2016年高考天津卷理数试题及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（理工类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分 参考公式：

如果事件 A，B 互斥，那么·如果事件 A，B 相互独立， P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A) P(B)．

柱体的体积公式V 柱体=Sh锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高．h 表示锥体的高．

第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合A?{1,2,3,4},B?{y|y?3x?2，x?A},则A?B=

（A）{1} （B）{4} （C）{1,3} （D）{1,4}

?x?y?2?0,?（2）设变量x，y满足约束条件?2x?3y?6?0,则目标函数z?2x?5y的最小值为

?3x?2y?9?0.?（A）?4 （B）6 （C）10 （D）17

?（3）在△ABC中，若AB=13,BC=3，?C?120 ,则AC=

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8

（5）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n?1+a2n<0”的

（A）充要条件（B）充分而不必要条件

（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件

x2y2?=1（b>0）（6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴4b2长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为

x23y2x24y2x2y2x2y2?=1（B）?=1（C）?2=1（D）?=1 （A）

4b4124443（7）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则AF?BC的值为 （A）???51111（B）（C）（D） 8848?x2?(4a?3)x?3a),x?0,（8）已知函数f（x）=?（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于

?loga(x?1)?1,x?0x的方程│f（x）│=2?x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 （A）（0，

223123123] （B）[，] （C）[，]?{}（D）[，）?{} 334334334第II卷

注意事项：

1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2、本卷共12小题，共计110分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）已知a,b?R，i是虚数单位，若(1+i)(1-bi）=a，则

a的值为_______. b28（10）(x?)的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)

1x（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.

（第11题图）

（12）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.

(13)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-?，0）上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)＞f（-2），则a的取值范围是______.

?x?2pt2(14)设抛物线?，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂

y?2pt?线，垂足为B.设C（p的值为_________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (15) 已知函数f(x)=4tanxsin(

7p,0），AF与BC相交于点E. 若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为32，则2?2?x)cos(x??3)-3. (Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[???,]上的单调性. 44

（16）（本小题满分13分）

某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.

（17）（本小题满分13分）

如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.

（I）求证：EG∥平面ADF；

（II）求二面角O-EF-C的正弦值； （III）设H为线段AF上的点，且AH=

2HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值. 3

（20）（本小题满分14分）

设函数f(x)=（x-1）3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R。 (I)求f(x)的单调区间；

(II)若f(x)存在极点x0，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3； (III)设a＞0,函数g(x)=∣f(x)∣,求证：g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于．．．.

1．D

2016年天津高考数学（理科）答案与解析

10?，∴A?B??1，4?，选D． 【解析】A??1，2，3，4?，B??1，4，7，2．B

【解析】

z=2x+5y=0zmin=6(3，0)

可行域如上图所示，则当取点(3,0)时，z?2x?5y取得最小值为6

3．A

【解析】设AC?x

x2?9?131?? 由余弦定理得：cos120??2?x?32 x2?4??3x?x2?3x?4?0 x?1或?4（舍），∴AC?1，选A． 4．B

【解析】第一次：s?8，n?2 第二次：s?2，n?3 第三次：s?4，n?4，满足n?3，输出s?4. 5．C

【解析】设数列的首项为a1，则a2n?1?a2n?a1q2n?2?a1q2n?1=a1q2n?2(1?q)?0，即q??1，

故q?0是q??1的必要不充分条件．

6．D 【解析】

yABxDC渐近线OB:y?bx 2

b?1b2b?设B?x0，x0?，则?x0?x0?，

2?228?b2?b?2∴x0?1，∴B?1，?，∴1??22，∴b2?12

4?2?x2y2∴??1 412 7．【解析】B

ADBEFC

????????????BC?AC?AB

????????????1????3????1????3????AF?AD?DF?AB?DE?AB?AC

2224?????????????????1????3?????∴BC?AF?AC?AB?AB?AC?

4?2?11133113131??1?1?????1?1??????，选B． 22244244288??

8．C 【解析】

由y?loga(x?1)?1在[0,??)上递减，则0?a?1 又由f(x)在R上单调递减，则：

?02?(4a-3)?0?3a?f(0)?113??≤a≤ ?3?4a34?0??2由图像可知，在[0,+?)上，f(x)?2?x有且仅有一个解， 故在(??,0)上，f(x)?2?x同样有且仅有一个解， 2时，联立x2?(4a?3)x?3a?2?x， 33则??(4a?2)2?4(3a?2)?0，解得：a?或1（舍），

4当1≤3a≤2时，由图像可知，符合条件.

?12??3?综上：∴a??，????

?33??4?选C．

当3a?2即a? 9．

a?2 b【解析】?1?i??1?bi??a，1?b?i?bi?a，∴1?b?a

?b?1a，?2 ??a?2b10．?56 【解析】C?x5825??1???????56x7，∴系数为-56 ?x?311．2

【解析】V?2×1×3×1?2 3312

12．23 3【解析】连接OD，可得，△BOD?△BDE，?BD2?BO?BE?3?BD?DE=3

?△AEC?△DEB，

1EC23AECE=?EC=?，即，3 DEBE32CAEBD

13．

13?a? 220?单调递增；?0，???单调递减 【解析】由f?x?是偶函数可知，???，又f2a?1?f?2，f?2?f可得，214．P?6 3?p?【解析】x、y满足函数y2?2px；?F?,0??CF?3p，AB?AF=p

2?2?a?1???????2?

?2即a?1?113??a? 222可得：Ap，2p 易知?AEB??FEC，22p?32 2?p2?6 ?AEAB1111??，故S△ACE?S△ACF??3p?2p?

332FEFC2???p?0，∴p?6

15．

π??π??【解析】f?x??4tanxsin??x?cos?x???3 3??2???1?3cosx?sinx ?4sinx???2??3 2?? ?sin2x?3?1?cos2x??3 ?sin2x?3cos2x π?? ?2sin?2x??．

3??

?π?2π(Ⅰ)定义域?xx??kπ，k?Z?,T??π

22??ππ5ππππ（Ⅱ）?≤x≤，?≤2x?≤，设t?2x?，

446363π??5π?ππ?∵y?sint在t???，??时单调递减，在t???，?时单调递增

2??6?26?-5π6-π2

由?5ππππππππππ?2x???解得?≤x≤?，由??2x??解得??x≤ 632412236124π??ππ??π∴函数f?x?在??，?上单调增，在??，??上单调减

12??124??4

16． 【解析】（Ⅰ）设事件A：选2人参加义工活动，次数之和为4

12C113C4?C3 P?A?? ?2C103（Ⅱ）随机变量X可能取值 0，1，2

222C3?C3?C44 P?X?0?? ?2C1015111C173C3?C3C4 P?X?1??? 2C10151C143C4 P?X?2??2?

C1015X P 0 1 2 474 151515 E?X??78??1 151517． 【解析】（Ⅰ）证明：找到AD中点I，连结FI，

∵矩形OBEF,∴EFOB

∵G、I是中点，∴GI是△ABD的中位线

1∴GI∥BD且GI?BD

2∵O是正方形ABCD中心

1∴OB?BD

2∴EF∥GI且EF=GI

∴四边形EFIG是平行四边形 ∴EG∥FI

∵FI?面ADF ∴EG∥面ADF

（Ⅱ）O?EF?C正弦值

解：如图所示建立空间直角坐标系O?xyz

EzF∥HBOxCGIDyA

B0，?2，0，C??设面CEF的法向量n1??x，y，z? ???????n1?EF??x，y，z??0，2，0?2y?0? ???????0，2??2x?2z?0?n1?CF??x，y，z???2，????0，2? 2，0，0，E0，?2，2，F?0，????????x?2?得：?y?0

?z?1???∴n1?2，0，1

??∵OC?面OEF，

???∴面OEF的法向量n2??1，0，0?

??????2n1?n2??????6 cos?n1，n2??????????3?13n1n2??????6?3sin?n1，n2??1??? ??3?3??2（Ⅲ）∵AH?HF

3?????2????2?224?2，0，2??，0，∴AH?AF???5? 555??设H?x，y，z?

2????????224?，0，∴AH?x?2，y，z????5? 5????32x??5??得：?y?0

?4?z?5?????????324?BH???，2，??5? 5??64????????BH?n1???????755 cos?BH，n2??????????2122BHn13?5 18．

【解析】⑴Cn?bn?12?bn2?an?1an?2?anan?1?2d?an?1

Cn?1?Cn?2d(an?2?an?1)?2d2为定值．

∴?Cn?为等差数列

⑵Tn??(?1)kbk2?C1?C3?????C2n?1?nC1?k?12nn(n?1)?4d2?nC1?2d2n(n?1)（*） 22?b12?a2a3?a1a2?2d?a2?2d(a1?d)?4d2 由已知C1?b2将C1?4d2代入（*）式得Tn?2d2n(n?1) 11∴??22dk?1Tkn?k(k?1)k?1n1?1111111(1?????????)?2，得证 22d223kk?12d

19． 【解析】

lHOFMAkB(xB , yB)

（Ⅰ）

113e ??OFOAFAa2?33?11a?∴? 22aa?3a?a?3解之得a?2

x2y2?1 ∴椭圆方程为：?43（Ⅱ）由已知，设l斜率为k(k?0)，方程为y?k(x?2)

设B(xB，yB)M(x0，k(x0?2))，x0≥1(?MOA≤?MAO)，H(O，yH) ?x2y2?1???(3?4k2)x2?16k2x?16k2?12?0，??0成立 3?4?y?k(x?2)?16k2?128k2?6?12kx?由韦达定理2?xB?，∴， y?k(x?2)?BBB3?4k23?4k23?4k21lHM:y?k(x0?2)??(x?x0)

k1??令x?0，得yH??k??x0?2k

k??????????∵HF?FB，∴FH?FB?(?1，yH)?(xB?1，yB)?0 8k2?612k即1?xB?yHyB?1??3?4k23?4k29?20k2∴x0?≥1，∴8k2≥3 212(k?1)??1??k?x?2k?0????0 k????∴k≥ 20.

66或k≤?． 44【解析】（1）f?x???x?1??ax?bf'?x??3?x?1??a

23

① a≤0，单调递增；

??a?aa???,1?1?,1?②a?0，f?x?在?单调递增，在???????单调递减，在333??????a??1?3,????单调递增 ??（2）由f'?x0??0得3?x0?1??a

∴f?x0???x0?1??3?x0?1?x0?b??x0?1???2x0?1??b

3222f?3?2x0???2?2x0??3?x0?1??3?2x0??b

??x0?1??8?8x0?9?6x0??b

232=?x0?1???2x0?1??b ?f?3?2x0??f?x0?=f?x1??x1?2x0?32

1，只需证在区间[0，2]上存在x1,x2， 4

（3）欲证g(x)在区间[0，2]上的最大值不小于

1使得g(x1)?g(x2)≥即可

2①当a≥3时，f?x?在?0，2?上单调递减

f(2)?1?2a?b f(0)??1?b

1f(0)?f(2)?2a?2≥4?递减，成立

2当0?a?3时，

??a??a?a?aaa2a???a?a?b?a?a?b f?1????a1??b????????3???3333333????????a?aaa?2af?1???a1??b??a?a?b ?????33??3333????∵f(2)?1?2a?b f(0)??1?b ∴f(2)?f(0)?2?2a

13若0?a≤时，f?0??f?2??2?2a≥，成立

24??a?a?4a131??f1?当a?时，f?????????3a3?2，成立 334????3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/l9y.html