山东大学《高等数学》期末复习参考题(13)

山东大学《数学分析III》期末复习参考题

题 号 得 分 一 二 三 四 总 分

一、填空题（共 10 小题，40 分）

1、设函数F(x,y,z)可微，曲面F(x,y,z)?0过点M(2,?1,0)，且Fx(2,?1,0)?5, Fy(2,?1,0)??2,Fz(2,?1,0)??3.过点M作曲面的一个法向量n，已知n与x轴正向的

夹角为钝角，则n与z轴正向的夹角?=______ 。

2、函数z?arcsinxyyx的定义域为 ??????? 。

3、设u?xy?，则

?u?x?y2=??????? 。

?12sin(xy)?4、设f(x,y)??xy??0xy?0xy?0yx，则fx(0,1)= ???????。

5、函数f(x,y)?1x?y22cos的间断点为 ??????? 。

?6、函数z?exey在点（1，0）沿a??3,?2?方向的方向导数是???????。

7、设C为平面上从点A(x1,y1)到点B(x2,y2)的有向曲线弧，函数f(x)是连续函数，则

8、若D是以(0，0)，(1，0)及(0，1)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知

=___________.

9、设函数F(x,y,z)具有一阶连续偏导数，曲面 F(x,y,z)?0过点 P(?1,3,?4)，且Fx(P)??3,Fy(P)?23,Fz(P)?1，则曲面 F(x,y,z)?0在点 P的法线与

zx平面的夹角是???????。

10、函数f(x,y,z)=在点(1，－1，1)处的梯度等于__________.

二、选择题（共 5 小题，20 分）

?x2y2?1、函数f(x,y)??x4?y4?0?(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在点(0,0)处（ ）

(A)连续但不可微； (C)可导但不可微；

(B)可微；

?4 (D)既不连续又不可导。

点处的切线与zx平面交角的正

2、曲线x?etcost,y?etsint,z?et在对应于t?弦值是（

(A) 3、设

23

）

(B)

13 (C) 0 (D) 1

，则U(x,y)= ( )

4、设曲面z?x2?y2上点 P的切平面平行于平面 4x?2y?z?16，则点 P到已知平面的距离等于( )

（A）21

（B）

21

（C）

121 （D）

121

5、设C是从A(1，1)到B(2，3)的直线，则?(x?3y)dx?(y?3x)dy?( )

C

三、计算题（共 3 小题，30 分）

5、设函数z?z(x,y)由方程zsiny?cos(x?z)?1所确定，求

?z?z。 ,?x?y4、计算曲线积分 4、计算?yds,L ，其中L是由A(－1，0)经B(0，1)至C(1，0)的折线。

x?y??是?2 . 22x?y?4z?1?四、证明题（10 分）

设函数f(x,y)具有三阶连续偏导数，且对任意的x,y均成立f的所有三阶偏导数的绝

对值不超过正数M，试证：

|f(x,y)?f?a,b??fx(a,b)(x?a)?fy(a,b)(y?b)?12[fxx(a,b)(x?a)?2fxy(a,b)(x?a)(x?b)?fyy(a,b)(y?b)|?22M 6其中a,b为常数，且x?a?y?b?1。

《数学分析III》期末试卷13答案与评分标准

一、填空题（共 10 小题，40 分）

1、

?3

2、?1?x?1，y?0

3、1?1x2

4、1

5、直线y??x及x?0 6、

e

137、

8、16 9、

?3

10、e9?2i?6j?12k?

二、选择题（共 5 小题，20 分）

CADBD

三、计算题（共 3 小题，30 分）

1、解：

sinydz?zcosydy?sin(x?z)(dx?dz)?0

?siny?sin(x?z)?dz??sin(x?z)dx?zcosydy?z?x??sin(x?z)siny?sin(x?z) ?z??zcosy?ysiny?sin(x?z) 2、解：L：x?y?1，

其中AB：y?x?1，

BC：x?y?1。 原式??3dx?dyL

6分）

8分）

10分）

（4分）（6分） （（（

???AB?BC(3dx?dy)

1??04dx??1?02dx?6 （10分）

3、解：将x?y代入x2?y2?4z2?1，得 2x2?4z2?1 令 x?y?1cost,z?1sint,0?t?2? （4分）

222??yds??1sin2t?12L02cost4costdt

? 22?cost?11?221?3sin2tdt?2?1?3u2du00?2[u2 21?3u?123ln(3u?1?3u2]101 ?2?6ln(2?3) 10 分）

证明：f(x,y)?f(a,b)?fx?a,b?(x?a)?fy?a,b??y?b?

?12?f22xx?a,b??x?a??2fxy?a,b??x?a??y?b??fyy?y?b???R2

（5分）

|f(x,y)?f?a,b??fx?a,b?(x?a)?fy?a,b??y?b?

?12?fxx?a,b??x?a?2?2fxy?a,b??x?a??y?b??fyy?y?b?2?|?R2

（7分）

?|1x?a?3?3f23![fxxx??,???xxy??,??(x?a)(y?b)

?3f23xyy(?,?)(x?a)(y?b)?fyyy(?,?)(y?b)]|（?在a,x之间，?在b,y之间）

?M6?x?a3?3x?a2y?b?3x?ay?b2?y?b3?（10分）

?M?x?a?y?b?367分）

（10分）（

四、证明题（共?M6 10分

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