数列裂项求和汇编

山东学大信息技术有限公司—分教管部制

Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

数列裂项求和

一.裂项求和基本问题

1.求和：)

1(1541431321211+++?+?+?+?=n n S n 1

111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 。 2.求和：)12)(12(1971751531311+-++?+?+?+?=

n n S n 1

2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n 3.求和：)13)(23(11071741411+-++?+?+?=

n n S n 。 )1

31231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 1

3)1311(31+=+-=n n n 。 4.求和：)2(1641531421311+++?+?+?+?=

n n S n 。 )1

111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2

111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n 。 5.求和：数列???++???++,11,,3

21

,211

n n 的前n 项和n S . 解：设n n n n a n -+=++=

111

则 11

321

211

+++???++++=n n S n

＝)1()23()12(n n -++???+-+-

山东学大信息技术有限公司—分教管部制 Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

＝11-+n

二裂项求综合题

19.已知数列{a n }：1，211+，3211++，…，n

++++ 3211，…求它的前n 项和. 解 ∵ a n =n ++++ 3211=)1(2+n n =2(n 1-11

+n )

∴ S n =a 1+a 2+…+a n =2[(1-21)+(21-31)+(31-41)+…+(n 1-11

+n )] =2(1-11

+n )=)1(2+n n

.

22.已知数列}{n a 为等差数列，0≠n a ，公差0≠d ，求1

4332211111

+++++=n n n a a a a a a a a S 。

)11

(1

1,11

111111++++++-=∴=-=-n n n n n n n n n n n n a a d a a a a d a a a a a a ， 所以)11(1)11(1)11

(1

1

3221+-++-+-=n n n a a d a a d a a d S 1

11111111)11

(1

++++=-?=-=n n n n a a n a a a a d a a d 。

23.设数列{}n a 的前n 项和n n a S 34= ,3,2,1,32

231

1=+?-+n n

（1） 求首项1a 和通项n a ；

（2） 设 ,3,2,1,2==n S T n n

n ，证明：∑=n

i I T 1

23

. 【解析】（1）1n =时，11111412

22333a a a +=-?+?=

山东学大信息技术有限公司—分教管部制

Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

∵n n a S 34=()1122133n +-?+，1143n n S a --=()122233

n -?+

∴（1）-（2）得：11411242333n n n n n n n a a a a a --=--?∴=+. 两边同加上2n ，得1124(2)n n n n a a --+=+，而1124a +=. ∴数列{}2n n a +是首项1124a +=，且公比4q =的等比数列.∴12444n n n n a -+=?=.

则所求数列{}n a 的通项公式为：42n n n a =-.

()()()()()2233112242424242233n n n n S +=-+-+-+

+--?+. ()()232311244442222233n n n +=++++-++++-?+()

()()()11414212124122412212141233333n n n n n n ++--=--?+=----?+-- ()()()()111122122212133

n n n n +++=?--=?--. ∴()()112323112221212121n n n n n n n n T S ++??==?=- ?----??

.故 223111331111112221212121212131312212n i

n n i n T +=+????????=-+-++- ? ? ???------????????

??=-<??-??∑即原不等式成立.

24.在数列{}n a 中 ，若1n a n =+ 设正项数列{}n b 满足 111,n n n b b b a +==

求证：()

1231111211n n b b b b ++++>+- 证明：当1n =时不等式显然成立。当2n ≥时

山东学大信息技术有限公司—分教管部制

Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

111n n n

n n n b b a b b a +--== 两式相减得：

()111112111

1

112,1n n n n n n b b b b b b a b b b b +-+--=∴=-====又

则 原式左边=()()()()3142531111n n b b b b b b b b b +-+-+-+-++- 12111n n b b b b b +=

--++ ()

11222211n n n n b b b b n ++=-++>-+=+- 25.若S n 和T n 分别表示数列{a n }及{b n }前n 项之和，对任意正整数n ，a n =-2(n +1)，T n -3S n =4n .

(1)求数列{b n }的通项公式；

(2)在平面直角坐标系内，直线l n 的斜率为b n 且与曲线y =x 2有且仅有一个交点，与y 轴

交于点D n ，记d n =3

1|D n +1D n |-(2n +7)，求d n ； (3)若c n =1

2212+++n n n n d d d d (n ∈N *)，求∞→n lim (c 1+c 2+…+c n -n ). 18.(1)∵a n =-2(n +1)，∴{a n }是等差数列，a 1=-4，S n =2)(1n a a n +=-n 2-3n ，∴T n =3S n +4n =-3n 2-5n ，当n =1时，b 1=T 1=-8;当n ≥2时，b n =T n -T n -1=-3n 2-5n -［-3(n -1)2-5(n -1)］=-6n -2，而b 1符合此式，故b n =-6n -2(n N *).

(2)设l n 的方程为y =b n x +m ，由???+==m x b y x y n 2

消去y 得：x 2-b n x -m =0，∵直线l n 与

山东学大信息技术有限公司—分教管部制

Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

曲线只有一个交点，∴Δ=0，即b

2n +4=0，∴m =-42n b ，则D n ???? ??-4,02n b ?d n =31|D n +1D n |-(2n +7)=31???? ??---+44212n n b b -（2n +7）=31=4

)86(4)26(2

2+-++--n n -(2n +7)=6n +5-(2n +7)=4n -2，∴d n =4n -2(n ∈N *). (3)∵c n =)24)(24(2)24()24(2)(221221-+-++=+++n n n n d d d d n n n n =1211211141422+--+=-+n n n

n

∴c 1+c 2+c 3+c 4+…+c n -n =??? ??-+3111+??? ??-+51311+…＋

??

? ??+--+1211211n n -n =1-121+n ， ∴∞→n lim (c 1+c 2+c 3+…+c n -n )=∞→n lim =11211=??

? ??+-n . 26.已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）、设11n n n b a a +=

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；

点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得

a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.

又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.

山东学大信息技术有限公司—分教管部制

Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[]

)1(2)132---n n （＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=

n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ， 故T n ＝∑=n i i b 1＝

21??

????+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20

m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.

27.已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，…

（1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；

（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项；

（3） 记b n =2

11++n n a a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +132-n T =1. 解：（Ⅰ）由已知212n n n a a a +=+， 211(1)n n a a +∴+=+ 12a =

11n a ∴+>，两边取对数得

1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即1lg(1)2lg(1)

n n a a ++=+ {lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知11lg(1)2lg(1)n n a a -+=?+ 1122lg3lg3n n --=?= 1213n n a -∴+=（*）

12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a ) 012222333=????n-12…3 21223+++=n-1…+2=n 2-13 由（*）式得1231n n a -=-

（Ⅲ）2102n n a a a +=+1(2)n n n a a a +∴=+ 11111()22n n n a a a +∴=-+

山东学大信息技术有限公司—分教管部制

Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

1

1122n n n a a a +∴=-+ 又112n n n b a a =++1

112()n n n b a a +∴=- 12n S b b ∴=++n …+b 122311111112()n n a a a a a a +=-+-+-…+11

112()n a a +=- 1221131,2,31n n n n a a a -+=-==-22131n n S ∴=-

- 又213n n T -=2131

n n S T ∴+=-. 28.已知点（1，3

1）是函数,0()(>=a a x f x 且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1+n S （2n ≥）.

（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；

（2）若数列{}11

+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20091000的最小正整数n 是多少? . 【解析】（1）()113f a ==Q ,()13x f x ??∴= ???

()1113

a f c c =-=- ,()()221a f c f c =---????????29=-, ()()323227

a f c f c =---=-???????? . 又数列{}n a 成等比数列，221342181233

27

a a c a ===-=-- ，所以 1c =； 又公比2113a q a ==，所以12112333n n n a -????=-=- ? ????? *n N ∈ ；

山东学大信息技术有限公司—分教管部制

Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

()()1111n n n n n n n n S S S S S S S S -----=-+=+Q ()2n ≥ 又0n b >,0n S >, 11n n S S -∴-=； 数列{}n S 构成一个首相为1公差为1的等差数列，()111n S n n =+-?= ， 2n S n = 当2n ≥， ()2

21121n n n b S S n n n -=-=--=- ； 21n b n ∴=-(*n N ∈)； （2）12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++L ()1111133557

(21)21n n =++++???-?+K 1111111111112323525722121n n ????????=-+-+-++- ? ? ? ?-+????????K 11122121

n n n ??=-= ?++??； 由1000212009n n T n =

>+得10009n >，满足10002009

n T >的最小正整数为112. 29.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，n n S n 211212+=；数列{}n b 满足：113=b ， n n n b b b -=++122，其前9项和为.153

⑴求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；

⑵设n T 为数列{}n c 的前n 项和，)12)(112(6--=

n n n b a c ，求使不等式57

k T n >对+∈?N n 都成立的最大正整数k 的值.

【解题思路】⑴利用n a 与n S 的关系式及等差数列的通项公式可求；⑵求出n T 后，判断n T 的单调性.

【解析】⑴ n n S n 211212+=， ∴当1=n 时，611==S a ；

山东学大信息技术有限公司—分教管部制 Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

当2≥n 时，5)1(211)1(2121121221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n 当1=n 时，1651a ==+，∴5+=n a n ； 2

22112+++++=?-=n n n n n n b b b b b b ，∴{}n b 是等差数列，设其公差为d . 则3,5153

369112111==????=+=+d b d b d b ， ∴23)1(35+=-+=n n b n .

⑵ [][]1)23(211)5(26)12)(112(6-+-+=--=n n b a c n n n 121121)12)(12(2+--=+-=

n n n n ∴1211)121121()7151()513

1

()31

1(+-=+--++-+-+-=n n n T n +∈N n ，∴n T 是单调递增数列.

∴当1=n 时，()323111min =-

==T T n ∴57k T n >对+∈?N n 都成立()38573257min <?>?>?k k k T n ∴所求最大正整数k 的值为37.

30.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11=a ，)2(212≥??? ?

?-=n S a S n n n . ⑴求{}n a 的通项； ⑵设1

2+=n S b n n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】⑴ ??? ??-=212n n n S a S ，∴2≥n 时，??? ?

?--=-21)(12n n n n S S S S ， 整理得，2112111=-?=----n n n n n n S S S S S S ，

山东学大信息技术有限公司—分教管部制

Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

∴数列{}n a 是以2为公差的等差数列，其首项为.111

=S ∴121)1(211-=?-+=n S n S n n ，∴2

2)12(2122-=-=n S S a n n n ； ⑵由⑴知，??? ??+--=+-=+=12112121)12)(12(112n n n n n S b n n ∴??????+--++-+-+-=

)121121()7151()5131()311(21n n T n ∴.1

2)1211(21+=+-=n n n T n 31.已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，…

（1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；

（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项；

（3） 记b n =2

11++n n a a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +132-n T =1. 解：（Ⅰ）由已知212n n n a a a +=+， 211(1)n n a a +∴+=+ 12a =

11n a ∴+>，两边取对数得

1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即1lg(1)2lg(1)

n n a a ++=+ {lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知11lg(1)2lg(1)n n a a -+=?+ 1122lg3lg3n n --=?= 1213n n a -∴+=（*）

12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a ) 012222333=????n-12…3 21223+++=n-1…+2=n 2-13 由（*）式得1231n n a -=-

（Ⅲ）2102n n a a a +=+1(2)n n n a a a +∴=+ 11111()22

n n n a a a +∴=-+ 11122n n n a a a +∴=-+

山东学大信息技术有限公司—分教管部制

Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

又112n n n b a a =++1

112()n n n b a a +∴=- 12n S b b ∴=++n …+b 122311111112()n n a a a a a a +=-+-+-…+11

112()n a a +=- 1221131,2,31n n n n a a a -+=-==-22131n n S ∴=-

- 又213n n T -=2131

n n S T ∴+=-. 32.等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，

11b =，且2264b S =，{}n b 是公比为64的等比数列．

（1）求n a 与n b ；

（2）证明：1

1S ＋21S ＋……＋n S 1＜43．

33.解：设{n a }公差为d ，由题意易知d ≥0，且d ∈N*，

则{n a }通项n a =3 +（n －1）d ，前n 项和d n n n S n 2

)1(3-+=。 再设{n b }公比为q ，则{n b }通项1-=n n q b

由6422=S b 可得 64)6(·

=+d q ① 又{n a b }为公比为64的等比数列， ∴d a a a a a a q q q

q b b n n n n n n ===---+++111

11，∴64=d q ② 联立①、②及d ≥0，且d ∈N*可解得q = 8，d = 2 ∴{n a }通项n a = 2n + 1 ，n ∈N*

{n b }通项18-=n n b ，n ∈N*

（2）由（1）知)2(22

)1(3+=?-+=n n n n n S n ，n ∈N* ∴)211(21)2(11+-=+=n n n n S n ，n ∈N*

山东学大信息技术有限公司—分教管部制

Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

∴

34. 在正项数列{}n a 中,令11

1n n i i i S a a =+=+∑. （Ⅰ）若{}n a 是首项为25,公差为2的等差数列,求100S ； （Ⅱ）若11

n n np S a a +=+（p 为正常数）对正整数n 恒成立,求证{}n a 为等差数列； （Ⅰ）解：由题意得,

1112i i i i a a a a ++-=+,所以100S =201152a a -= （Ⅱ）证:令1n =,

12121p a a a a =++,则p =1 所以111n n i i i S a a =+=+∑=11

n np a a ++（1）, 11111n n i i i S a a ++=+=+∑=12

(1)n n p a a +++（2）, （2）—（1）,得

12(1)n n a a +++—11n n a a ++=121n n a a +++, 化简得121(1)(1)n n n a na a n +++-=≥（3）

231(2)(1)(1)n n n a n a a n +++-+=≥（4）,（4）—（3）得1322(1)n n n a a a n ++++=≥ 在（3）中令1n =,得1322a a a +=,从而{}n a 为等差数列 4

3)2111(2143)]2111()211[(21)]21514131()131211[(21)2114121311(21)211(21)4121(21)311(2111121<+++-=+++-+=++++-++++=+-++-+-=+-++-+-=+++n n n n n n n n n n S S S n

山东学大信息技术有限公司—分教管部制

Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

35.数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2

ln n

n n a x b =

，求证:对任意实数(]e x ,1∈（e 是

常数，e ＝2.71828???）和任意正整数n ，总有n T < 2；

(Ⅲ) 正数数列{}n c 中，())(,*1

1N n c a n n n ∈=++.求数列{}n c 中的最大项.

（Ⅰ）解：由已知：对于*N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立

∴21112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）② ①--②得2

1122----+=n n n n n a a a a a ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a

∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2） ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 又n=1时，21112S a a =+， 解得1a =1 ∴n a n =.(*N n ∈)

（Ⅱ）证明：∵对任意实数(]e x ,1∈和任意正整数n ，总有2

ln n

n n a x b =

≤

21

n

. ∴()n n n T n 113212*********

22-++?+?+<+++≤

21

211131212111<-=--++-+-

+=n

n n (Ⅲ)解：由已知 2212

12=?==c c a ，

山东学大信息技术有限公司—分教管部制 Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

54545434343232355,

244,33=?====?===?==c c a c c a c c a

易得 12234,...c c c c c <>>> 猜想 n ≥2 时，{}n c 是递减数列.

令()()22ln 1ln 1,ln x

x x x x x x f x x x f -=-?='=则 ∵当().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ，即则时，

∴在[)+∞,3内()x f 为单调递减函数.

由()1

1ln ln 11++==++n n c c a n n n n 知. ∴n ≥2 时, {}n c ln 是递减数列.即{}n c 是递减数列. 又12c c < , ∴数列{}n c 中的最大项为323=c .

36. 已知数列{}n a 的首项1213a a ==，，前n 项和为n S ，且1n S +、n S 、1n S -（n ≥2）分别是直线l 上的点A 、B 、C 的横坐标，21n n a AB BC a +=，设11b =，12log (1)n n n b a b +=++．

⑴ 判断数列{1}n a +是否为等比数列，并证明你的结论；

⑵ 设111

14n b n n n n c a a +-++=，证明：11<∑=n k k C ．

解：⑴由题意得1112121n n n n n n n n

S S a a a S S a ++--+=?=+- ∴112(1)n n a a ++=+（n ≥2）

，又∵11a =，23a = ∴数列{1}n a +是以112a +=为首项，以2为公比的等比数列。

山东学大信息技术有限公司—分教管部制

Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

[则12n n a +=∴21n n a =-（*n N ∈）]

⑵由21n n a =-及12log (1)n n n b a b +=++得1n n b b n +=+ ∴

(1)12n n n b -=+， 则1111142(21)(21)n b n n n n n n n c a a +-+++==--1211211---=+n n ??? ??---++??? ??---+??? ??---+??? ??---=+=∑1211211211211211211211211433221

n n n k k C 1121

11<--=+n

37. 已知函数211()24

f x x x =-+，()f x '为函数()f x 的导函数． （Ⅰ）若数列{}n a 满足：11a =，1()()n n a f a f n +''=+（n N *∈），求数列{}n a 的通项n a ；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足：1b b =，12()n n b f b +=（n N *∈）．

ⅰ.当12

b =时，数列{}n b 是否为等差数列？若是，请求出数列{}n b 的通项n b ；若不是，请说明理由；

ⅱ.当112b <<时， 求证：11221n i i

b b =<-∑．

解：（Ⅰ）1()22

f x x '=-

， 111(2)(2)22122n n n a a n a n +∴=-+-=+-， 即12(1)12(21)n n a n a n ++++=++． 11a =， ∴数列{21}n a n ++是首项为4，公比为2的等比数列． 12142n n a n -∴++=?，即1221n n a n +=--．

（Ⅱ）（ⅰ） 12()n n b f b +=2122

n n b b =-+， 2112()2n n n b b b +∴-=-．

山东学大信息技术有限公司—分教管部制

Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

∴当112

b =时，212b =． 假设12k b =，则k k b b =+1． 由数学归纳法，得出数列{}n b 为常数数列，是等差数列，其通项为12n b =

． （ⅱ）21122n n n b b b +=-+

， 2112()2

n n n b b b +∴-=-． ∴当1112b <<时，2112

b b >>． 假设12

k b >，则 112k k b b +>>． 由数学归纳法，得出数列12

n b >(1,2,3,)n =． 又1112()22n n n b b b +-=-， 11122111n n n

b b b +∴=---， 即11122111n n n b b b +=---． ∴11n i i b =∑11112211()n i i i b b =+=---∑111122

11n b b +=---． 112

n b +>， 1112

11221n i i b b b =∴<=--∑． 38.已知函数错误！未找到引用源。且任意的错误！未找到引用源。、错误！未找

到引用源。都有错误！未找到引用源。

（1）若数列错误！未找到引用源。

（2）求错误！未找到引用源。的值.

解：（1）错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

而错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

（2）由题设，有错误！未找到引用源。

又错误！未找到引用源。

山东学大信息技术有限公司—分教管部制 Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

得错误！未找到引用源。上为奇函数. 由 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 得错误！未找到引用源。

于是错误！未找到引用源。

故错误！未找到引用源。

39.已知数列{}n a 满足.21211--+=n n n a n

a a *)(N n ∈ (1)若数列{}n a 是以常数1a 首项,公差也为1a 的等差数列,求a 1的值;

(2)若012a =

,求证：21111n n a a n --<对任意n N *∈都成立； (3)若012

a =,求证：12n n a n n +<<+对任意n N *∈都成立. 解 (1)由21121()n n n a a a n N n

*--=+∈得：[]211121(2)a a n a n =+- 即221121()n a a n

-=，求得10a = （2）由10n n a a ->>知1121n n n n a a a a n

--<+， 两边同除以1n n a a -，得21111n n a a n

--< （3）00112

111111111()()()n n n a a a a a a a a --=-+-++- 222111123n <++++ 11111223(1)n n

<++++??- 111111111()()()()233445

(1)n n =+-+-+-++-- 12n =-，将012

a =代入，得n a n <； ㈠ 11n a n -<- ∴ 21121n n n a a a n --=+1121n n n a a n ---<+

山东学大信息技术有限公司—分教管部制 Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

2

121

n n n a a n n ->+- 2112211n n n n n a a a a n n n -->+?+- 211111111

n n a a n n n n -->>-+-+

11223111111111()()()n n n a a a a a a a a --=-+-++- 111111()()()2334

1n n >-+-++-+ 1121n =-+ 而134a =， 1512611n n a n n +∴<+<++ 12n n a n +∴>+ ㈡ 由㈠㈡知，命题成立.

40.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，)1(2,11-+==n n

S a a n n 。 （1）求证：数列{}n a 为等差数列，并分别求出n a 、n S 的表达式； （2）设数列}1{

1+n n a a 的前n 项和为n T ，求证：4151<≤n T ； （3）是否存在自然数n,使得2009)1(

322321=--++++n n

S S S S n ？若存在，求出n 的值；若不存在,请说明理由。

又易知n T 单调递增，故n T 511=≥T ，得4151<≤n T

山东学大信息技术有限公司—分教管部制 Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

(3)由)1(2--=n n na S n n 得

12-=n n S n 22321)1()12(531)1(32---++++=--++++n n n n

S S S S n =12-n ……13分

由200912=-n ，得n=1005,即存在满足条件的自然数n=1005.

41.数列{}n a ：满足2112,66().n n

n a a a a n N *+==++∈ (Ⅰ) 设5log (3)n n C a =+，求证{}n C 是等比数列； (Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式; （Ⅲ）设21166n n n n

b a a a =--+,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证: 51.164n T -≤<- 解：(Ⅰ)由2166,n n n a a a +=++得213(3).n n a a ++=+

515log (3)2log (3)n n a a +∴+=+，即 12n n C C +=， {}n C ∴是以２为公比的等比数列 (Ⅱ) 又15log 51C == 12n n C -∴=即 15log (3)2n n a -+=，

1235.n n a -∴+= 故1

25 3.n n a -=- （Ⅲ）211111,6666n n n n n n b a a a a a +=-=--+--2111111.66459n n n T a a +∴=-=----- 又221

110,591659n <≤=--51.164n T ∴-≤<-

42. 已知数列{}n a 中，13a =，25a =，其前n 项和n S 满足()121223n n n n S S S n ---+=+≥.

令11n n n b a a +=?.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若()12x f x -=，求证：()()()121126n n T b f b f b f n =+++<（1n ≥）；

山东学大信息技术有限公司—分教管部制

Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

（Ⅲ）令()231231

2

n n n T b a b a b a b a =

++++（0a >）

，求同时满足下列两个条件的所有a 的值：①对于任意正整数n ，都有16

n T <；②对于任意的10,6m ??

∈ ???

，均存在

0n N *∈，使得0n n ≥时，n T m >.

解：（Ⅰ）由题意知()111223n n n n n S S S S n -----=-+≥即()1123n n n a a n --=+≥ ∴()()()112322n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+

+-+

()1221222225222212213n n n n n n ----=++

++=++

++++=+≥

检验知1n =、2时，结论也成立，故21n n a =+.

（Ⅱ）由于()()()()()()()

11

111

212111111222212121212121n n

n n n n n n n n b f n +-++++-+??=?=?=- ?++++++?? 故

()()()122231111111

1122121212122121n n n n T b f b f b f n +????????=++

+=

-+-++- ? ? ???++++++?

???????

1111111212212126

n +??=-<?= ?+++??. （Ⅲ）（ⅰ）当2a =时，由（Ⅱ）知：1

6n T <，即条件①满足；又106

m <<，

∴12111

1

3

3

21110212211616n n n T m m n log m m ++??

?

?

>?->?>-?>-->

? ?++--????

. 取0n 等于不超过23116log m ??

-

?-??

的最大整数，则当0n n ≥时，n T m >.…9′

（ⅱ）当2a >时，∵1n ≥，222n

n n a a a ??= ???≥，∴22n n a a ?≥，∴2222

n n n n n n a a

b a b b ???=??≥.

∴()1111111122

2221221n

n

i i n i i n i i a a T b a b -+==????=?=?- ?

?++????∑∑≥. 由（ⅰ）知存在0n N *∈，当0n n ≥时，11111

212213n a

+??-> ?++??， 故存在0n N *∈，当0n n ≥时，111

1

1

1

221221236

n n a a T a +??=?->?= ?++??，不满足条件.

山东学大信息技术有限公司—分教管部制 Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

（ⅲ）当02a <<时，∵1n ≥，222n

n n a a a ??= ???≤，∴22n n a a ?≤，∴2222

n n n n n n a a b a b b ???=??≤. ∴()()11111111222221221n

n i i n i i n i i a a T b a b -+==??==?- ?++??∑∑≤. 取10,126a m ??=∈ ???

，若存在0n N *∈，当0n n ≥时，n T m >，则111122122112n a a +???-> ?++??

. ∴111112213

n +->++矛盾. 故不存在0n N *∈，当0n n ≥时，n T m >.不满足条件. 综上所述：只有2a =时满足条件，故2a =.

43. 已知数列{}n a 满足()()()11121,.24n n n n a n a a n N a n

*++-==∈+ （1）求234,,a a a ；

（2）已知存在实数α，使n n a n a n α??+??+??

为公差为1-的等差数列，求α的值； （3）记()2

221

3n n n b n N a *++=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：23112

n S +>-.

解：（1）112

a =，由数列{}n a 的递推公式得 20a =，334a =-，485

a =- （2）11(1)1n n n n a n a n a n a n αα+++++-+++

=(1)(2)(1)4(1)(2)14n n n n n n n a n n a n a n n a n a n n a n αα+-++++-+-++++

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/l941.html