2012年全国中考数学试题分类解析汇编归纳猜想型问题（二）

2013年中考数学复习专题讲座八：归纳猜想型问题（二）

一、中考专题诠释

归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲

归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲

考点四：猜想数量关系

数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。 例8 （2012?苏州）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（ ）

A．

B．

C．

D．

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。 专题： 规律型。

分析： 利用正方形的性质以及平行线的性质分别得出D1E1=B2E2=，B2C2=B3C3=，求出WQ=×=，FW=WA3?cos30°=×

=

，即可得出答案．

，进而得出

解答： 解：过小正方形的一个顶点W作FQ⊥x轴于点Q，过点A3F⊥FQ于点F， ∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3， ∴∠B3C3 E4=60°，∠D1C1E1=30°，∠E2B2C2=30°， ∴D1E1=D1C1=，

∴D1E1=B2E2=，

∴cos30°=解得：B2C2=∴B3E4=

，

=，

，

cos30°=，

解得：B3C3=， 则WC3=，

根据题意得出：∠WC3 Q=30°，∠C3 WQ=60°，∠A3 WF=30°， ∴WQ=×=， FW=WA3?cos30°=×

=

，

=

，

则点A3到x轴的距离是：FW+WQ=+故选：D．

点评： 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数的应用等知识，根据已知得出B3C3的长是解题关键．

例9 （2012?绍兴）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为（ ）

A．

考点： 翻折变换（折叠问题）。 专题： 规律型。

分析： 先写出AD、AD1、AD2、AD3的长度，然后可发现规律推出ADn的表达式，继而根据APn=ADn即可得出APn的表达式，也可得出AP6的长．

B．

C．

D．

解答： 解：由题意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，…，

ADn=，

又APn=ADn，

故AP1=，AP2=，AP3=…APn=，

故可得AP6=故选A．

．

点评： 此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力．

例10 （2012?广州）如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始， 以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆； 以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆； 以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；

以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，

…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第n个半圆的面积为 （结果保留π）

考点： 规律型：图形的变化类。

分析： 根据已知图形得出第4个半圆的半径是第3个半圆的半径，进而得出第4个半圆的面积与第3个半圆面积的关系，得出第n个半圆的半径，进而得出答案． 解答： 解：∵以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆； 以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆； 以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆； 以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆， ∴第4个半圆的面积为：第3个半圆面积为：

=8π， =2π，

=4倍；

∴第4个半圆的面积是第3个半圆面积的

根据已知可得出第n个半圆的直径为：2n﹣1， 则第n个半圆的半径为：

=2n﹣2，

第n个半圆的面积为：故答案为：4，22n﹣5π．

=22n﹣5π．

点评： 此题主要考查了数字变化规律，注意数字之间变化规律，根据已知得出第n个半圆

n﹣1

的直径为：2是解题关键．

考点五：猜想变化情况

随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。

例11 （2012?常德）若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2，再将图2中的每一段作类似变形，得到图3，按上述方法继续下去得到图4，则图4中的折线的总长度为（ ）

A． 2 B． C． D．

考点： 规律型：图形的变化类；等边三角形的性质。

分析： 当n=2时，折线的长度为：1+=；当n=3时，折线的长度为：+×=时，折线的长度为：

+

×=

，从而可求出折线的总长度．

；当n=4

解答： 解：由题意得：当n=2时，折线的长度为：1+=； 当n=3时，折线的长度为：+×=当n=4时，折线的长度为：故选D．

点评： 此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，同时考查学生分析归纳问题的能力，其关键是读懂题意，找出规律解答．

例12 （2012?河北）用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 ．

+

×=

； ．

考点： 平面镶嵌（密铺）。 专题： 应用题。

分析： 根据正六边形的一个内角为120°，可求出正六边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数．

解答： 解：两个正六边形结合，一个公共点处组成的角度为240°，

故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形， 而正六边形的内角为120°， 故答案为：6．

点评： 此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数，有一定难度．

∴∠FGI=∠FAD=60°，

∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形， ∴∠EDM=60°=∠M， ∴ED=EM， 同理AF=QF，

即AF=QF=EF=EM，

∵等边三角形QKM的边长是a，

∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的， 过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N， 则FZ∥EN， ∵EF∥GI，

∴四边形FZNE是平行四边形， ∴EF=ZN=a，

∵GF=AF=×a=a，∠FGI=60°（已证）， ∴∠GFZ=30°， ∴GZ=GF=同理IN=∴GI=

a，

a， a+a+

a=a，即第一个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的

边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；

同理第第二个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；

同理第三个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a； 第四个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a； 第五个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a， 即第六个正六边形的边长是×

a，

故选A．

点评： 本题考查了正六边形、等边三角形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定的应用，能总结出规律是解此题的关键，题目具有一定的规律性，是一道有一定难度的题目． 二．填空题

4．（2012?天门）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1= ．

考点： 整式的混合运算。 专题： 规律型。

分析： 方法一：根据连接BE，则BE∥AM，利用△AME的面积=△AMB的面积即可得出Sn=n2，Sn﹣1=（n﹣1）2=n2﹣n+，即可得出答案．

方法二：根据题意得出图象，根据当AB=n时，BC=1，得出Sn=S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM，得出S与n的关系，进而得出当AB=n﹣1时，BC=2，Sn﹣1=n2﹣n+，即可得出Sn﹣Sn﹣1的值．

解答： 解：方法一：连接BE，

∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF， ∴BE∥AM，

∴△AME与△AMB同底等高， ∴△AME的面积=△AMB的面积，

∴当AB=n时，△AME的面积记为Sn=n2， Sn﹣1=（n﹣1）=n﹣n+， ∴当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=故答案为：

；

，

2

2

方法二：如图所示：延长CE与NM，交于点Q， ∵线段AC=n+1（其中n为正整数）， ∴当AB=n时，BC=1， ∴当△AME的面积记为：

Sn=S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM，

=n（n+1）﹣×1×（n+1）﹣×1×（n﹣1）﹣×n×n， =n，

当AB=n﹣1时，BC=2， ∴当△AME的面积记为： Sn﹣1=S

矩形ACQN

2

﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM，

=（n+1）（n﹣1）﹣×2×（n+1）﹣×2×（n﹣3）﹣×（n﹣1）（n﹣1）， =n2﹣n+，

∴当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=n﹣（n﹣n+）=n﹣=故答案为：

．

2

2

，

点评： 此题主要考查了三角形面积求法以及正方形的性质，根据已知得出正确图形，得出S与n的关系是解题关键．

6．（2012?威海）如图，在平面直角坐标系中，线段OA1=1，OA1与x轴的夹角为30°，线段A1A2=1，A2A1⊥OA1，垂足为A1；线段A2A3=1，A3A2⊥A1A2，垂足为A2；线段A3A4=1，A4A3⊥A2A3，垂足为A3；…按此规律，点A2012的坐标为 ．

考点： 规律型：点的坐标。 专题： 规律型。

分析： 过点A1作A1B⊥x轴，作A1C∥x轴A2C∥y轴，相交于点C，然后求出点A1的坐标，以及A1C、A2C的长度，并出A2、A3、A4、A5、A6的坐标，然后总结出点的坐标的变化规律，再把2012代入规律进行计算即可得解．

解答： 解：如图，过点A1作A1B⊥x轴，作A1C∥x轴A2C∥y轴，相交于点C， ∵OA1=1，OA1与x轴的夹角为30°， ∴OB=OA1?cos=1×

=

，

A1B=OA1?sin30°=1×=， ∴点A1的坐标为（

，），

∵A2A1⊥OA1，OA1与x轴的夹角为30°， ∴∠OA1C=30°，∠A2A1C=90°﹣30°=60°， ∴∠A1A2C=90°﹣60°=30°， 同理可求：A2C=OB=所以，点A2的坐标为（点A3的坐标为（点A4的坐标为（点A5的坐标为（点A6的坐标为（…，

当n为奇数时，点An的坐标为（当n为偶数时，点An的坐标为（所以，当n=2012时，点A2012的坐标为（503故答案为：（503

﹣=503﹣503，503

﹣﹣，﹣503，+503）．

，+）， +=503

+503， +

），

﹣+

，A1C=A1B=， ﹣，，

+）， ++），即（+1+

），即（

﹣，﹣1，﹣1，

+1）， +1）， +），

+），

﹣﹣，﹣1+

，

+1+），即（++

），即（

﹣1﹣，﹣，

﹣503，503+503）．

点评： 本题考查了点的坐标的规律变化问题，作出辅助线，求出各点的横坐标与纵坐标的规律变化的数值，然后依次写出前几个点的坐标，根据坐标与点的序号的特点找出点的坐标的通式是解题的关键．

7．（2012?湖州）如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若=

，则△ABC的边长是 ．

考点： 菱形的性质；等边三角形的性质。 专题： 规律型。

分析： 设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的

倍，求出正△ABC的面积，

再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解．

解答： 解：设正△ABC的边长为x，则高为S△ABC=x?

x=

x，

2

x，

∵所分成的都是正三角形，

∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为﹣1，

∴黑色菱形的面积=（

x﹣

）（x﹣1）=

（x﹣2）2， x﹣

，较短的对角线为（

x﹣

）

=x

∴==，

整理得，11x2﹣144x+144=0， 解得x1=

（不符合题意，舍去），x2=12，

所以，△ABC的边长是12．

故答案为：12．

点评： 本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程． 8．（2012?泰安）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为 ．

考点： 点的坐标。 专题： 规律型。

分析： 观察图形可知，以最外边的正方形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．

解答： 解：根据图形，以最外边的正方形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，

例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12， 右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22， 右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32， 右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42， …

右下角的点的横坐标为n时，共有n2个， ∵452=2025，45是奇数， ∴第2025个点是（45，0）， 第2012个点是（45，13），

所以，第2012个点的横坐标为45．

故答案为：45．

点评： 本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键． 9．（2012?北京）在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当

m=3时，点B的横坐标的所有可能值是 ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示）．

考点： 点的坐标。 专题： 规律型。

分析： 根据题意画出图形，再找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系即可求出答案． 解答： 解：如图：

当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1）（1，2）（2，1），共三个点， 所以当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4；

因为△AOB内部（不包括边界）的整点个数=[（点B的横坐标﹣1）×（点A的纵坐标﹣1）﹣3]÷2，

所以当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=[（4n﹣1）×（4﹣1）﹣3]÷2=6n﹣3； 故答案为：3或4，6n﹣3．

点评： 此题考查了点的坐标，关键是根据题意画出图形，找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系，考查数形结合的数学思想方法．

10．（2012?佳木斯）如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…按此作法进行去，点Bn的纵坐标为 （n为正整数）．

考点： 一次函数综合题。 专题： 规律型。

分析： 由A1（1，0），可知B1的横坐标为1，由于B1，B2，B3，..，Bn都在直线y=x上，可知B1，B2，B3，..，Bn各点的横坐标与纵坐标相等，即B1（1，1），由勾股定理得OB1=

，

由此可得A2（，0），则B2（，），由勾股定理得OB2=2，则A3（2，0），则B3（2，2），…，由此得出一般结论．

解答： 解：∵B1，B2，B3，…，Bn都在直线y=x上， ∴B1，B2，B3，…，Bn各点的横坐标与纵坐标相等， 由A1（1，0），得B1（1，1）， 此时OB1=

，

，

），

可知，A2（，0），则B2（同理可得B3（2，2），…， 则Bn（故答案为：（

，

，

）．

）．

点评： 本题考查了一次函数的综合运用．关键是明确直线y=x上点的横坐标与纵坐标相等特点，由易到难，由特殊到一般，得出规律． 11．（2012?鄂州）已知，如图，△OBC中是直角三角形，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2，…，如此继续下去，得到△OB2012C2012，则m= ．点C2012的坐标是 ．

考点： 坐标与图形变化-旋转；解直角三角形。 专题： 规律型。

分析： 先解直角三角形求出∠BOC=60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出m的值，然后求出OC1、OC2、OC3、…、OCn的长度，再根据周角等于360°，每6个为一个循环组，求出点C2012是第几个循环组的第几个点，再根据变化规律写出点的坐标即可． 解答： 解：∵∠OBC=90°，OB=1，BC=， ∴tan∠BOC=

=

，

∴∠BOC=60°，

∴OC=2OB=2×1=2，

∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC， ∴m=2，

∴OC1=2OC=2×2=4=22， OC2=2OC1=2×4=8=23， OC3=2OC2=2×8=16=24， …，

OCn=2n+1，

∴OC2012=22013， ∵2012÷6=335…2，

∴点C2012与点C2x在同一射线上，在x轴负半轴，坐标为（﹣2故答案为：2，（﹣22013，0）．

2013

，0）．

点评： 本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，解直角三角形，根据解直角三角形，以及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出m的值是解题的关键．

12．（2012?泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= ．（用含n的式子表示）

考点： 相似三角形的判定与性质。

专题： 规律型。

分析： 由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，即可求得△B1C1Mn的面积，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案． 解答： 解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点， ∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=， S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=， S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=， S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=， S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×∵BnCn∥B1C1，

∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，

=

，

∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（

）2=（）2，

即Sn：

=，

∴Sn=故答案为：

．

．

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键． 13．（2012?衡阳）观察下列等式 ①sin30°= cos60°= ②sin45°=③sin60°=

cos=45°= cos30°=

…

根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ．

考点： 互余两角三角函数的关系。 专题： 规律型。

分析： 根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案． 解答： 解：由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1； sin245°+sin2（90°﹣45°）=1； 22sin60°+sin（90°﹣60°）=1； 故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．

故答案为：1．

点评： 此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外sin2a+sin2（90°﹣a）=1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用． 14．（2012?东营）在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=kx+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（

），那么点An的纵坐标是 ．

同理可得，

∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°， ∴∠An=故答案为：

． ．

点评： 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．

19．（2012?鞍山）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于 ．

考点： 直角三角形斜边上的中线；三角形的面积；三角形中位线定理。 专题： 规律型。

分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD，然后判定出△ACD是等边三角形，同理可得被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形，再根据后一个等边三角形的边长是前一个等边三角形的边长的一半求出第n个三角形的边长，然后根据等边三角形的面积公式求解即可．

解答： 解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， ∴CD=AD，

∵∠A=60°，

∴△ACD是等边三角形，

同理可得，被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形， ∵CD是AB的中线，EF是DB的中线，…， ∴第一个等边三角形的边长CD=DB=AB=AC=a， 第二个等边三角形的边长EF=DB=a， …

第n个等边三角形的边长为

a，

所以，第n个三角形的面积=×a×（?a）=．

故答案为：．

点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积判断出后一个三角形的边长是前一个三角形边长的一半，求出第n个等边三角形的边长是解题的关键．

20．（2012?湛江）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an= ．

考点： 正方形的性质。

专题： 规律型。

分析： 求a2的长即AC的长，根据直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以计算，同理计算a3、a4．由求出的a2=a1，a3=a2…，an=an﹣1=（），可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式．

解答： 解：∵a2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴a2=a1=， 同理a3=a2=2， a4=a3=2， …

由此可知：an=（

）n﹣1a1=（

n﹣1

n﹣1

）n﹣1，

故答案为：（）

点评： 本题考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到an的规律是解题的关键．

三．解答题（共13小题） 21．（2012?广东）观察下列等式： 第1个等式：a1=第2个等式：a2=第3个等式：a3=第4个等式：a4=…

=×（1﹣）； =×（﹣）； =×（﹣）； =×（﹣）；

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：a5= ；

（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an= = （n为正整数）； （3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．

考点： 规律型：数字的变化类。

分析： （1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为 序号的2倍减1和序号的2倍加1． （3）运用变化规律计算．

解答： 解：根据观察知答案分别为： （1） （2）

（3）a1+a2+a3+a4+…+a100的

=×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×=（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+=（1﹣=×=

．

）

﹣

）

；

；

；

；

点评： 此题考查寻找数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．

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