泛函分析总结

泛函分析知识点小结及应用

§1 度量空间的进一步例子

设X是任一非空集合，若对于?x,y?且满足 1．非负性：dX，都有唯一确定的实数d?x,y?与之对应，

?x,y??0，d?x,y?=0?x?y;

?x,y??d?x,z?+d?y,z?， 则称(?，d)

2. 对称性：d(x,y)=d(y,x);

3．三角不等式：对?x,y,z??，都有d为度量空间，?中的元素称为点。

1x 欧氏空间nR 对R中任意两点2nn?2?d?x,y?=???xi?yi??.

1??i??表示闭区间?a,b?上实值(或复值)连续函数的全体.对C?a,b? C?a,b空间 C?a,b?中任意两点x,y，定义d?x,y?=maxx?t??y?t?. ?a?t?b??1p?pp???. l（1?p???)空间 记l=?x??xk?k?1??xk??1p?p??pk??. 设x??xk?k?1，y??yk?k?1?l，定义 d?x,y?=???xi?yi??i?1??例1 序列空间S

??x?y?(或复数列?????x?xy?y令S表示实数列)的全体，对，，令 kkkk1k?1k?1. d?x,y?=k1?x?ykkk?12例2 有界函数空间B?A?

设A是一个给定的集合，令B?A?表示A上有界实值(或复值)函数的全体. ?x,y?B?A?，定义 d?x,y?=supx?t??y?t?.

t?A例3 可测函数空间M?X?

??x1,x2,?,xn?和y??y1,y2,?,yn?，规定距离为

?设M?X?为X上实值(或复值)的可测函数的全体，m为Lebesgue测度，若

f?t??g?t?1?f?t??g?t??1，故不等式左

m?X???，对任意两个可测函数f?t?及g?t?，由于

边为

X上可积函数. 令 d?f,g?=?Xf?t??g?t?1?f?y??g?t?dt.

§2 度量空间中的极限

?xn???X,d?中点列，若?x?X，s.t. n?1是

limd?xn,x??0 (?)

n????则称?xn?n?1是收敛点列，x是点列?xn?n?1的极限.

设

y，则因为

0?d?x,y??d?x,xn??d?y,xn??0 ?n???，而有 d?x,y?=0. 所以x=y.

注 (?)式换一个表达方式：limd?xn,x?=dlimxn,x. 即当点列极限存在时，

n??收敛点列的极限是唯一的. 若设xn既牧敛于x又收敛

?n??? 1

距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有 距离d?x,y?是x和y的连续函数.

具体空间中点列收敛的具体意义：

?m??m??m?nn 1. 欧氏空间R xm=x1,x2,?,xn，m?1,2,?，为R中的点列，

x=?x1,x2,?,xn??Rn， 222?m??m??m?d?xm,x?=?x1?x1???x2?x2?????xn?xn?. xm?x ?m??? ? 对每个1?i?n，有 xi?m??xi ?m???.

? 2. C?a,b? 设?xn?n?1?C?a,b?，x?C?a,b?，则

?d?xn,x?=maxxn?t??x?t??0 ?n??? ? ?xn?n?1在?a,b?一致收敛于x.

a?t?b?? 3. 序列空间S 设xm=

???1m??m??m?,?2,?,?n,??，m?1,2,?，及

x=??1,?2,?,?n,??分别是S中的点列及点，则

?m?1?k??kd?xm,x???k?0 ?m??? ? xm依坐标收敛于x.

?m???kk?121??k? 4. 可测函数空间M§3 度量空间中的稠密集 可分空间

?X? 设?fn??M?X?，f?M?X?，则因n?1?fn?t??f?t?dm，有 fn?f ? fn?f. d?fn,f?=?X1?f?t??f?t?n 定义 设X是度量空间，N和M是

X的两个子集，令M表示M的闭包，若

N?M，则称集M在集N中稠密，当N=X时，称M为X的一个稠密子集. 若X有

n一个可数的稠密子集，则称X是可分空间. 例1 n维欧氏空间R是可分空间. 事实

n上，坐标为有理数的点的全体是R的可数稠密子集. 例2 离散距离空间X可分 ? X是可数集. 例3 l?是不可分空间.

§4 连续映射 定义 设X=

T~X=?X,d?? Y=Y,d. x0?X，若???0，???0，s.t. ?x?X且

~d?x,x0???，都有d?Tx,Tx0???，则称T在x0连续：

T~~ 定理 1 设T是度量空间?X,d?到度量空间Y,d中的映射：?X,d??Y,d， 则T在x0连续 ? 当xn?x0时，必有Txn?Tx0.

定理2 度量空间X到Y中的映照T是X上的连续映射 ? 任意开集M?Y，T?1M是X中的开集.

定理2? 度量空间X到Y中的映照T是X上的连续映照 ? 任意闭集M?Y，T?1M是X中的闭集.

~?是两个度量空间，T是X到Y中的映射：?X,d?，Y=?Y,d??????§5 柯西点列和完备度量空间

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X，d)是度量空间，?xn?n?1是X中的点列. 若

?s.t.当m,n?N时，有d?xn,xm???，则称?xn?n?1是X???0,?N?N?????，

中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(X，d)中每个柯西点列都收敛，则称(X，d)是

定义 1 设X=(

?完备的度量空间.

在一般空间中，柯西点列不一定收敛，如点列1, 1.4, 1,41, 1.412,? 在R中收敛于在有理数集中不收敛.

但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.

定理1 完备度量空间X的子空间M是完备度量空间 ? M是常见例子：(1)C（收敛的实或复数列的全体）是完备度量空间 (2) C12，

X中的闭子空间.

?a,b?是完备的度量空间

(3) P?a,b?(实系数多项式全体) 是不完备的度量空间

§6 度量空间的完备化 定义 1 设(

~~~X,d)，(X,d)是两个度量空间，若存在X到X上的保距映射

~~~T(?x1,x2?X，有d(Tx1,Tx2)=d(x1,x2))，则称(X,d)和(X,d)等距

~同构，此时称T为X到X上的等距同构映照。等距同构映照是1-1映射. 定理1 (度量空间的完备化定理) 设X=(X,d)是度量空间，那么一定存在一完备度量空间

~~~~~X=(X,d)，使X与X的其个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同构意义下是唯

?)也是一完备度量空间，且X与X?,d?的其个稠密子空间W等距同构，则一的，即若(X~~?)等距同构. ?,d(X,d)与(X§7压缩映照原理及其应用

X是度量空间，T是X到X中的压映照，若存在一个数?：0???1，s.t. ?x、y?X，成立 d?Tx,Ty???d?x,y? 则称T是X到X中的压缩映照(简称压缩映照).

定理1.(压缩映射定理) 设X是完备度量空间，T是X上的压缩映照，则T有且只有一个不动点(即方程Tx?x有且只有一个解).

补充定义：若TX=X,则称X是T的不动点，即X是T的不动点?X是方程TX=X的解。 定理2. 设函数f?x,y?在带状域a?x?b，???y???中处处连续，且处处有关

??x,y?，若存在常数m和M， 满足 m?M，于y的偏导数fy??x,y??M， 则方程 f?x,y?=0 在区间?a,b?上必有唯一的连续函数0?m?fyy???x?作为解：f?x,??x???0，x??a,b?.

定义 设

§8赋范线性空间和Banach空间

线性空间+范数?线性赋范空间线性赋范空间+完备性?巴拿赫空间

定义1 设X是任一非空集合，若K是一个数域（R或C），如果X对某种规定的加法和数乘两种运算封闭，且?x,y,z?X, ?,??K, 满足： 1) x+y=y+x （加法交换律） 2) (x+y)+z+x+(x+y) （加法结合律）

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3) ???X, 使x+?=x （零元素存在性） 4) ?x’?X,使x+x’=? （逆元存在性） 5) ?(?x)=??x=?(?x) （数乘结合律） 6) 1x=x, 0x=?

7) (?+?)x=?x+?x （元素对数的加法分配律） 8) ?(x+y)=?x+?y （数对元素的加法分配律）

则称x+y为x与y的和，?x为数?与x的数乘 , 称X为线性空间或向量空间 (实或复)，X中的元素称为向量。

定义 (范数，赋范线性空间) 设一个实数

X为是实（或复）数域F的线性空间，若对?x?X，存在

x于之对应，且满足下列条件：

(1) x?0; 且x?0?x?0； （非负性）

(2) ?x??x，??F； （正齐（次）性） (3) x?y?x?y，x,y?X； （三角不等式）

则称x为x的范数(norm)，称(X,?)（或：X）为赋范线性空间

定义 完备的赋范线性空间称为巴拿赫（Banach）空间。 例子：C[a,b]，空间l，n维Euclidean空间R，L[a,b]，

np都是Banach空间。

度量空间与赋范线性空间 区别：度量空间是定义了度量的线性空间，也就是两个元素之间的“长度”，满足非负性、对称性、三角不等式。赋范线性空间就是定义了范数的线性空间，其满足范数公理（非负性，齐次性，三角不等式）

联系：都是在线性空间的前提下讨论的。赋范线性空间是一种特殊的度量空间

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