2016上海秋季数学八年级第13讲-证明举例(二)ClZIl

精锐教育1对3辅导讲义

案例1：倍长中线法：延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。倍长中线法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系。

如图，在△ABC中，AD是BC边中线；在利用倍长中线法解题时，请用准确的语句描述下图所添加的辅助线：延长到使，联结。

知识点一：倍长中线法

例1：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD，求证：AB=AC

E

D

B C

A

D

B C

A

6 / 6

6 / 6 例2. 如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，求证：2AB AC AD +>．

思考：你能总结什么情况下需要添加倍长中线法吗？

思考：上述题目除了用倍长中线法外，还可以用什么方法添加辅助线？

知识点二: 平行线法

例3：如图4，,CB CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC=AB. 求证：CE=2CD.

例4：如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是AB 上的一点，F 是AC 延长线上一点，连DF 交BC 于E ，若DB=CF ，

求证：DE=EF ．

1、 2、

例5： 如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．

试一试：如图，在ABC ?中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ?的角平分线．

1.在△ABC 中，AC=5，中线AD=7，则AB 边的取值范围是( )

A .2＜A

B ＜12 B .4＜AB ＜12

C .9＜AB ＜19

D .10＜AB ＜19

参考答案：C

2.已知：如图，△ABC （AB ≠AC ）中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF=AC ．求证：AE 平分∠BAC ．

3. 已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE

E

D B

C A

F

F

G

E D C

B A

6 / 6 4. 如图，点D 、E 三等分△ABC 的BC 边，求证：AB+AC > AD+AE.

1.如图，点E 是BC 的中点，∠BAE=∠CDE ，延长DE 到点F 使得EF=DE ，联结BF ，则下列说法正确的是（ ）

①BF ∥CD ②△BFE ≌△CDE ③AB=BF ④△ABE 为等腰三角形

A .①②③

B .②③④

C .①③④

D .①②③④

F E B C

D

A

6 / 6 2.如图，在△ABC 中，AB=2AC ，AD 平分BC ，AD ⊥AC ，则∠BAC 的度数为（ ）

A ．100°

B . 105°

C . 120°

D . 135°

3.如图，已知CB 、CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC=AB ，给出下列结论：①AE=2AC ；②

CE=2CD ；③∠ACD=∠BCE ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是（ ）

A .①②④

B .①③④

C .①②③

D .①②③④

4.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，在AB 边上取点D ，在AC 的延长线上取点E ，使得BD=CE ，联结DE 交BC 于点G ，求证：DG=GE ．

※5．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G 、F 分别为AD 、BC 边上的点，若AG=1，BF=2，90GEF ∠=， 求GF 的长.

1．线段垂直平分线定理及逆定理是什么？

6 / 6 2.角平分线定理及逆定理是什么？

基础练习：

1.如图，△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的中垂线，若△BCE 的周长为25，且BC=10，则AB=________．

2.如图，OP 平分∠AOB ，P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）

A ．P A=P

B B ．PO 平分∠APB

C ．OA=OB

D ．AB 垂直平分OP

3.△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，BC=8，BD=5，则点D 到AB 的距离等于（ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

4.下列说法错误．．

的是（ ） A ．到点P 距离等于1 cm 的点的轨迹是以点P 为圆心，半径长为1cm 的圆；

B ．等腰△AB

C 的底边BC 固定，顶点A 的轨迹是线段BC 的垂直平分线；

C ．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

D ．到直线l 距离等于2cm 的点的轨迹是两条平行于l 且与l 的距离等于2cm 的直线．

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