高考真题解析 2019年浙江省高考数学试题(解析版)

第 1 页 共 12 页 2019年浙江省高考数学试题

一、单选题

1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则U A B =I e（ ）

A ．{}1-

B ．{}0,1

C ．{}1,2,3-

D ．{}1,0,1,3-

【答案】A 【解析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】

={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I

【点睛】

易于理解集补集的概念、交集概念有误.

2．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）

A

B ．1

C

D ．2 【答案】C

【解析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】

因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b

，则c ==

心率c e a

==【点睛】

理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.

3．若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥??--≤??+≥?

，则32z x y =+的最大值是（ ）

A ．1-

B ．1

C ．10

D ．12

第 2 页 共 12 页 【答案】C

【解析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.

【详解】

在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =?+?=.

【点睛】

解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.

4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱

体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）

A ．158

B ．162

C ．182

D ．32

【答案】B 【解析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.

【详解】

由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++???+??= ???

.

第 3 页 共 12 页 【点睛】

易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.

5．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】

当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.

【点睛】

易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

6．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ??=

=+> ??

?且0)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

【答案】D

第 4 页 共 12 页 【解析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】

当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a =

过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ?

?=+ ???过定点1(,0)2

且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a

=过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ??=+ ???

过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【点睛】

易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.

7．设01a <<，则随机变量X 的分布列是：

则当a 在()0,1内增大时（ ）

A ．()D X 增大

B ．()D X 减小

C ．()

D X 先增大后减小

D ．()D X 先减小后增大 【答案】D

【解析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.

【详解】

方法1：由分布列得1()3

a E X +=，则

第 5 页 共 12 页 2222

111111211()01333333926a a a D X a a +++????????=-?+-?+-?=-+ ? ? ? ????????

?，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.

方法2：则

()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ??+-+??=-=++-==-+?? ??????? 故选D.

【点睛】

易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.

8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）

A ．,βγαγ<<

B ．,βαβγ<<

C ．,βαγα<<

D ．,αβγβ<< 【答案】B

【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.

【详解】

方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则

cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α===<=β，即αβ>，tan tan PD PD ED BD γ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.

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方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ） 由最大角定理β<γ'=γ，故选B.

法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得

333222cos sin ,sin sin 6633

α=?α=β=γ=，故选B. 【点睛】

常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.

9．已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),03

2x x f x x a x ax x

A ．1,0a b <-<

B ．1,0a b <->

C ．1,0a b >->

D ．1,0a b >-<

【答案】D

【解析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析.

【详解】

原题可转化为()y f x =与y ax b =+，有三个交点. 当BC AP λ=u u u v u u u v 时，2()(1)()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，且(0)0,(0)f f a ='=，则

（1）当1a ≤-时，如图()y f x =与y ax b =+不可能有三个交点（实际上有一个），排除A ，B

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（2）当1a >-时，分三种情况，如图()y f x =与y ax b =+若有三个交点，则0b <，答案选

D

下面证明：1a >-时，

BC AP λ=u u u v u u u v 时3211()()(1)32

F x f x ax b x a x b =--=-+-，2()(1)((1))F x x a x x x a '=-+=-+，则(0)0 ,(+1)<0F >F a ，才能保证至少有两个零点，即3

10(1)6b a >>-+，若另一零点在0<

【点睛】

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..

10．设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，b N *∈ ,则（ ） A ．当101,102b a => B ．当101,104

b a => C ．当102,10b a =->

D ．当104,10b a =->

【答案】A 【解析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.

【详解】

选项B：不动点满足

2

2

11

42

x x x

??

-+=-=

?

??

时，如图，若

1

11

0,,

22

n

a a a

??

=∈<

?

??

，排除

如图，若a为不动点

1

2

则

1

2

n

a=

选项C：不动点满足

2

2

19

20

24

x x x

??

--=--=

?

??

，不动点为

ax1

2

-

，令2

a=，则

210

n

a=<，

排除

选项D：不动点满足

2

2

117

40

24

x x x

??

--=--=

?

??

，不动点为171

2

x=±，令

171

22

a=±，则

171

10

22

n

a=±<，排除.

选项A：证明：当

1

2

b=时，222

213243

1113117

,,1

2224216

a a a a a a

=+≥=+≥=+≥≥，

处理一：可依次迭代到

10

a；

处理二：当4

n≥时，22

1

1

1

2

n n n

a a a

+

=+≥≥，则

1

17117171

161616

log2log log2n

n n n

a a a-

++

>?>则

1

2

1

17

(4)

16

n

n

a n

-

+

??

≥≥

?

??

，则

6

264

102

1716464631

1114710 161616216

a

?

????

≥=+=++?+??>++>

? ?

????

.

故选A

【点睛】

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.

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二、填空题

11．复数

1

1

z

i

=

+

（i为虚数单位），则||z=________.

【解析】本题先计算z，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.

【详解】

1

||

|1|2

z

i

===

+

.

【点睛】

本题考查了复数模的运算，属于简单题.

12．已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230

x y

-+=与圆相切于点(2,1)

A--，则m=_____，r=______.

【答案】2

m=-

r=

【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m代入后求得m，计算得解.

【详解】

可知

11

:1(2)

22

AC

k AC y x

=-?+=-+，把(0,)m代入得2

m=-

，此时||

r AC

===

【点睛】

：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.

13

．在二项式9)x的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.

【答案】5

【解析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x的幂指数，使问题得解.

【详解】

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第 10 页 共 12 页 9(2)x +的通项为919(2)(0,1,29)r

r r r T C x r -+==L

可得常数项为0919(2)162T C ==，

因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项

【点睛】

此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.

14．在V ABC 中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=?，则BD =____；cos ABD ∠=________.

【答案】1225 7210

【解析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入CD x =，在BDC ?、ABD ?中应用正弦定理，建立方程，进而得解..

【详解】

在ABD ?中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4

AB ADB π=∠=, 22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55

BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225

BD =. 72cos cos()cos cos sin sin 4410

ABD BDC BAC BAC BAC π

π

∠=∠-∠=∠+∠=

【点睛】

解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.

15．已知椭圆22

195

x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.

【答案】15

【解析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【详解】

方法1：由题意可知

||=|2 OF OM|=c=，

由中位线定理可得

12||4

PF OM

==，设(,)

P x y可得22

(2)16

x y

-+=，

联立方程

22

1 95

x y

+=

可解得

321

,

22

x x

=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，

求得

315

,

22

P

??

-

?

?

??

，所以

15

215

1

2

PF

k==

方法2：焦半径公式应用

解析1：由题意可知|2

OF|=|OM|=c=，

由中位线定理可得

12||4

PF OM

==，即

3

4

2

p p

a ex x

-=?=-

求得

315

2

P

?

-

??

，所以

15

215

1

2

PF

k==

【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.

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第 12 页 共 12 页 16．已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(

2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43

a = 【解析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.

【详解】

使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t +-=?++++-=++-， 使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3

m am ≥-≤，由折线函数，如图

只需113

a -≤

，即43a ≤，即a 的最大值是43 【点睛】 对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.

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