地球椭球体(Ellipsoid)、大地基准面(Datum)及地图投影(Projection)三者的基本概念

地球椭球体(Ellipsoid)、大地基准面(Datum)及地图投影

(Projection)三者的基本概念

地球椭球体(Ellipsoid)

众所周知我们的地球表面是一个凸凹不平的表面，而对于地球测量而言，地表是一个无法用数学公式表达的曲面，这样的曲面不能作为测量和制图的基准面。假想一个扁率极小的椭圆，绕大地球体短轴旋转所形成的规则椭球体称之为地球椭球体。地球椭球体表面是一个规则的数学表面，可以用数学公式表达，所以在测量和制图中就用它替代地球的自然表面。因此就有了地球椭球体的概念。 地球椭球体有长半径和短半径之分，长半径(a)即赤道半径，短半径(b)即极半径。f=（a-b）/a为椭球体的扁率，表示椭球体的扁平程度。由此可见，地球椭球体的形状和大小取决于a、b、f 。因此，a、b、f被称为地球椭球体的三要素。 对地球椭球体而言，其围绕旋转的轴叫地轴。地轴的北端称为地球的北极，南端称为南极；过地心与地轴垂直的平面与椭球面的交线是一个圆，这就是地球的赤道；过英国格林威治天文台旧址和地轴的平面与椭球面的交线称为本初子午线。以地球的北极、南极、赤道和本初子午线等作为基本要素，即可构成地球椭球面的地理坐标系统(A geographic coordinate system (GCS) uses a three

dimensional spherical surface to define locations on the earth. A GCS includes an angular unit of measure, a prime meridian,and a datum (based on a spheroid).)。可以看出地理坐标系统是球面坐标系统，以经度/维度（通常

以十进制度或度分秒(DMS)的形式）来表示地面点位的位置。

地理坐标系统以本初子午线为基准（向东，向西各分了1800）之东为东经其值为正，之西为西经其值为负；以赤道为基准（向南、向北各分了900）之北为北纬其值为正，之南为南纬其值为负。

图1 地表任意位置的坐标值

大地基准面（Geodetic datum）

大地基准面（Geodetic datum），设计用为最密合部份或全部大地水准面的数学模式。它由椭球体本身及椭球体和地表上一点视为原点间之关系来定义。此关系能以 6个量来定义，通常（但非必然）是大地纬度、大地经度、原点高度、原点垂线偏差之两分量及原点至某点的大地方位角。

大地基准面即是一个经过与地球定位定向之后的椭球面，是大地高的起算面，而高程基准面是一个重力等位面（如大地水准面），在我国高程基准面是以似大地水准面为起算面，所确定的高程为正常高，而大地基准面是大地高的起算面，大地高与正常高之差即为高程异常．

让我们先抛开测绘学上这个晦涩难懂的概念，看看GIS系统中的基准面是如何定义的，GIS中的基准面通过当地基准面向WGS1984的转换7参数来定义，转换通过相似变换方法实现，具体算法可参考科学出版社1999年出版的《城市地理信息系统标准化指南》第76至86页。假设Xg、Yg、Zg表示WGS84地心坐标系的三坐标轴，Xt、Yt、Zt表示当地坐标系的三坐标轴，那么自定义基准面的7参数分别为：三个平移参数ΔX、ΔY、ΔZ表示两坐标原点的平移值；三个旋转参数εx、εy、εz表示当地坐标系旋转至与地心坐标系平行时，分别绕Xt、Yt、Zt的旋转角；最后是比例校正因子，用于调整椭球大小。

那么现在让我们把地球椭球体和基准面结合起来看，在此我们把地球比做是“马铃薯”，表面凸凹不平，而地球椭球体就好比一个“鸭蛋”，那么按照我们前面的定义，基准面就定义了怎样拿这个“鸭蛋”去逼近“马铃薯”某一个区域的表面，X、Y、Z轴进行一定的偏移，并各自旋转一定的角度，大小不适当的时候就缩放一下“鸭蛋”，那么通过如上的处理必定可以达到很好的逼近地球某一区域的表面。

因此，从这一点上也可以很好的理解，每个国家或地区均有各自的基准面，我们通常称谓的北京54坐标系、西安80坐标系实际上指的是我国的两个大地基准面。我国参照前苏联从1953年起采用克拉索夫斯基(Krassovsky)椭球体建立了我国的北京54坐标系，1978年采用国际大地测量协会推荐的1975地球椭球体

（IAG75）建立了我国新的大地坐标系--西安80坐标系，目前大地测量基本上仍以北京54坐标系作为参照，北京54与西安80坐标之间的转换可查阅国家测绘局公布的对照表。 WGS1984基准面采用WGS84椭球体，它是一地心坐标系，即以地心作为椭球体中心，目前GPS测量数据多以WGS1984为基准。

克拉索夫斯基(Krassovsky)、1975地球椭球体（IAG75）、WGS1984椭球体的参数可以参考常见的地球椭球体数据表。椭球体与基准面之间的关系是一对多的关系，也就是基准面是在椭球体基础上建立的，但椭球体不能代表基准面，同样的椭球体能定义不同的基准面。

一般意义上基准面与参考椭球体是同一个概念。 地球椭球体和基准面之间的关系以及基准面是

如何结合地球椭球体从而实现来逼近地球表面的可以通过下图一目了然。

图2 基准面定义椭球体拟合地表某一区域表面

投影坐标系统（Projected Coordinate Systems ）

地球椭球体表面也是个曲面，而我们日常生活中的地图及量测空间通常是二维平面，因此在地图制图和线性量测时首先要考虑把曲面转化成平面。由于球面上任何一点的位置是用地理坐标（λ，φ）表示的，而平面上的点的位置是用直角坐标（χ，у）或极坐标（r， ）表示的，所以要想将地球表面上的点转移到平面上，必须采用一定的方法来确定地理坐标与平面直角坐标或极坐标之间的关系。这种在球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，就是地图投影方法。 接下来首先让我们来看看ArcGIS产品中对于北京54投影坐标系统的定义参数：

Projection: Gauss_Kruger Parameters:

False_Easting: 500000.000000 False_Northing: 0.000000 Central_Meridian: 117.000000 Scale_Factor: 1.000000

Latitude_Of_Origin: 0.000000 Linear Unit: Meter (1.000000) Geographic Coordinate System: Name: GCS_Beijing_1954 Alias:

Abbreviation: Remarks:

Angular Unit: Degree (0.017453292519943299)

Prime Meridian: Greenwich (0.000000000000000000) Datum: D_Beijing_1954 Spheroid: Krasovsky_1940

Semimajor Axis: 6378245.000000000000000000 Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000 Inverse Flattening: 298.300000000000010000

从参数中可以看出，每一个投影坐标系统都必定会有Geographic Coordinate System（地理坐标系统/大地坐标系统）。那么我们从这一角度上解释一下投影和投影所需要的必要条件：将球面坐标转化为平面坐标的过程便是投影过程；投影所需要的必要条件是：第一、任何一种投影都必须基于一个椭球（地球椭球体），第二、将球面坐标转换为平面坐标的过程（投影算法）。简单的说投影坐标系是地理坐标系+投影过程。

让我们从透视法（地图投影方法的一种）角度来直观的理解投影，图2。

图3 透视法投影示意图

几何透视法是利用透视的关系，将地球体面上的点投影到投影面（借助的几何面）上的一种投影方法。如假设地球按比例缩小成一个透明的地球仪般的球体，在其球心或球面、球外安置一个光源，将球面上的经纬线投影到球外的一个投影平面上。

投影既然是一种数学变换方法，那么任何一种投影都存在一定的变形，因此可以按照变形性质将投影方法如下分类：等角投影（Conformal Projection） 、 等积投影（Equal Area Projection）、等距投影（Equidistant Projection）、等方位投影（True-direction Projection）四种。每种投影根据其名称就可以知道其方法保证了数据的哪些几何属性，在实际应用过程中应根据需求来选取某种投影。 如果按照投影的构成方法分类又可分为方位、圆柱、圆锥投影三种，在上述三种投影中由于几何面与球面的位置关系不同，又分为正轴、横轴和斜轴三种。

图4 正、横、斜圆柱投

影示意图

图5正、横、斜方位投影示意图

接下来我们来看看我们国家通常采用的投影——高斯—克吕格

（Gauss-Kruger)投影，是一种“等角横切圆柱投影”。德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。设想用一个圆柱横切于球面上投影带的中央经线，按照投影带中央经线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，将中央经线两侧一定经差范围内的球面正形投影于圆柱面。然后将圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即获高斯-克吕格投影平面。高斯—克吕格投影后，除中央经线和赤道为直线外，其他经线均为对称于中央经线的曲线。高斯—克吕格投影没有角度变形，在长度和面积上变形也很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大处在投影带内赤道的两端。按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。

分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。六度带自 0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第 1、2?60带。三度带是在六度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自 1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分带，带号依次编为三度带第 1、2?120带。我国的经度范围西起 73°东至135°，可分成六度带十一个，各带中央经线依次为75°、81°、87°、??、117°、123°、129°、135°，或三度带二十二个。

我国大于等于50万的大中比例尺地形图多采用六度带高斯—克吕格投影，三度带高斯—克吕格投影多用于大比例尺1：1万测图，如城建坐标多采用三度带的高斯—克吕格投影。高斯—克吕格投影按分带方法各自进行投影，故各带坐标成

两者异同

高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影与UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用横轴墨卡托投影）都是横轴墨卡托投影的变种，目前一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影当作高斯-克吕格投影的现象。

从投影几何方式看，高斯-克吕格投影是\等角横切圆柱投影\，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1；UTM投影是\等角横轴割圆柱投影\，圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比0.9996，该投影将地球划分为60个投影带，每带经差为6度，已被许多国家作为地形图的数学基础。

从计算结果看，UTM投影与高斯投影的主要区别在南北格网线的比例系数上，高斯-克吕格投影的中央经线投影后保持长度不变，即比例系数为1，而UTM投影的比例系数为0.9996。UTM投影沿每一条南北格网线比例系数为常数，在东西方向则为变数，中心格网线的比例系数为0.9996，在南北纵行最宽部分的边缘上距离中心点大约 363公里，比例系数为 1.00158。

从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。此外，两投影的东伪偏移都是500公里，高斯-克吕格投影北伪偏移为零，UTM北半球投影北伪偏移为零，南半球则为10000公里。 高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用 X[UTM]=0.9996 * X[高斯]，Y[UTM]=0.9996 * Y[高斯]，进行坐标转换（注意：如坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y值减去500000乘上比例因子后再加500000）。以下举例说明(基准面为WGS84)：

输入坐标（度） 纬度值（X）32 经度值（Y）121 21310996.8 311072.4 高斯投影（米） UTM投影（米） Xutm=0.9996 * X高斯 Yutm=0.9996 * Y高斯 3543600.9 3542183.5 3543600.9*0.9996≈ 3542183.5 (310996.8-500000)*0.9996+500000 ≈ 311072.4 表2举例 注：坐标点（32，121）位于高斯投影的21带，高斯投影Y值21310996.8中前两位\为带号；坐标点（32，121）位于UTM投影的51带，上表中UTM投影的Y值没加带号。因坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y值减去500000乘上比例因子后再加500000。 单点转换步骤如下：

（1）选择是高斯正转换还是反转换，缺省为经纬度转换到高斯投影坐标，投影坐标单位为米。 （2）选择大地基准面，缺省北京54，如果是GPS定位数据别忘了切换为WGS84。 （3）选择分带，3度或6度，缺省为6度。

（4）输入中央经度，20带（114°E～120°E）中央经度为117度，21带（120°E～126°E）中央经度为123度。

（5）如正向投影，选择经纬度输入数据格式，有三个选项，缺省为十进制度格式。具体输入方式如下例：

格 式 十进制度 度分 度分秒 原始纬度值 35.445901° 35°26.7541′ 原始经度值 122.997344° 122°59.8406′ 输入纬度值 35.445901 3526.7541 输入经度值 122.997344 12259.8406 35°26′45.245″ 122°59′50.438″ 352645.245 1225950.438 （6）正投影按选定格式在\输入\栏输入经纬度值，反投影输入以米为单位的X、Y坐标值。 （7）单击\单点转换\按钮。

（8）在\输出\栏查看计算结果。 批量转换步骤如下：

（1）准备好需要转换的输入数据文件，要求是文本文件，分两列，第一列纬度值或纵向坐标值，第二列经度值或横向坐标值，两列之间用空格分开。正向投影时，纬度值及经度值格式可以有三种选择，缺省当作十进制度处理；反向投影时，纵向及横向坐标值必须以米为单位。 下例为度分秒格式(WGS84)的6°带正投影输入数据文件 testdata.txt 352645.245 1225950.438 353800.402 1230000.378 351600.519 1225959.506 345800.101 1225959.8 343600.336 1230000.26 341400.018 1225959.897 335159.17 1225959.46 333000.08 1230000.28

（2）选择是高斯正转换还是反转换，缺省为经纬度转换到高斯投影坐标，投影坐标单位为米。 （3）选择大地基准面，缺省北京54，如果是GPS定位数据别忘了切换为WGS84。 （4）选择分带，3度或6度， 缺省为6度。

（5）输入中央经度，20带（114°E～120°E）中央经度为117度，21带（120°E～126°E）中央经度为123度。

（6）如正向投影，选择输入数据文件中的经纬度输入数据格式，有三个选项，缺省为十进制度格式。 （7）单击\批量转换\按钮。弹出打开文件对话框，输入你的数据文件名。 （8）输入转换结果文件名，单击\保存\后，程序开始进行计算。

（9）打开输出文件查看计算结果，结果分五列，第一序号，第二列输入纬度值或纵向坐标值，第三列输入经度值或横向坐标值，第四列转换后纬度值或纵向坐标值，第五列转换后经度值或横向坐标值。

下例为度分秒格式(WGS84)的6°带正投影转换结果数据文件 result.txt 1 352645.245 1225950.438 3924063.3 21499758.9 2 353800.402 1230000.378 3944871.4 21500009.5 3 351600.519 1225959.506 3904193.8 21499987.5 4 345800.101 1225959.8 3870898.1 21499994.9 5 343600.336 1230000.26 3830228.5 21500006.6 6 341400.018 1225959.897 3789544.4 21499997.4 7 335159.17 1225959.46 3748846.4 21499986.1 8 333000.08 1230000.28 3708205 21500007.2

高斯-克吕格投影与UTM投影坐标系

高斯- 克吕格投影与UTM投影是按分带方法各自进行投影，故各带坐标成独立系统。以中央经线（L0）投影为纵轴X，赤道投影为横轴Y，两轴交点即为各带的坐标原点。为了避免横坐标出现负值，高斯- 克吕格投影与UTM北半球投影中规定将坐标纵轴西移500公里当作起始轴，而UTM南半球投影除了将纵轴西移500公里外，横轴南移10000公里。由于高斯-克吕格投影与UTM投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，为了区别某一坐标系统属于哪一带，通常在横轴坐标前加上带号，如(4231898m，21655933m)，其中21即为带号。

6）地方独立坐标系

基于限制变形，以及方便实用，科学的目的，在许多城市和工程测量中，常常会建立适合本地区的地方独立坐标系。建立地方独立坐标系，实际上就是通过一些元素的确定来决定地方参考椭球与投影面。地方参考椭球一般选择与当地平均高程相对应的参考椭球，该椭球的中心，轴向和扁率与国家参考椭球相同。其椭球半径α1增大为:α1=α+Δα1，Δα1=Hm+ζ0式中：Hm为当地平均海拔高程，ζ0为该地区的平均高程异常。而地方投影面的确定中，选取过测区中心的经线或某个起算点的经线作为独立中央子午线。以某个特定方便使用的点和方位为地方独立坐标系的起算原点和方位，并选取当地平均高程面Hm为投影面。

既然说到了不同的坐标系，就存在坐标转换的问题。关于坐标转换，首先要搞清楚转换的严密性问题，即在同一个椭球里的坐标转换都是严密的，而在不同的椭球之间的转换这时不严密的。例如，由1954北京坐标系的大地坐标转换到954北京坐标系的高斯平面直角坐标是在同一参考椭球体范畴内的坐标转换，其转换过程是严密的。由1954北京坐标系的大地坐标转换到WGS-84的大地坐标，就属于不同椭球体间的转换。

不同椭球体间的坐标转换在局部地区的采用的常用办法是相似变换法，即利用部分分布相对合理高等级公共点求出相应的转换参数。一般而言，比较严密的是用七参数的相似变换法，即X平移，Y平移，Z平移，X旋转，Y旋转，Z旋转，尺度变化K。要求得七参数就需要在一个地区需要3个以上的已知点，如果区域范围不大，最远点间的距离不大于30Km(经验值)，这可以用三参数，即X平移，Y平移，Z平移，而将X旋转，Y旋转，Z旋转，尺度变化K视为0，所以三参数只是七参数的一种特例。

如果不考虑高程的影响，对于不同椭球体下的高斯平面直角坐标可采用四参数的相似变换法，即四参数（x平移，y平移，尺度变化m，旋转角度α）。如果用户要求的精度低于20米，在一定范围（2＇＊2＇）内，就直接可以用二参数法（ΔB，ΔL）或（Δx，Δy）修正。但在实际操作中，这也取决于选取的公共点是否合理，并保证其足够的精度。

6.方里网

是由平行于投影坐标轴的两组平行线所构成的方格网。因为是每隔整公里绘出坐标纵线和坐标横线，所以称之为方里网，由于方里线同时又是平行于直角坐标轴的坐标网线，故又称直角坐标网。 在1：1万——1：20万比例尺的地形图上，经纬线只以图廓线的形式直接表现出来，并在图角处注出相应度数。为了在用图时加密成网，在内外图廓间还绘有加密经纬网的加密分划短线(图式中称\分度带\，必要时对应短线相连就可以构成加密的经纬线网。1：2 5万地形图上，除内图廓上绘有经纬网的加密分划外，图内还有加密用的十字线。

我国的1：50万——1：100万地形图，在图面上直接绘出经纬线网，内图廓上也有供加密经纬线网的加密分划短线。

直角坐标网的坐标系以中央经线投影后的直线为X轴，以赤道投影后的直线为Y轴，它们的交点为坐标原点。这样，坐标系中就出现了四个象限。纵坐标从赤道算起向北为正、向南为负；横坐标从中央经线算起，向东为正、向西为负。

虽然我们可以认为方里网是直角坐标，大地坐标就是球面坐标。但是我们在一副地形图上经常见到方里网和经纬度网，我们很习惯的称经纬度网为大地坐标，这个时候的大地坐标不是球面坐标，她与方里网的投影是一样的（一般为高斯），也是平面坐标。

7.动态投影(ArcMap)

动态投影指：改变ArcMap中的Data Frame（工作区）的空间参考或是对后加入到ArcMap工作区中数据的投影变换。ArcMap的Data Frame（工作区）的坐标系统默认为第一个加载到当前Data Frame（工作区）的那个文件的坐标系统，后加入的数据，如果和当前工作区坐标系统不同，则ArcMap会自动做投影变换，把后加入的数据投影变换到当前坐标系统下显示，但此时数据文件所存储的实际数据坐标值并没有改变，只是显示形态上的变化！因此叫动态投影。表现这一点最明显的例子就是在Export Data时，用户可以选择是按this layer's source data（数据源的坐标系统导出），还是按照the Data Frame（当前工作区的坐标系统）导出数据。

关于ArcMap的这种动态投影机制，我们可以利用一个北京54投影坐标系数据（乡镇.shp）和\\DeveloperKit\\SamepleCom\\\\data\\World\\目录下的world30.shp数据来做一个实验说明。

乡镇.shp数据的坐标系统为北京54投影坐标系（Krasovsky_1940_Transverse_Mercator）。在ArcMap或ArcCatalog中预览形态如图9所示：

图19 world file文件命名示例

在ArcGIS 9.2 SP2中，如果无法用world file文件来记录这些变换信息，则Georeferencing 工具条的Update Georeferencing操作将把这些变换信息写进一个aux.xml文件中，并把这种仿射变换信息记录于一个文本文件中或是后缀扩展名以x结尾的文件中。如果对一个已经存在地图坐标系统信息的影像文件进行Update Georeferencing操作，则会生成一个以'x'结尾的文件，用于记录真正的仿射变换信息（图20）。这个文件只需要把最后的'x'字符删去，该文件便可在ArcGIS 9.1或是在没有ArcGIS软件的环境下使用。

图20 对已有坐标系统信息的影像进行world file命名的示例

影像文件的world file文件示例如下： 20.17541308822119

0.00000000000000 0.00000000000000 -20.17541308822119

424178.11472601280548 4313415.90726399607956

应用如下公式来表达image-to-world的6参数仿射变换 x1 = Ax + By + C y1 = Dx + Ey + F 各参数意义如下：

X1、Y1待求的影像上某一像素的地理坐标

A、E分别为影像的每一像素点代表的X、Y方向上的分辨率 B、D旋转参数

C、F为影像左上角点的地理坐标值

通过上述6个参数，我们可以计算影像上任一像素点的真实地理坐标。这里

需要特别注意的一点是E参数之所以为负值，是由于影像坐标系和真实世界坐标系的Y轴方向相反，影像坐标的原点为影像左上角点，且Y轴正方向向下，而真实世界的坐标系统原点在左下角且Y轴正方向向上所致。影像数据的world file文件的制作和保存及Load操作跟CAD数据的world file文件方法相同，在此不敖述。

还需要注意的是ArcGIS会自动读取某些影像头文件（Geotiff）中的空间参考信息，从而会重写world file文件中的信息，因此可以设置选用world file文件来定义影像的坐标系统，通过勾选Tools->Options->Raster->General选项卡下的Use world file to define the coordinates of the raster选项即可。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/l9xf.html