三角函数及三角恒等变换（教师）

三角函数及三角恒等变换

任意角和弧度制及任意角的三角函数

1.A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（填序号）. 答案④ ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③{第一象限的角} ④以上都不对 2.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是. 答案

?3

3.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是. 答案 1或4 4.已知角?终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin?=. 答案 -cos2 5.?是第二象限角，P（x，5）为其终边上一点，且cos?=

例1 若?是第二象限的角，试分别确定2?,

?224x,则sin?=. 答案

104

,

?2的终边所在位置.

解 ∵?是第二象限的角，∴k2360°+90°＜?＜k2360°+180°（k∈Z）.

（1）∵2k2360°+180°＜2?＜2k2360°+360°（k∈Z）∴2?是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上. （2）∵k2180°+45°＜

?2 ＜k2180°+90°（k∈Z），

?2当k=2n（n∈Z）时，n2360°+45°＜＜n2360°+90°；

?2当k=2n+1（n∈Z）时，n2360°+225°＜（3）∵k2120°+30°＜

?3＜n2360°+270°.∴

?2是第一或第三象限的角.

＜k2120°+60°（k∈Z），

?3当k=3n（n∈Z）时，n2360°+30°＜＜n2360°+60°；

?3当k=3n+1（n∈Z）时，n2360°+150°＜当k=3n+2（n∈Z）时，n2360°+270°＜∴

?3＜n2360°+180°； ＜n2360°+300°.

?3是第一或第二或第四象限的角.

例2 （1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇

形的面积是多少？

（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角?等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 （1）设扇形的圆心角是?rad，因为扇形的弧长是r?, 所以扇形的周长是2r+r?. 依题意，得2r+r?=?∴扇形的面积为S=

1212?180?r,∴?=?-2=(?-2)3?????12?≈1.142357.30°≈65.44°≈65°26′,

2

r?=

（?-2）r.

2

（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20,即l=20-2r (0＜r＜10) 扇形的面积S=

lr，将①代入，得S=

12 ①

(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,

lr所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时l=20-235=10,?==2.

所以当?=2 rad时，扇形的面积取最大值.

例3 已知角?的终边在直线3x+4y=0上，求sin?,cos?,tan?的值. 解 ∵角?的终边在直线3x+4y=0上，

∴在角?的终边上任取一点P（4t,-3t） (t≠0),则x=4t,y=-3t, r=x2?y2?(4t)2?(?3t)2?5t,

当t＞0时，r=5t,

sin?=

yr??3t5t??35,cos?=

yrxr?4t5t??3545,tan?=

xryx???3t4t4t??4534;

yx?

?3t4t

??34 .

45

34 .

当t＜0时，r=-5t,sin?=

??3t?5t,cos?=

45?5t??,tan?=

综上可知，t＞0时，sin?=?35,cos?=,tan?=?34;t＜0时，sin?=

35,cos?=-,tan?=?

例4 在单位圆中画出适合下列条件的角?的终边的范围,并由此写出角?的集合: (1)sin?≥

32;(2)cos?≤?3212.

解 （1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角?的终

边的范围，故满足条件的角?的集合为

?|2k?+

?3≤?≤2k?+

1223?，k∈Z .

（2）作直线x=?交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即

为角?终边的范围.故满足条件的角?的集合为

?|2k?+

23?≤?≤2k?+

43?，k∈Z .

1.已知?是第三象限角，问

?3是哪个象限的角？

?3解 ∵?是第三象限角，∴180°+k2360°＜?＜270°+k2360°（k∈Z），60°+k2120°＜①当k=3m(m∈Z)时，可得60°+m2360°＜故

?3＜90°+k2120°.

?3＜90°+m2360°（m∈Z）.

的终边在第一象限.

?3②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得180°+m2360°＜故

?3＜210°+m2360°（m∈Z).

的终边在第三象限.

?3③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得300°+m2360°＜故

?3＜330°+m2360°（m∈Z）.

的终边在第四象限.综上可知，

?3是第一、第三或第四象限的角.

2.已知扇形OAB的圆心角?为120°，半径长为6, （1）求 的弧长；（2）求弓形OAB的面积. 解 （1）∵?=120°=(2)∵S扇形OAB=

122?3rad，r=6，∴ 的弧长为l=

122?336=4?. =

12lr=

1234?36=12?，S△ABO=r22sin

2?33623

32=93，∴S弓形OAB=S扇形OAB-S△ABO=12?-93.

3.已知角?的终边在y轴上，求sin?、cos?、tan?的值.

22解 ∵角?的终边在y轴上，∴可在?的终边上任取一点（0,t)(t≠0),即x=0，y=t.∴r=x2?y2=0?t=|t|.

当t＞0时，r=t,sin?=

yr=

yrtt=1,cos?=

t?txr=

0t=0,tan?=

xryx不存在；

yx当t＜0时，r=-t，sin?===-1,cos?==

0?t=0,tan?=不存在.

综上可知：sin?=±1,cos?=0,tan?不存在. 4.求下列函数的定义域：

（1）y=2cosx?1；（2）y=lg(3-4sin2x）.

解 （1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥∴x∈?2k????12.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).

?3,2k?????3?（k∈Z）.

34（2）∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜,∴-

32＜sinx＜

32.

利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x∈（k?-?3,k?+

?3）（k∈Z).

一、填空题

1.已知cos?2tan?＜0,那么角?是第象限角.答案 三或四 2.若0＜x＜

?2，则sinx

4?2x2（用“＞”,“＜”或“=”填空）.答案 ＞

3.与610°角终边相同的角表示为.答案k2360°+250°(k∈Z) 4.已知（

12）sin2?＜1,则?所在象限为第象限.答案一或三

5.已知点P（tan?，cos?）在第三象限，则角?的终边在第象限.答案 二 6.已知?∈???????2,13，则关于tan?的值，以下四个答案中，可能正确的是（填序号）. ?且sin?+cos?=a，其中a∈(0，1）

2?

③-13①-3 答案 ③

②3或 ④-3或-

13

7.已知角?的终边落在直线y=-3x (x＜0)上，则

sin?sin??cos?cos??.答案 2

8.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=,其中t∈［0,60］.答案 10sin二、解答题 9.已知sin?=

1?a1?a?t60

,cos?=

3a?11?a,若?是第二象限角，求实数a的值.

1?a?0?sin???1??1?a解 ∵?是第二象限角，∴sin?＞0,cos?＜0,∴???1?cos??3a?1?0?1?a?，解得0＜a＜

13.

又∵sin?+cos

22

?1?a??3a?1??=1,∴??????1?a??1?a?22?1,解得a=

19或a=1(舍去），故实数a的值为

19.

10.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；

（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形半径为R，中心角为?，所对的弧长为l.

?12??R?4,（1）依题意，得?2??R?2R?10,?∴2?-17?+8=0,∴?=8或

2

12.∵8＞2π,舍去,∴?=

12.

(2)扇形的周长为40,∴?R+2R=40， S=

12lR=

12?R=

2

14?R22R≤

1??R?2R???4?2?2?100.

当且仅当?R =2R,即R=10,?=2时面积取得最大值，最大值为100.

sin?211.设?为第三象限角，试判断

cos?2的符号.

sin?2综上可知：

cos?2＜0.

12.角?终边上的点P与A（a，2a）关于x轴对称（a≠0），角?终边上的点Q与A关于直线y=x对称，求sin?2cos?+sin?2cos?+tan?2tan?的值.

解 由题意得，点P的坐标为（a,-2a)，点Q的坐标为（2a，a）. sin?=

a2?2a?(?2a)a(2a)?a222??2a5a2,cos?=

a2a?(?2a)2?2a5aa5a2,tan?=,tan?=

a2a?2aa?12??2,

sin?=

?a5a2,cos?=

2a(2a)?a22?,

2故有sin?2cos?+sin?2cos?+tan?2tan? =

?2a5a2?a5a2?a5a2?2a5a2?(?2)?12=-1.

同角三角函数的基本关系与诱导公式

2

1.（20082常州模拟）sin(?+?)-cos(?+?)2cos(-?)+1的值为.答案 2 2.sin210°=.答案?3.已知tan?=4.若

1212

??3???，则2?,且?∈??,sin?的值是.答案??3???????2?35553

sin??cos?sin??cos?=2,则sin(?-5?)2sin

55=.答案

105.已知sin?=

，则sin4?-cos4?的值为.答案?例1 已知f(?)=

sin(???)cos(2???)tan(????)?tan(????)sin(????)??;

3??1??2?5(1)化简f(?);(2)若?是第三象限角，且cos???解 （1）f（?）=

3???(2)∵cos????2??sin??cos??(?tan?)tan?sin?，求f(?)的值.

=-cos?.

5?1522=-sin?,∴sin?=-1515,cos?=-??256,∴f(?)=

1256.

例2已知-

?2＜x＜0,sinx+cosx=.(1)求sinx-cosx的值；（2）求

cos2x?sin2的值.

x解 （1）方法一 联立方程：

1　??sinx?cosx?　①5 ??sin2x?cos2x?1　②?由①得sinx=

15-cosx,将其代入②，整理得

25cosx-5cosx-12=0.

2

∵-

3?sinx?????5＜x＜0,∴?2?cosx?4?5?2

,所以sinx-cosx=-

75.

方法二 ∵sinx+cosx=

15,∴(sinx+cosx)

?1?=???5?2,即1+2sinxcosx=

125,∴2sinxcosx=-

2425.

?2∵(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+＜x＜0,∴sinx＜0,cosx＞0,∴sinx-cosx＜0

752425=

4925 ①

又∵- ②

由①②可知：sinx-cosx=-1?sinx?cosx???5??sinx?cosx??7?5?. (2)由已知条件及（1）可知

3?sinx????5,解得??cosx?4?5?,

sin2x?coscos22x∴tanx=-

34. 又∵

cos12x?sin2?xsincos22x?cosx?sin22xx=

cosx22=

xtan2x?12 =

?3?????1?4??3?1?????4?22?257.

x?sin21?tanxcosx例3 已知tan?=2,求下列各式的值：（1）解 （1）原式=

2

2sin??3cos?4sin??9cos?;(2)

22sin4sin22??3cos???9cos?2222;(3)4sin2?-3sin?cos?-5cos2?.

2?2?34?2?92222tan??34tan??92

?2?2?34?2?92

??1.（2）

2sin4sin2

22??3cos???9cos?4sin22?2tan??34tan??922??57.

(3)∵sin?+cos?=1,∴4sin?-3sin?cos?-5cos?==

3???tan(???)cos(2???)sin?????2??cos(????)sin(????)??3sin?cos??5cos?sin

??cos?4tan??3tan??5tan??122?4?4?3?2?54?1?1.

1.化简.

???(?tan?)???cos(???)????sin????2?(?cos?)?sin???????解 原式==

???(?tan?)?cos???(???)??sin??????2??cos(???)???sin(???)??tan??cos?sin?sin?cosa=

?tan??cos??(?cos?)?cos??sin?==??cosasin?=-1.

2.已知sin? +cos?=

15,?∈(0,?).求值：

（1）tan?;(2)sin?-cos?;(3)sin3?+cos3?. 解方法一 ∵sin?+cos?=

15,?∈(0,?),∴(sin?+cos?)2=

15125=1+2sin?cos?，∴sin?cos?=-

1225＜0.

由根与系数的关系知，sin?,cos?是方程x2-解方程得x1=

45x-

1225=0的两根，

,x2=-

35.

45∵sin?＞0,cos?＞0,∴sin?=方法二 （1）同方法一.

,cosθ=-

35.∴(1)tan?=-

43.(2)sin?-cos?=

7533

.(3)sin?+cos?=

37125.

（2）（sin?-cos?）2=1-2sin?2cos?=1-23????12??25?=

4925.

75∵sin?＞0,cos?＜0,∴sin?-cos?＞0,∴sin?-cos?=.

15(3)sin3?+cos3?=(sin?+cos?)(sin2?-sin?cos?+cos2?)=3?1???12??25?=

37125.

3.已知sin(?+k?)=-2cos(?+k?) (k∈Z). 求:(1)

4sin??2cos?5cos??3sin?;(2)

14sin?+

2

25cos?.

2

解 由已知得cos(?+k?)≠0,

∴tan(?+k?)=-2(k∈Z),即tan?=-2.

1（1）

4sin??2cos?5cos??3sin??4tan??25?3tan??10.(2)

14sin?+

2

252

cos?=4sinsin22??25cos?221=4tan??tan??12225?725.

??cos?

一、填空题

1.?是第四象限角，tan?=?512，则sin?=.答案?513

2.（20082浙江理）若cos?+2sin?=-5,则tan?=.答案 2

3.（20082四川理）设0≤?＜2?,若sin?＞3cos?,则?的取值范围是.答案?4.?是第四象限角，cos?=

1213???3,4???3?

，则sin?=.

5.sin2(?+?)-cos(?+?)cos(-?)+1的值为.答案 2 6.若sin?+cos?=tan??0????????，则?2?的取值范围是.答案??????4,???3?

7.如果cos?=

215,且?是第四象限的角,那么cos??????2?=.答案

265

8.化简:

sin(???)?cos(???)?cos(???2?)tan(???)?sin(3?2=.答案 1

??)?sin(???2?)二、解答题 9.已知cos(?+?)=-解 ∵cos(?+?)=-1212,且?是第四象限角，计算：(1)sin(2?-?);(2),∴-cos?=-12sin???(2n?1)???sin???(2n?1)??sin(??2n?)?cos(??2n?)32 (n∈Z).

,cos?=

12,又∵?是第四象限角，∴sin?=-1?cos2???32.

（1）sin(2?-?)=sin［2?+(-?)］=sin(-?)=-sin?=（2）=

sin???(2n?1)???sin???(2n?1)??sin(??2n?)?cos(??2n?)?2sin?sin??cos?46.

=

sin(???)?sin(????)sin??cos?=

sin(2n?????)?sin(?2n?????)sin(2n???)?cos(?2n???)

?sin??sin(???)sin??cos?46==?2cos?=-4.

10.化简：

1?cos??sin1?cos??sin22??.

22解方法一 原式=

(cos(cos??sin??sin?)?cos?)?cos3246??sin???sin?64=

3cos2cos22??sin22?2?sin2?23?(cos??sin?).

1. ①在(0,

?2)上递减；②以2?为周期；③是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数（写出一个你认为正确的即可）.

答案y=-sinx

2.（20092东海高级中学高三调研）将函数y=sin?2x??????3?的图象先向左平移

?3,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为

原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为.答案y=sin?x????3??? 2?????3?

3.设函数y=acosx+b（a、b为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最大值是.答案 5 4.函数y=|sinx|的一个单调增区间是（写出一个即可）.答案??,5.（2008）若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为答案2

例1 求下列函数的定义域：

（1）y=lgsin(cosx);(2)y=sinx?cosx.

解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0.∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1. 方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-?2+2k?＜x＜

?2+2k?,k∈Z}.

方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1, ∴OM只能在x轴的正半轴上， ∴其定义域为

?????2k??x??2k?,k????x|?22??.

（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0. 方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2?］ 上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示. 在［0，2?］内，满足sinx=cosx的x为所以定义域为?x|???4，

5?4，再结合正弦、余弦函数的周期是2?,

?4?2k??x?5???2k?,k???4?.

方法二 利用三角函数线，

如图MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx≥cosx,即MN≥OM，则∴定义域为?x|???4≤x≤

5?4（在［0，2?］内）.

?4?2k??x???5???2k?,k?Ζ?4? x-?4方法三 sinx-cosx=2sin?x?可知2k?≤x-?4???≥0，将4?视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质

5?4≤?+2k?,解得2k?+

?4≤x≤

+2k?,k∈Z.所以定义域为?x|2kx????4?x?5???2k?,k?Ζ?4?.

例2 求下列函数的值域： （1）y=

sin2xsinx1?cosx;(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;(3)y=2cos?=

2cosx(1?cos1?cosx2???????3?+2cosx.

2解 （1）y=

2sinxcosxsinx1?cosxx)=2cos

2

1??x+2cosx=2?cos??2??12-

12.

1212于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx≠1,∴y＜4，且ymin=-（2）令t=sinx+cosx,则有t=1+2sinxcosx,即sinxcosx=又t=sinx+cosx=2sin?x???2

,当且仅当cosx=-t2时取得.故函数值域为???(t?1)?12?1?,4?2?.

t2?12.有y=f(t)=t+

?12=.

???，∴-4?2≤t≤2.

12故y=f(t)=

12(t?1)?12(-2≤t≤2),从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤2+

cosx-2sin

?3.即函数的值域为??1,2???1??2?.

（3）y=2cos?∵cos?x??????x?+2cosx=2cos

3?3????3???1?sinx+2cosx=3cosx-3sinx=23?cosx?sinx?=23cos?x??.

?2?2???6????6?≤1∴该函数值域为［-23，23］.

例3 （14分）求函数y=2sin?解 方法一y=2sin???????x?的单调区间. ?4???x?化成?4?y=-2sin?x????????.

4?

??

?

?

3??

∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为?2k??∴函数y=-2sin?x????2,2k?? (k∈Z), ?（k∈Z),?2k??,2k???2?22?????的递增、递减区间分别由下面的不等式确定

4?2k?+2k?-

?2≤x-≤x-

?4≤2k?+≤2k?+

3?2（k∈Z),即2k?+（k∈Z),即2k?-?3?4≤x≤2k?+

7?4（k∈Z),

??

3?4

7???4? （k∈Z).

?2?4?24≤x≤2k?+

3?4（k∈Z).

∴函数y=2sin?

???3?????x?的单调递减区间、单调递增区间分别为?2k??,2k???44???4?（k∈Z),?2k???4

,2k??

??

?4

?x

又∵u=

?x

方法二y=2sin?∴由2k?-即??2k??????x?可看作是由?4?y=2sinu与u=

?4??复合而成的.

3?4为减函数，

?2≤u≤2k?+

,?2k??3???4??2（k∈Z),-2k?-≤x≤-2k?+ (k∈Z).

?4（k∈Z）为y=2sin? (k∈Z),即2k?+

????x??4?的递减区间. -x≤2k?+

???4?由2k?+-2k?-

?2≤u≤2k?+≤x≤-2k?-??3?2?2≤

5?4?43?2 (k∈Z)得

????x??4???5?4?4 (k∈Z),即??2k??,?2k??（k∈Z)为y=2sin?的递增区间.

?4,?2k??

3???4?

综上可知：y=2sin?

5??????x?的递增区间为??2k??,?2k???44??4??（k∈Z）；递减区间为??2k??（k∈Z）.

1.求f(x)=1?2cos(?2?x)的定义域和值域.

22解 由函数1-2cos?????x??2?≥0,得sinx≤,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是

=

225????.当?x?2k??,k??Z ?x|2k??44??sinx=cos?????x??2?时，ymin=0;当sinx=cos?????x??2?=-1时，ymax=1?2.

所以函数的值域为［0，1?2］. 2.已知函数f(x)=

2cos4x?3coscos2x2x?1,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.

?2解 由题意知cos2x≠0，得2x≠k?+

??xx??,且x?k?，解得x≠

k?2??4（k∈Z）.所以f(x）的定义域为

R 2

2cos4??,k??Z . 4?2?又f（x)=

2

x?3coscos2xx?1=

(2cos2x?1)coscos2x2x?1=cos2x-1=-sin2x.又定义域关于原点对称，∴f（x）是偶函数.

2

显然-sinx∈［-1，0］，但∵x≠

??k?212??4,k∈Z.∴-sinx≠-1??y?0?2?12.

所以原函数的值域为?y|?1?y??3.（1）求函数y=sin???或?.

y=3tan????6?x??4???2x?的单调递减区间；（2）求?3?的周期及单调区间.

解 （1）方法一 令u=?2k?-5?6????2x?,y=sinu，利用复合函数单调性，由?3?2k?-

?2≤-2x+

?12?3≤2k?+

5?12?2(k∈Z),得

≤-2x≤2k?+

?6（k∈Z),-k?-???12≤x≤-k?+ (k∈Z).

5?12 (k∈Z),即k?-≤x≤k?+（k∈Z).

∴原函数的单调递减区间为?k??方法二 由已知函数y=-sin?2x????12,k??5???12????3?,欲求函数的单调递减区间，只需求y=sin?2x??????3?的单调递增区间.

由2k?-

?2≤2x-

?3≤2k?+

???2（k∈Z),解得k?-?12,k??5???12??12≤x≤k?+

5?12（k∈Z).

∴原函数的单调递减区间为?k??（2）y=3tan?由k?-y=3tan??2???6x4?（k∈Z）. =4?,∴y=3tan?8?3?x??x??? =-3tan???4?6??4,∴T=

4?3?????6?x??4?的周期为4?.

＜

??6＜k?+

?2，得4k?-＜x＜4k?+ (k∈Z),

的单调递减区间是?4k????4?3,4k??8???3??x?4??4?8??x????,4k???(k∈Z）∴y=3tan????的单调增区间是?4k??33?6?4???6

(k∈Z).

一、填空题

1.已知函数y=tan?x在????

?2,???2?内是减函数,则?的范围是.答案 -1≤?＜0

??2.（20092徐州模拟）函数f(x)=sinx-3cosx (x∈［-?，0］)的单调递增区间是.答案??3.函数f(x)=tan?x (?＞0)的图象的相邻的两支截直线y=4.函数y=2sin（

?6??,0?6?

?4所得线段长为

??5??,? ?36??4,则f（

?4）的值是.答案 0

-2x）(x∈［0，?］)为增函数的区间是.答案???5.函数f(x)=lg(sin2x+3cos2x-1)的定义域是.答案?x|k??6.给出下列命题： ①函数y=cos??2?3x??12?x?k????,k??? 4???3?是奇函数；②存在实数?,使得sin?+cos?=;

22?③若?、?是第一象限角且?＜?,则tan?＜tan?;④x=⑤函数y=sin?2x????8是函数y=sin?2x???5???的一条对称轴方程； 4??????,0?成中心对称图形.其中命题正确的是（填序号）.答案 ①④ ?的图象关于点?3??12?7.（20082江苏，1）f(x)=cos(?x-

?6)最小正周期为

?5，其中?＞0，则?=.答案10

8.（20092东海高级中学高三调研）定义在R上的函数f(x):当sinx≤cosx时，f(x)=cosx;当sinx＞cosx时，f(x)=sinx.

给出以下结论：

①f(x)是周期函数②f(x)的最小值为-1③当且仅当x=2k? (k∈Z)时，f(x)取最大值

?④当且仅当2k?-＜x＜(2k+1)?(k∈Z)时，f(x)＞0⑤f(x)的图象上相邻最低点的距离是2?.

2其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)答案①④⑤ 二、解答题 9.已知x∈???????6,?，若方程mcosx-1=cosx+m有解，试求参数m的取值范围. 3?m?1m?1解由mcosx-1=cosx+m得cosx=,作出函数y=cosx的图象（如图所示），

由图象可得

??122≤

m?1m?1≤1,解得m≤-3.

,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a2b.

??10.设a=?sin??2x4?,cosx?sinx??（1）求函数f(x)的解析式；（2）已知常数?＞0，若y=f(?x)在区间??（3）设集合A=?x???2??上是增函数，求?的取值范围； ?23?,?6?x?23??，B={x||f(x)-m|＜2},若A?B，求实数m的取值范围.

????1?cos??x??2?2???2x解（1）f(x)=sin2

424sinx+(cosx+sinx)2(cosx-sinx)=4sinx2+cos2x

=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx+1,∴f(x)=2sinx+1.

???2k????2k?（2）∵f(?x)=2sin?x+1,?＞0.由2k?-≤?x≤2k?+,得f(?x)的增区间是??,??,k∈Z. ?2??2?22??∵f（?x）在??????3??2???2??????2?????0,?. ??上是增函数，∴.∴-≥且≤,∴∈??,?,?4?????32?2?223?232?2???????,（3）由|f(x)-m|＜2,得-2＜f(x)-m＜2,即f(x)-2＜m＜f(x)+2. ∵A?B，∴当

?6≤x≤

23?时，不等式f(x)-2＜m＜f(x)+2恒成立.

∴f（x）max-2＜m＜f(x)min+2,∵f(x)max=f(

?2)=3,f(x)min=f(

?6)=2,∴m∈（1，4）.

??11.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是?,且当x∈?0,12???时，f（x）=sinx. 2?（1）求当x∈［-?，0］时，f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)在［-?，?］上的函数简图； （3）求当f(x)≥

时，x的取值范围.

??解 （1）∵f(x)是偶函数，∴f（-x）=f（x）.而当x∈?0,∴当x∈???????时，f(x)=sinx. 2???f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.又当x∈,0?时，

2???????x+?∈?0,?， ???,??时，2???2?∵f（x）的周期为?，∴f（x）=f(?+x)=sin(?+x)=-sinx.∴当x∈［-?,0］时，f(x)=-sinx.

（2）如图

（3）由于f(x）的最小正周期为?,因此先在［-?，0］上来研究f(x)≥由周期性知，当x∈?k????5612,即-sinx≥

12,∴sinx≤-

12,∴-

5?6≤x≤-

?6.

?,k???????,k∈Z时，f(x)≥. 6?2112.已知a＞0，函数f(x)=-2asin?2x?????????+2a+b,当x∈?0,?时，-5≤f(x)≤1. 6??2?（1）求常数a,b的值；(2)设g(x)=f?x?解 （1）∵x∈?0,?????且lg g(x)＞0,求g(x)的单调区间. 2??????????7???1???，∴2x+6∈?,??.∴sin?2x??∈??,1?，∴-2asin?2x??∈［-2a,a］. 2?6?6??66???2??∴f(x)∈［b,3a+b］,

又∵-5≤f(x)≤1,因此可得b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5. （2）由（1）知a=2,b=-5,∴f（x）=-4sin?2x??????-1, 6?g(x)=f?x?????7???????=-4sin?2x??-1=4sin?2x??-1. 2?6?6?????又由lg g(x)＞0得g(x)＞1,∴4sin?2x?∴2k?+

?6??1???, ?＞?-1＞1,∴sin?2x?6?6?2?＜2x+

?6＜2k?+

5?6,k∈Z.

由2k?+由2k?+

?6＜2x+≤2x+

?6≤2k?+＜2k?+

?2(k∈Z),得g(x)的单调增区间为：?k?,k???????6?（k∈Z）

?2?65?6,得g(x)的单调减区间为?k?????6,k?????（k∈Z） 3? 函数y=Asin(?x+?)的图象及三角函数

模型的简单应用

1.（20082天津理，3）设函数f（x）=sin?2x??????，x∈R，则f（x）是（填序号）. 2?①最小正周期为?的奇函数②最小正周期为?的偶函数③最小正周期为2.（20082 浙江理，5）在同一平面直角坐标系中,函数y=cos?答案 2

3.为了得到函数y=2sin??x?3??x?2??2的奇函数④最小正周期为

?2的偶函数答案 ②

123???2?(x∈[0,2?])的图象和直线y=的交点个数是个.

???，x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点向平移单位，再把所有各点6?的横坐标变为原来的倍.答案 左 4.下面有五个命题：

?6 3

k?2①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是?.②终边在y轴上的角的集合是{?|?=③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点. ④把函数y=3sin(2x+

?3,k∈Z}.

?2)的图象向右平移

?6得到y=3sin2x的图象.⑤函数y=sin(x-)在［0,?］上是减函数.

其中，真命题的编号是.答案 ①④ 5.已知函数f(x)=2sin?x (?＞0)在区间???????,?上的最小值是-2，则?的最小值等于.答案2 34?3

例1 已知函数y=2sin?2x??????,

3?(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y=2sin?2x????????的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到. 3?解 （1）y=2sin?2x?（2）令X=2x+

?3???2?=?，初相?=. ?的振幅A=2,周期T=

323???,则y=2sin?2x????=2sinX.

3?列表，并描点画出图象：

（3）方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移的点的横坐标缩短到原来的

12?3个单位，得到y=sin?x???????????的图象，再把y=sin?x??的图象上3?3??倍（纵坐标不变），得到y=sin?2x?????????的图象，最后把y=sin?2x??上所有点的纵坐标伸3?3??长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin?2x????的图象.

3?方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的再将y=sin2x的图象向左平移得到y=sin2?x???12倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；

?6个单位；

???????????=sin?2x??的图象；再将y=sin?2x??的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的26?3?3??????的图象.

3??5??6倍，得到y=2sin?2x?例2 如图为y=Asin（?x+?）的图象的一段，求其解析式. 解方法一 以N为第一个零点，则A=-3，T=2?????3?=?，

∴?=2，此时解析式为y=-3sin（2x+?）.∵点N????????32+?=0，∴?=， ,0?，∴-636?所求解析式为y=-3sin?2x????????.

3? ①

方法二 由图象知A=3，以M????????0??3列方程组????5??????6??5???,0?为第二个零点. ,0?为第一个零点，P??6??3???2???. 3????2? 解之得?2?????3?.∴所求解析式为y=3sin?2x? ②

例3 （14分）已知函数f(x)=

A2-

A2cos(2?x+2?) (A＞0,?＞0,0＜?＜

?2),且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻

两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.

（1）求?;(2)计算f(1)+f(2)+?+f(2 008). 解 （1）∵y=

A2-

A2cos(2?x+2?),且y=f(x)的最大值为2，A＞0,∴

1?2??2?2???. ?=2,?=4?A2+

A2=2,A=2.

又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,?＞0,∴∴f(x)=

22-

22cos???????x?2??=1-cos?x?2??. ?2??2?????2???2?∵y=f(x)过(1,2)点，∴cos?又∵0＜?＜(2)∵?=

?4=-1.

?2?2?=2k?+?,k∈Z.∴?=k?+

?4,k∈Z.

?2，∴?=

?4.

???2

x?

,∴f(x)=1-cos????x.∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.又∵y=f(x)的周期为4， ?=1+sin22?2 008=43502,∴f（1）+f（2）+?+f（2 008）=43502=2 008.

1.已知函数y=3sin??1?2x????

4?（1）用五点法作出函数的图象；

（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相；

（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：

描点、连线,如图所示：

（2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y=sinx的图象上所有点向右平移

?4

个单位，得到y=sin?x?????????的图象；再把y=sin?x??的图象上所有点的横坐标4?4??伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到 y=sin??1?2x??????1，就得到y=3sin?的图象，最后将y=sin?x??的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）

4?4??2???1?x??的图象.

4??2方法二 “先伸缩，后平移”

先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin有的点向右平移得到y=sin

1212x的图象；再把y=sin

12x图象上所

?2个单位， )=sin????x?2?(x-?1?2?2???x??最后将y=sin???的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），?的图象，

4?4??2就得到y=3sin?（3）周期T=

x??的图象.

4?2??=

2?12=4?，振幅A=3，初相是-32?4.

(4)令令

1212x??4=

?2+k?(k∈Z),得x=2k?+

?2?(k∈Z),此为对称轴方程.

??x-

?4=k? (k∈Z)得x=

+2k?(k∈Z).对称中心为?2k???2??,0?(k∈Z). 2?2.函数y=Asin(?x+?)(?＞0,|?|＜式为. 答案y=-4sin????813,x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达

x???? 4?3.已知函数f(x)=Asin?x+Bcos?x (其中A、B、?是实常数，且?＞0)的最小正周期为2,并当x=

时,f(x)取得最大值2.

（1）函数f(x)的表达式； （2）在闭区间??2123?,?上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说明理由. ?44?2?22解 （1）f(x)=Asin?x+Bcos?x=A?Bsin(?x??)由T=

?=2知?=?，

又因为f（x）最大值为2，所以f（x）=2sin（?x+?）. 由x=

13时f（x）max=2，得sin??6?????.∴f（x）=2sin??x??. ???=1，∴?=66??3????（2）令?x+即

5912=k?+

?2（k∈Z）得对称轴方程为x=k+

13，由对称轴满足

214≤k+

13≤

234（k∈Z）

≤k≤

136512且k∈Z，∴k=5.故在?163?2123?,?上f（x）只有一条对称轴. ?44?x=5+

=

163，即对称轴方程为x=.

一、填空题

1.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为.

答案y=cos?2x?????? 6???2.（20082全国Ⅰ理，8）为得到函数y=cos?2x???只需将函数y=sin2x的图象向平移个单位长度.答案 左 ? ?的图象，

3?12???4,53.（20082湖南理，6）函数f(x)=sin2x+3sinxcosx在区间???2?上的最大值是.答案?32

4.（20082四川理，10）设f（x）=sin（?x+?），其中?＞0,则f(x)是偶函数的充要条件是.答案f′(0)=0 5.函数y=3sin??1?2x????的周期、振幅依次是答案 4?、3

3?????????x?=f??x?，则f??=.答案 -2或2 ?6??6??6???6.若函数f(x)=2sin(?x??)对任意x都有f?7.（20082辽宁理，16）已知f(x)=sin??x????????????????(?＞0),f??=f??,且f(x)在区间?,?上有最小值，无最大值，3??6??3??63?则?=.答案

143

128.函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为.答案 2?-二、解答题

9.是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+在，说明理由.

a?a51?解y=1-cosx+acosx+a-=??cosx????a?

282?482?2

58a-

32在闭区间?0,

?

???

上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存

2??

5322当0≤x≤若

a2?2时，0≤cosx≤1，

58a-32＞1,即a＞2,则当cosx=1时ymax=a+

a2=1,∴a=

a22013＜2(舍去).

12若0≤若

a2≤1，即0≤a≤2,则当cosx=

a2时,ymax=

58a?124?58a?=1,∴a=

32或a=-4(舍去).

＜0,即a＜0时,则当cosx=0时,ymax=

32=1,∴a=

125＞0(舍去).

综上所述,存在a=符合题设.

?610.已知函数f(x)=sin（?x+）+sin（?x-

?6?x）-2cos2,x∈R(其中?＞0).

2

(1)求函数f(x)的值域；

(2)若对任意的a∈R，函数y=f(x),x∈(a,a+?］的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定?的值（不必证明），并求函数y=f(x),x∈R的单调增区间. 解 （1）f(x)=

32sin?x?12cos?x?32sin?x?12cos?x?(cos?x?1)

?3?1????-1=2sin?sin?x?cos?x=2??x?? -1. ?2?26????由-1≤sin??x?????????≤1,得-3≤2sin??x??-1≤1.可知函数f(x)的值域为［-3，1］. 6?6??2?（2）由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f(x)的周期为?,又由?＞0,得于是有f(x)=2sin?2x????=?,即得?=2. ?????-1,再由2k?-≤2x-≤2k?+(k∈Z)，解得k?-≤x≤k?+(k∈Z).

6?26263?????所以y=f(x)的单调增区间为?k???6,k??????(k∈Z).

3???????????+2sin?x??2sin?x??.

4?4?3????11.（20082安徽理，17）已知函数f(x)=cos?2x?(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间??解 （1）∵f（x）=cos?2x?????12,???2?上的值域.

??3????1??sin2x+（sinx-cosx）(sinx+cosx) ?+2sin?x??2sin?x??=cos2x+24?4?23???=

12cos2x+

32sin2x+sin2x-cos2x=

12cos2x+

32sin2x-cos2x=sin?2x??????. 6?∴周期T=由2x?2?2=?. ?2?6?=k?+

?,(k∈Z),得x=

k?2????3?3,(k∈Z).∴函数图象的对称轴方程为x=

5???6?k?2??3(k∈Z).

(2)∵x∈????2??12?，∴2x??6?∈???.

??∵f（x）=sin?2x?????,?上单调递增，在区间?,?上单调递减， ?在区间??6??123??32???3???1＜f??=, ?=-212??2?2????∴当x=

?3时，f(x)取得最大值1,又∵f????∴当x=??12时，f(x)取得最小值-

32.∴函数f(x)在??1?t1?t?,1?. ?上的值域为??2?122?????,????3?12.（20082湖北理，16）已知函数f(t)=，g(x)=cosx2f(sinx)+sinx2f(cosx),x∈??,??17??. 12??（1）将函数g(x)化简成Asin(?x+?)+B(A＞0,?＞０,?∈［0，2?)）的形式； （2）求函数g(x)的值域. 解 (1)g(x)=cosx2=cosx2

??1?sinxcosx1?sinx1?sinx?sinx?1?cosx1?cosx=cosx2

?1?sinx?2cos2?sinx?(1?cosx)sin22

xx+sinx2

1?cosxsinx.

∵x∈??,17??，∴|cosx|=-cosx，|sinx|=-sinx. 12??∴g（x）=cosx2（2）由?＜x≤∵sint在?sin

5?3?5??4,1?sinx?cosx12+sinx2

5?41?cosx?sinx=sinx+cosx-2=2sin?x??????-2.

4?17?，得＜x+

?4≤

5?3.

3???3?5??,上为减函数，在?上为增函数， ?3?2??2?＜sin

5?4,∴sin

3?2≤sin?x?????5??＜sin4?4??17????x???,???? 12????

即-1≤sin?x?????2,∴-?＜-24?2-2≤

???2sin?x??-2＜-3,故g（x）的值域为［-4??2-2，-3）.

两角和与差的正弦、余弦和正切

1.已知sin?=

35,且?∈???3sin2a?的值等于.答案? ,??，那么

22?2?cosa472.已知tan(?+?)=3，tan(?-?)=5，则tan2?=.答案 -3. 设?∈（0，

?2

15），若sin?=

??35，则2cos（?+??4?+sin?=6?5?4）=.答案

4.（20082山东理）已知cos???47???3,则sin????的值是.答案?

6?5?5.函数y=cosx(sinx+cosx)的最小正周期为.

2?例1 求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］22sin80的值.

答案?

例2 已知cos(??解??????2)=-

19,sin(

?2-?)=

23,且

?2＜?，?＜

?2，求cos

???2的值.

???????????????,∵＜?＜π,0＜?＜∴＜?-＜π,-＜-?＜. ???????2??222224424???5??45????2?2??,cos????=1?sin????= ?=?=1?cos???392222???????∴sin?????∴cos??????????????????75. ?=cos????cos????+sin????sin????=272?2??2???2???2?55例3 若sinA=,sinB=

101055,且A,B均为钝角,求A+B的值. ,sinB=

???解∵A、B均为钝角且sinA=

1010，∴cosA=-1?sin

2A=-

25=-

255，cosB=-1?sin2B=-

310=-

31010，

∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=?? 又∵

?2?31025??3???5?10???5102?-3=

?5210?

?2

＜B＜?,

12＜A＜?,∴?＜A+B＜2? cos2?2cos2?.

②由①②知，A+B=

7?4.

例4化简sin2?2sin2?+cos2?cos2?-

解方法一 （复角→单角，从“角”入手） 原式=sin?2sin?+cos?2cos?-=sin?2sin?+cos?2cos?-2

2

2

2

2

2

2

2

122(2cos?-1)2(2cos?-1)

2

2

2

2

22

12 (4cos?2cos?-2cos?-2cos?+1)

12=sin2?2sin2?-cos2?2cos2?+cos2?+cos2?-=sin2?+cos2?-12=sin2?2sin2?+cos2?2sin2?+cos2?-

12

=1-

12=

12.

方法二 （从“名”入手，异名化同名） 原式=sin2?2sin2?+(1-sin2?)2cos2?-=cos?-sin?2cos2?-=

1?cos2?2

2

12cos2?2cos2?=cos2?-sin2? (cos2?-sin2?)-2

12cos2?2cos2?

12cos2?2cos2?=cos?-cos2?2?sin2????1?cos2?)?2?

111??1?cos2?22-cos2?2?sin??(1?2sin?)?=-cos2?=.

22222??方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）

1?cos2?1?cos2?1?cos2?1?cos2?1原式=2+2-cos2?2cos2?

22222=

14（1+cos2?2cos2?-cos2?-cos2?）+

14 (1+cos2?2cos2?+cos2?+cos2?)-

122cos2?2cos2?=

12.

方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）

原式=(sin?2sin?-cos?2cos?)2+2sin?2sin?2cos?2cos?-=cos2(?+?)+=cos2(?+?)-

1.求值：（1）已知cos?????12cos2?2cos2?

1212sin2?2sin2?-

12cos2?2cos2?=cos2(?+?)-12122cos(2?+2?)

2［2cos2(?+?)-1］=.

??4???????5?,且＜?＜π,0＜?＜,求cos的值； ? =-,sin????=

2?132?5222?1114（2）已知tan?=43,cos(?+?)=-解 （1）?????,?、?均为锐角，求cos?的值.

??????????,∵＜?＜?,0＜?＜. ?+???? =

2??2?222∴??∴cos

?2∈??3??????????12???2,??,??∈??,?∴sin????=1?cos(??)=,cos????=1?sin2(??)?,

21324242225?????????????2=cos?(?????2)?(????)?2?=cos??????????4125363??????-3=-. ?cos????-sin????sin????=(?)3

56513135222?2??????(2)∵tan?=43,且?为锐角， ∴

sin?cos??43,即sin?=43cos?,又∵sin2?+cos2?=1, ,cos?=

17∴sin?=

437.∵0＜?,?＜

5314?2,∴0＜?+?＜?,

∴sin(?+?)=1?cos2(???)=

.而?=(?+?)-?,∴cos?=cos［（?+?）-?］

??11??14?=cos(?+?)cos?+sin(?+?)sin?=??3

17+

53143

437=

12.

3.在△ABC中，角A、B 、C满足4sin2

A?C2A?C2-cos2B=

72,求角B的度数.

72解 在△ABC中，A+B+C=180°,由4sin2所以4cos2B-4cosB+1=0.于是cosB=4.化简：（1）2sin?????x??4?12-cos2B=,得42

1?cos(A?C)2-2cos2B+1=

72,

,B=60°.

????x??4?+6cos?;(2）

2cos2??1?2???????4????2tan????sin?4?.

解 （1）原式=22?sin??13??????x???cos??x??=2

????????????sin??x??coscos??x?? 2?sin??2?4?2?4????6?4?6?4=22cos?????x??6??=2cos(x-

?42?12). （2）原式=

cos2?=

cos2?cos2?=1.

1?tan???1?cos????2????1?sin2?(1?sin2?)1?tan???2???

一、填空题 1.已知tan(?+?)=

2???1?35,tan????4?=

?4,那么tan ?????4?=.答案

??22

2.sin163°2sin223°+sin253°2sin313°=.答案12

3.已知x∈?????,cosx=

4,则tan2x=.答案 -24?2,0??57

4.已知cos2?=1（其中?∈?2???4,0??），则sin?的值为.答案 -1

??25.（cos

???312?sin12）(cos

12?sin?12)=.答案2

2sin2x6.若f(x)=2tanx-2?1，则f?????的值为.答案 8 sinxcosx?12?227.（20082上海理，6）函数f(x)=3sinx+sin????x??的最大值是.答案 2

?2?8.求值：cos4?4

3??38+cos8+cos4

5?4

78+cos8=.答案2

二、解答题 9.已知tan?=17,tan?=

13,并且?,?均为锐角，求?+2?的值.

解 ∵tan?=

17＜1,tan?=

13＜1,且?、?均为锐角，∴0＜?＜

?4,0＜?＜

?4.

∴0＜?+2?＜3?4.又tan2?=2tan?=

31?tan2?4,

1?3∴tan(?+2?)=

tan??tan2?4?1?tan??tan2?=

7=1.∴?+2?=

1?1?34.

7410.若函数f（x）=

1?cos2xx??4sin(?-asin

cos????2?的最大值为2，试确定常数a的值.

?2?x)22???解f（x）=

2cos2x4cosx14+asin

x2cos

x2=

12cosx+

a2sinx=

14?a24sin（x+?），其中角?满足sin?=

11?a2.

由已知，有+

a24=4.解之得a=±15. 2sin???????2???4?11.已知sin?解 ∵sin?∴cos4?=

2

????2???4?=

14,?∈??????4,???2?,求2sin2?+tan?-???????2??2?4??????1tan?-1的值.

12????2???4?12sin???2???4????4,=

14,∴sin?5?3??2???4?cos?,

2

=

14,即

sin?????4???2?=

14,sin?????4???2?=

12,

，又∵?∈?1tan????2?,∴4?=

2

,?=

cos?sin?5?12∴2sin?+tan?--1=2sin?+

sin?cos?--1=2sin?-1+

sin2??cos?2sin?cos?

=-cos2?+

?cos2?12sin2?=-cos

5?62cos5?-sin65?6?3??2?????253??=-=

12223.

12.已知tan(?+?)=-

13,tan(?+?)=

13sin(??2?)?4cos?10cos??sin2?22.(1)求tan(?+?)的值；（2）求tan?的值.

解 （1）∵tan(?+?)=-∵tan(?+?)==

sin??2cos?5cos??sin?,∴tan?=-213,

2sin(??2?)?4cos?10cos??sin2??tan??25?tan?2=

sin2??4cos?10cos??sin2?2=

2sin?cos??4cos?10cos??2sin?cos?22=

2cos?(sin??2cos?)2cos?(5cos??sin?)

,

?13?213∴tan(?+?)==

516.

5?5(2)∵tan?=tan［(?+?)-?］=

tan(???)?tan?1?tan(???)tan?,∴tan?=161??513?13=

3143.

16单元检测四

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是?，且当x∈?0,?????2?时，f（x）=sinx，则

f?3?5???的值为.答案

2?3?

?82.设点P是函数f(x)=29sin?x的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是正周期是.答案

?2,则f(x)的最小

3.y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小正周期和最小值分别为.答案 ?,2-2 4.（20092徐州六县一区联考）设sin?=

35(

?2＜?＜?),tan(?-?)=

12,则tan(?-?)的值等于答案 -

211

5.将函数f(x)=3sin2x-cos2x的图象向右平移?(?＞0)个单位，所得函数是奇函数，则实数?的最小值为. 答案

5?12

6.定义运算

?a?b,ab?0?a*b=?a?,ab?0?b35,则函数f(x)=(sinx)*(cosx)的最小值为.答案 -1

7.cos(?+?)=

,sin???????565??????,?,?∈?0,?，那么cos????的值为.答案 ?=

654?1342????8.已知函数f(x)=asinx-bcosx(a、b为常数,a≠0，x∈R)在x=“偶”，“非奇非偶”填空）答案 奇 9.（20082重庆理，10）函数f（x）=

sinx?13?2cosx?2sinx?4处取得最小值，则函数y=f??3??，?x?是函数.（用“奇”

4??(0≤x≤2?）的值域是.答案 ［-1，0］

??1?2????,0??3?10.设a=(a1,a2),b=（b1,b2），定义一种向量积：a?b=（a1,a2）?(b1,b2)=(a1b1,a2b2).已知m=?2,?,n=?,点P(x,y)

在y=sinx的图象上运动，点Q在y=f(x)的图象上运动，且满足OQ=m?OP+n(其中O为坐标原点)，则y=f(x)的最大值A及最小正周期T分别为.答案11.若cos(?+?)=

1512,4?

35,cos(?-?)=,则tan?2tan?=.答案

12

12.函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈［0，2?］的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范答案 1＜k＜3 13.若f（x）=asin?x??????4?+bsin?x??????（ab≠0）是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是.（注：只要填满足4?a+b=0的

一组数字即可）答案 （1，-1） 14.关于函数f(x)=2sin?3x???34??,有下列命题： ?34?①其最小正周期为③在???5????1212?,23?；②其图象由y=2sin3x向左平移个单位而得到；

上为单调递增函数，则其中真命题为（写出你认为正确答案的序号）.答案 ①③

二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15.（14分）已知?∈?0,?????2?,?∈?513???,???2?且sin(?+?)=

12133365,cos?=-

513.求sin?.

解 ∵?∈?又∵0＜?＜

???,???2?，cos?=-,∴sin?=

?2.

3?2?2,

?2＜?＜?,∴,

＜?+?＜,

又sin(?+?)=∴=-?23365＜?+?＜?,cos(?+?)=-1?sin2(???)

2?33?1????65?=-

5665,

∴sin?=sin［(?+?)-?］

=sin(?+?)cos?-cos(?+?)sin? =

33652????5??13?-????56??65?2

1213=

35.

?216.（14分）已知函数f(x)=Asin(?x+?)(A＞0,?＞0,|?|＜（1）求f(x)的表达式； （2）设g(x)=f(x)-3f?x???) (x∈R)的部分图象如图所示.

???4?,求函数g(x)的最小值及相应的x的取值集合.

解 （1）由图象可知：A=1， 函数f(x)的周期T满足：

T4=

?3-

?12=

?4，T=?，

∴T=

2??=?.∴?=2.∴f（x）=sin(2x+?).

又f（x）图象过点???,1?,

?12??∴f?????=sin???????=1，???=2kπ+

??12??6?62（k∈Z）.

又|?|＜?,故?=

??22x???3.∴f（x）=sin??3?.

?（2）方法一g(x)=f(x)-3 f?

??x???4??=sin??2x????3?-3sin???2x?????2?3?

?=sin???2x???3?-3sin???2x?5???6? ?=

1sin2x+32cos2x+322sin2x-32cos2x

=2sin2x, 由2x=2k?-?2(k∈Z),得x=k?-

?4(k∈Z),

∴g(x)的最小值为-2，相应的x的取值集合为???x|x?k???4,k???. ?Z

方法二g(x)=f(x)-3f??x????4?

?=sin??2x???3sin??2x????

?3?-??2?3??=sin??2x???3?-3cos????2x????3? ?=2sin???????2x???3????3?=2sin2x,

?由2x=2k?-

?2(k∈Z),得x=k?-?4(k∈Z),

∴g(x)的最小值为-2,相应的x的取值集合为{x|x=k?-?4,k∈Z}.

17.(20082江苏，15)（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角?，?，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为

22510，

5.

（1）求tan(?+?)的值； （2）求?+2?的值. 解 由条件得cos?=2?2510,cos=

5.

∵?,?为锐角,

∴sin?=1?cos2?=

7210,

sin?=1?cos2?=

55.

因此tan?=

sin?=7,tan?=sin?cos?cos?=

12.

1(1)tan(?+?)=

tan??tan?7?21?tan??tan?=1=-3.

1?7?2

(2)∵tan2?=

2tan?1?tan2=

?2121?()22?1=

43,

∴tan(?+2?)=

tan??tan2?1?tan??tan2?7?43433?4==-1.

1?7?3?2∵?,?为锐角,∴0＜?+2?＜,∴?+2?=.

18.（16分）已知tan?、tan?是方程x2-4x-2=0的两个实根，求:cos2(?+?)+2sin(?+?)cos(?+?)-3sin2(?+?)的值.

解 由已知有tan?+tan?=4,tan?2tan?=-2, ∴tan(?+?)=

tan??tan?1?tan?tan?=

43,

cos2(?+?)+2sin(?+?)cos(?+?)-3sin2(?+?) ==

cos2(???)?2sin(???)cos(???)?3sincos22(???)

(???)?sin22(???)1?2tan(???)?3tan1?tan2(???)

(???)351?2?43?3?169169==-.

1?19.（16分）把曲线C：y=sin?（1）求a的最小值；

?7??????x?2cos?x??向右平移

8??8????8?79???8?a (a＞0)个单位，得到的曲线C′关于直线x=

?4对称.

（2）就a的最小值证明：当x∈??（1）解 ∵y=sin?=sin?x????7?,?时，曲线C′上的任意两点的直线斜率恒大于零.

?????x??cos?x??

8??8????????cos?x??8?8?????,

4?12

=

12sin?2x???∴曲线C′方程为y=它关于直线x=∴

12sin?2(x?a)??????4?，

?4对称，

???4?sin?2(?????4?a)?=±

?212，

即2????a?+?4?4=k?+(k∈Z),

解得a=

?8-

k?2(k∈Z),

?8∵a＞0,∴a的最小值是（2）证明 当a=由函数y=当x∈????12.

12?8时，曲线C′的方程为y=sin2x.

sin2x的图象可知：

,?9???8?8?7时，函数y=

12sin2x是增函数，

所以当x1＜x2时，有y1＜y2, 所以

y2?y1x2?x1＞0，即斜率恒大于零.

?820.（16分）设函数f（x）=sin（2x+?）（-?＜?＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=（1）求?；

（2）求函数y=f（x）的单调增区间；

（3）证明：直线5x-2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切. （1）解 ∵x=∴sin?2???.

?8是函数y=f（x）的图象的对称轴， =±1， ，k∈Z.

3?4?????8?∴

?4+?=k?+

?2∵-?＜?＜0，∴?=-.

3?4（2）解 由（1）知?=-由题意得2k?-则k?+

?8，因此y=sin?2x???3???4?.

?2≤2x-583?4≤2k?+

?2，k∈Z.

≤x≤k?+

???，k∈Z

所以函数y=sin?2x??5???,k???k???88??3???4?的单调增区间为

，k∈Z.

3?4（3）证明 ∵|y′|=|（sin（2x?=|2cos（2x?3?4））′|

）|≤2，

52∴曲线y=f（x）的切线斜率的取值范围是［-2，2］，而直线5x-2y+c=0的斜率为y=sin（2x?3?4＞2，所以直线5x-2y+c=0与函数

）的图象不相切.

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