切线证明

第1篇：证明切线的方法

证明切线的方法

证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进行分析。

（1）圆和直线的唯一公共点已知，方法是：连半

径，证垂直（比较常用）。

（2）圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂

直，证半径。

例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O

在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。DE是圆O的切线吗？

分析：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。

DE是切线。

证明：连接OD。

∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，

∴∠B＝∠C。

又∵OB＝OD，

∴∠B＝∠1。

∴∠1＝∠C。

而DE⊥AC，

∴∠C＋∠2＝90°。

∴∠1＋∠2＝90°。

∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。

∴DE是圆O的切线。

AB

第2篇：证明圆的切线方法

证明圆的切线方法

我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.

求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC. 又∵AB=BC，

∴∠3=∠4.⌒ ⌒

∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF，

∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切，

∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD，

∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E，

∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径，

∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.

∵AD是∠BAC的平分线，

⌒ ⌒

∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE，

∴∠E=∠1. ∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900

即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切

说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC，

∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切

D 证明二：连结OD，AD.

∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC.又∵AB=AC,

C ∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC，

∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD， ∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线

说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.

例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.

求证：DC是⊙O的切线 证明：连结OC、BC.

∵OA=OC，

∴∠A=∠1=∠300.

∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB，

∴△OBC是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD，

∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD. ∴DC是⊙O的切线.

D 说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.证明：连结OC

∵OA2=OD·OP，OA=OC，

∴OC2=OD·OP， OCOP.?ODOC 又∵∠1=∠1，

∴△OCP∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD⊥AB，

∴∠OCP=900. ∴PC是⊙O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的

例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.

证明：取FG中点O，连结OC. ∵ABCD是正方形，

∴BC⊥CD，△CFG是Rt△

∵O是FG的中点，

∴O是Rt△CFG的外心. ∵OC=OG，

∴∠3=∠G，

∵AD∥BC，

∴∠G=∠4. ∵AD=CD，DE=DE，

∠ADE=∠CDE=450，

∴△ADE≌△CDE（SAS）

∴∠4=∠1，∠1=∠3. ∵∠2+∠3=900, ∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC. ∴CE与△CFG的外接圆相切

二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”

例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，

∴DE⊥AB. ∵DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC=900. ∵AB=AC，

∴∠B=∠C. 又∵BD=CD，

∴△BDE≌△CDF（AAS）

∴DF=DE. ∴F在⊙D上. ∴AC是⊙D的切线

证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.

∵AB与⊙D相切， ∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD， ∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC与⊙D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.

例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.

∵AC，BD与⊙O相切，

∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900，

∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5. ∴Rt△AOC∽Rt△BDO. ∴ACOC.?OBODACOC.?OAODO ∵OA=OB，

∴ 又∵∠CAO=∠COD=900，

∴△AOC∽△ODC，

∴∠1=∠2. 又∵OA⊥AC，OE⊥CD, ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线.证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F. ∵AC，BD与⊙O相切， ∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD， ∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，

∴△AOF≌△BOD（AAS）

∴OF=OD.∵∠COD=900， ∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD， ∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.

∵AC与⊙O相切， ∴AC⊥AO.∵AC∥BD， ∴AO⊥BD.∵BD与⊙O相切于B， ∴AO的延长线必经过点B.∴AB是⊙O的直径.∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF， ∴OF∥AC， ∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF， ∴OF?1CD?CF.2∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA⊥AC，OE⊥CD， ∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线

说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.

此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.

第3篇：圆的切线方程公式证明

已知:圆的方程为:(xb)2 = r2, 圆上一点P(x0, y0) 解:圆心C(a, b)

直线CP的斜率:k1 = (y0a)

因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 =a) / (y0y0 = k2 (xy0 = [- (x0b)] (xx0)(x0y0)(y0ax + ax0 + y0yx02a)2 + (y02ax0 + a2 + y12x022by0 + a2 + b2ax + ax0 + y0y2by0 + a2 + b2axyba)(xb)(y(x0 + D/2) / (y0 + E/2)

根据点斜式, 求得切线方程：

yx0)

yx0)

整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2Ey0/2 -x02x02Dx0/2a)2 + (yMC2)

(根据勾股定理)

= √ [(x0b)2MC2)

(根据勾股定理)

= √ [ (x0 + D/2)2 + (y0 + E/2)2 - ((√(D2+E2-4F))/2)2 ]

(半径:r=(√(D2+E2-4F)) / 2)

= √ (x02 + y02 + Dx0 + Ey0 + F)

第4篇：切线的两种证明方法

浅谈切线的两种证明方法

在中学学习圆的时候，我们学过切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。但很多学生在教学过程中对此判定不是很理解，并不知道如何使用这条判定定理来证明切线，为此我总结了一套切线证明的方法，供大家参考。

首先，我们对判定定理分解一下，里面共包含了两个条件：

１.经过半径的外端

２.垂直于这条半径

也就是说只要我们同时满足这两个条件就能说明这条线是切线，而在实际证明过程中，往往是通过辅助线先满足其中一个，再证明另外一个也成立。这里分为两种情况：

一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连接OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直。

例1.如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.

求证：DM与⊙O相切.

证明：连结OD.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

∵OB=OD，

∴∠1=∠B.

∴∠1=∠C.

∴OD∥AC.

∵DM⊥AC，

∴DM⊥OD.

∴DM与⊙O相切.

例2.如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30°，BD=OB，D在AB的延长线上.

求证：DC是⊙O的切线.

证明：连结OC、BC.

∵OA=OC，

∴∠A=∠1=∠30°.

∴∠BOC=∠A+∠1=60°.

又∵OC=OB，

∴△OBC是等边三角形.

∴OB=BC.

∵OB=BD，

∴OB=BC=BD.

∴OC⊥CD.

∴DC是⊙O的切线.

二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直，证半径”。

例3.如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.

求证：AC与⊙D相切.

证明：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.

∵AB是⊙D的切线，

∴DE⊥AB.

∵DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC=90°.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

又∵BD=CD，

∴△BDE≌△CDF（AAS）

∴DF=DE.

∴F在⊙D上.

∴AC是⊙D的切线.

例4.如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=90°.

求证：CD是⊙O的切线.

证明：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.

∵ AC，BD与⊙O相切，

∴ AC⊥OA，BD⊥OB.

∵ AC∥BD，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.

∵∠COD=90°，

∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°.

∵∠4+∠5=90°.

∴∠1=∠5.

∴Rt△AOC∽Rt△BDO.

又∵∠CAO=∠COD=90°，

∴△AOC∽△ODC，

∴∠1=∠2.

又∵OA⊥AC，OE⊥CD,

∴OE=OA.

∴ E点在⊙O上.

∴ CD是⊙O的切线.

切线的证明题目形式多变，但切线的证明方法一般就这两种，只要你能判别情况，清楚证明方向，你离成功也就不远了。

（作者单位 江西省赣州市信丰县大阿中学）

第5篇：圆的切线计算与证明题

圆的切线证明与计算专题训练

1.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切.

2.如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切.

3.如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切.

4.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30O，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线.

5.如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于点E. 求证：AC是⊙D的切线.

6.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是弧BC的中点，DP⊥AC，垂足为点P. 求证：PD是⊙O的切线.

7.已经⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连接CO，若AD//OC交⊙O于D. 求证：CD是⊙O的切线.

8.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90，弦BD=BA，AB=12，BC=5,BE⊥DC交DC的延长线与点E. 求证：BE是⊙O的切线.

O

9.如图，在△ABC中，∠C=90O，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D.（1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BD=5，求AC的长.

10.如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点.（1）求证：GE是⊙O的切线；

（2）若OC=5，CE=6，求AE的长.

11.如图，在Rt△ABC中，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径作圆.（1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求证：AB+EB=AC.

12.如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于D，作DE⊥BC于E.（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，∠A=30O，AB=8，求DG的长.

13.如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD的延长线的垂涎PQ，

垂足为C.（1）求证：PQ是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，TC?3，求弦AD的长.

14.如图，割线ABC与⊙O相交与B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于点F，DE交AC于G，∠ADG=∠AGD.（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若AB=2，AD=4,BC=6,EG=2，求⊙O的半径.

15.如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于A、C两点，点D在⊙O上，∠A=∠B=30O.（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若点N在⊙O上，且DN⊥AB，垂足为M，NC=10,求AD的长.

116.如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC?OB.

2（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若∠ACD=45O，OC=2,求弦CD的长.

17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA//BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD.（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长.

18.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90.（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若∠ACB=75O，⊙O的半径为2，求BD的长.

O

19.如图，AB是⊙O直径，OD⊥BC与点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB.（1）求证：直线BD与⊙O相切； （2）当AB=10，BC=8时，求BD的长.

20.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=30O，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E.（1）求证：CF与⊙O相切；

（2）若⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.

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