）C'的坐标为：（3a ，3b ）；（2分）

（3）∴四边形ABA ′B ′的面积是S △A ′OB ′﹣S △AOB =20，

答案为：20．（2分） 25、 解：(1)AB ∥CD .

理由：∵△OAB 位似于△ODC ，∴△OAB ∽△ODC .

∴∠D ＝∠A .∴AB ∥CD

(2)显然O 是位似中心，位似比为OB ∶OC ＝3∶4.

∵OB ∶OC ＝OA ∶OD ，即3∶4＝OA ∶3.5，解得OA ＝2.625

26、如图所示：

18

27、【考点】作图-位似变换；作图-轴对称变换；作图-旋转变换．

【分析】（1）利用关于x 轴对称的点的坐标特征写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2，从而得到△A 2B 2C 2；

（3）把点A 、B 、C 的横纵坐标都乘以﹣2得到A 3、B 3、C 3的坐标，然后描点即可．

【解答】解：（1）如图1，△A 1B 1C 1为所作；

（2）如图1，△A 2

B 2

C 2为所作；

（3）如图2，△A 3B 3C 3△ABC 为所作，此时点A 的对应点A 3的坐标是（﹣

4，﹣4）．

28、【考点】作图﹣位似变换．

【分析】（1）利用位似图形的性质得出变化后图形即可；

（2）利用已知图形得出对应点坐标；

（3）利用各点变化规律，进而得出答案．

【解答】解：（1）如图所示：四边形TA′B′C′即为所求；

（2）A′（3，5），B′（5，5），C′（7，3）；

故答案为：（3，5），（5，5），（7，3）；

（3）在（1）中，∵A（2，3），B（3，3），C（4，2），

A′（2×2﹣1=3，2×3﹣1=5），B′（2×3﹣1=5，2×3﹣1=5），C′（2×4﹣1=7，2×2﹣1=3）；∴D（a，b）为线段AC上任一点，

则变化后点D的对应点D′的坐标为（2a﹣1，2b﹣1）．

故答案为：（2a﹣1，2b﹣1）．

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