基于ANSYS的齿轮静力学分析及模态分析

学号：08507019

2011届本科生毕业论文（设计）

题 目：基于ANSYS的齿轮模态分析

学院(系)：机械与电子工程学院 专业年级： 机制072班 学生姓名： 何旭栋 指导教师： 杨创创 合作指导教师：

完成日期： 2011-06- I

目 录

第一章 绪论 .......................................................................- 1 -

1.1课题的研究背景和意义 ..........................................................- 1 - 1.2 齿轮弯曲应力研究现状 .........................................................- 1 - 1.3 齿面接触应力研究现状 .........................................................- 2 - 1.4 齿轮固有特性研究现状 .........................................................- 2 - 1.5 论文主要研究内容..............................................................- 3 -

第二章 齿轮三维实体建模 .........................................................- 3 -

2.1 三维建模软件的选择 ...........................................................- 3 - 2.2 齿轮参数化建模的基本过程 .....................................................- 4 - 2.3 利用pro/e对齿轮进行装配 .....................................................- 5 -

第三章 齿轮弯曲应力有限元分析 ..................................................- 6 -

3.1齿轮弯曲强度理论及其计算 ......................................................- 6 -

3.1.1 齿轮弯曲强度理论 .........................................................- 6 - 3.1.2 齿形系数的计算方法 .......................................................- 7 - 3.2 齿轮弯曲应力的有限元分析 .....................................................- 8 - 3.2.1选择材料及网格单元划分 ....................................................- 8 - 3.2.2约束条件和施加载荷 ........................................................- 8 - 3.2.3计算求解及后处理 ..........................................................- 9 - 3.3 齿轮弯曲应力的结果对比 ......................................................- 12 -

第四章 齿轮接触应力有限元分析 .................................................- 13 -

4.1经典接触力学方法 .............................................................- 13 - 4.2 接触分析有限元法思想 ........................................................- 14 - 4.3 ANSYS有限元软件的接触分析 ...................................................- 16 - 4.3.1 ANSYS的接触类型与接触方式 ..............................................- 16 - 4.3.2 ANSYS的接触算法 .........................................................- 16 - 4.4 齿轮有限元接触分析 ..........................................................- 17 - 4.4.1将Pro/E 模型导入ANSYS 软件中 ...........................................- 17 - 4.4.2 定义单元属性和网格划分 ..................................................- 17 - 4.4.3 定义接触对 ...............................................................- 18 - 4.4.4 约束条件和施加载荷 ......................................................- 18 - 4.4.5 定义求解和载荷步选项 ....................................................- 19 - 4.4.6 计算求解及后处理 ........................................................- 19 - 4.5有限元分析结果与赫兹公式计算结果比较 ........................................- 21 -

第五章 齿轮模态的有限元分析 ...................................................- 22 -

5.1 模态分析的必要性.............................................................- 22 - 5.2 齿轮的固有振动分析 ..........................................................- 22 - 5.3 模态分析理论基础.............................................................- 22 - 5.4 模态分析简介 .................................................................- 24 - 5.4.1模态提取方法 .............................................................- 24 - 5.4.2模态分析的步骤 ...........................................................- 25 -

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5.5 齿轮的模态分析 ...............................................................- 25 - 5.5.1 将Pro/E 模型导入ANSYS 软件中 ...........................................- 25 - 5.5.2 定义单元属性和网格划分 ..................................................- 25 - 5.5.3 加载及求解 ...............................................................- 26 - 5.5.4扩展模态和模态扩展求解 ...................................................- 26 - 5.5.5 查看结果和后处理 ........................................................- 27 - 5.6 ANSYS模态结果分析 ...........................................................- 28 -

第六章 全文总结与展望 ..........................................................- 31 -

6.1 全文总结 .....................................................................- 31 - 6.2 本文分析方法的优点 ..........................................................- 31 - 6.3 本文缺陷及今后改进的方向 ....................................................- 32 -

参考文献 ..........................................................................- 33 - 附录1 外文翻译 ..................................................................- 34 - 附录2 GUI操作步骤 ..............................................................- 41 - 致 谢 .............................................................................- 45 -

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绪论

第一章 绪论

1.1课题的研究背景和意义

本文研究的对象是履带式拖拉机变速箱齿轮。随着履带式拖拉机性能和速度的提高，对变速箱齿轮也提出了更高的要求。改善齿轮传动性能，如提高承载能力、减轻重量、缩小外形尺寸、提高使用寿命和工作可靠性等，成为齿轮设计中的重要内容。履带式拖拉机变速箱齿轮广泛应用的是圆柱齿轮和圆锥齿轮，其中大约90%是直齿圆柱齿轮。变速箱齿轮工作应力很高，结构上要求重量轻、精度高，并具有足够承载能力和可靠性。齿轮传动失效主要发生在轮齿，主要失效形式有轮齿折断、齿面磨损、齿面点蚀、齿面胶合和塑性变形等[1]。根据齿轮工作特点，在传递功率和运动过程中，轮齿齿根产生弯曲应力，齿面产生接触应力，齿面间相对滑动摩擦而产生磨损。齿轮主要失效特征是弯曲应力作用造成轮齿的变形和折断、接触应力作用而造成的表面疲劳剥落和摩擦作用而造成的磨损。在履带式拖拉机变速箱的维修中，失效齿轮有80%以上是由于面接触疲劳造成的。为了避免由于齿轮接触疲劳而引发的行驶事故，造成不必要的人员伤亡和经济损失，有必要对齿轮的齿面接触应力和齿根弯曲应力进行分析和评估，为变速箱齿轮传动的设计提供依据。

齿轮轮体破坏是重载机械齿轮必须避免的一种破坏形式，为避免由于齿轮共振引起的轮体破坏，有必要对齿轮进行固有特性分析，通过调整齿轮的固有振动频率使其共振转速离开工作转速。 1.2 齿轮弯曲应力研究现状

实验表明，齿轮的工作寿命与最大弯曲应力值的六次方成反比，因此最大弯曲应力略微减小，齿轮工作寿命即会大大提高[2]。齿轮的最大弯曲应力往往出现在齿轮的齿根过渡曲线处，因此精确计算渐开线齿轮齿根过渡曲线处的应力，进而合理设计过渡曲线，对延长齿轮工作寿命、提高齿轮承载能力至关重要。为了进行齿根弯曲强度计算，分析齿根弯曲状态，必须分析齿根的弯曲应力。因此，分析计算轮齿应力与变形的分布特点和变化规律具有重要的意义。而在渐开线齿轮过渡曲线处，轮齿形状发生变化，产生应力集中现象，会直接影响齿轮的寿命和承载能力。齿轮弯曲应力和变形计算大致有四种方法，即材料力学方法、弹性力学方法、试验分析方法和数值方法[3]。

随着计算技术的迅速发展与广泛应用，以有限元法为代表的数值计算方法为齿轮应力和变形分析提供了一种方便、可靠的研究方法．目前齿轮工程中实用的数值解法主要有三种：有限差分法(FDM)、边界元法（BEM)和有限元法(FEM)[3]。在数值计算方法中最引人注目的是有限元法。有限元法用于齿根应力分析大约起始于二十世纪六十年代末、七十年代初，此后迅速发展，国外不少研究人员如Chabert、Wilcox、户部、Chang、Bibel

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齿轮弯曲应力有限元分析

曲应力作为齿根应力。如图3-1所示，垂直于齿面的载荷作用线和齿形中心线的交点A是抛物线的顶点，连接齿形的内切抛物线和齿根过渡曲线的切点的断面BC即是危险断面。当弯曲载荷作用在抛物线梁的顶端时，该梁断面上无论那个位置的最大应力都是相等的，因此，可以把抛物线在齿形的内切位置作为危险断面，而在这个危险断面的位置上

FS考虑弯曲应力。在图3-1中，如齿面法向载荷为n；危险断面齿厚为r；从内切抛物线

σ梁顶端到危险断面的高度为hr；齿宽为b，模数为m时，则齿根应力F如下式：

σF=FNhfcosω2SFb6?FN6(hf/m)cosωFN?YBV2bm(SF/m)bm (2-1)

YBV?6(hf/m)cosω(SF/m)2

式中：

o30 图3-1 路易斯法 图3-2 切线法

3.1.2 齿形系数的计算方法

在计算渐开线齿轮的齿根应力时，不能像计算简单的悬臂梁的弯曲应力那样给定梁的参数。目前计算方法有霍法(H．Hofer)提出的30o切线法[7]。该法如图3-2所示，连接与齿形中心线成30o的直线在齿根圆角处的切点的平面作为危险断面，取载荷作用线和齿形中心线的交点与危险断面的距离作为梁的高度，利用内切抛物线法的齿形系数计算式计算系数值。

有限元法与经典的解析法不同。在经典的解析法中，通常都是从研究连续体中微元体的性质着手，在分析中允许微元体无限多而它的大小趋近于零，从而得到描述弹性体性质的偏微分方程，求解微分方程可以得到一个解析解。这种解是一个数学表达式，它给出物体内每一点上所要求的未知量的值。然而，对于大多数工程实际问题，由于物体

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基于ANSYS的齿轮模态分析

的几何形状的不规则，材料的非线性或不均匀等原因，要得到问题的解析解，往往十分困难。有限元法则从研究有限大小的单元力学特性着手，最后得到一组以节点位移为未知量的代数方程组。应用现成的计算方法，总是可以得到在节点处需要求解的未知量的近似值。

3.2 齿轮弯曲应力的有限元分析

大小齿轮材料相同，接触应力在两相互啮合齿轮的齿面上大小相同，而对于没对接触的齿来说，小齿轮的齿根应力均大于大齿轮的齿根应力，所以在进行齿根弯曲强度校核的时候只需对小齿轮进行校核即可。

齿轮弯曲应力的限元分析的步骤为：1选择材料及网格单元划分； 2 约束条件和施加载荷； 3计算求解及后处理[8]。 3.2.1选择材料及网格单元划分

首先打开软件ANSYS11.0，改文件名为“Bending stress”，并将标题名改为“Bending Anasys of a gear”；

启动PRO/E，打开gear1，.将文件保存IGES格式文件副本； 将gear1.igs导入到ANSYS11.0中；

根据计算对象的具体情况(边界变化情况、应力变化情况等)、计算的精度要求、计算机容量大小、计算的经济性，以及是否有合适的程序等等因素进行全面分析比较，选择合适的单元形式。为了提高计算精度并减少计算量，选择单元类型为8节点四面体单元So1id45；

定义材料的弹性模量E，泊松比υ，密度ρ。其中弹性模量E=206GPa ，泊松比υ= 0.28，密度ρ=7.8×103kg/cm3。

对齿轮进行网格单元划分。选择自由网格划分方式。网格划分结果见图3-3。

图3-3 列表显示节点数和单元数

3.2.2约束条件和施加载荷

施加边界约束条件是有限元分析过程中的重要一环。边界条件是根据物理模型的实际工况在有限元分析模型边界节点上施加的必要约束。边界约束条件的准确度直接影响

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齿轮弯曲应力有限元分析

有限元分析的结果。在有限元分析中确定边界条件一般应做到以下几条：要施加足够的约束，保证模型不产生刚体位移；施加的边界条件必须符合物理模型的实际工况；力求简单直观，便于计算分析。

轮齿在受载时，齿根所受的弯矩最大。根据分析，齿根所受的最大弯矩发生在轮齿啮合点位于单对啮合区最高点。因此，齿根弯曲强度也应该按载荷作用于单对啮合区最高点来计算。由于这种算法比较复杂，通常只用于高精度的齿轮传动。为了便于计算和施加载荷，通常将全部载荷作用于齿顶，作用方向为齿顶圆压力角。为了加载方便，将沿啮合线作用在齿面上的法向载荷Fn在节点处分解为2个相互垂直的分力，即圆周力Ft与径向力Fr。载荷的大小[9]可以根据设计承载的扭矩按公式求得。

2*T Ft? （3-1）

d Fr?Ft*tanα （3-2）

式中，Ft为圆周力；Fr为径向力；T为扭矩；d为载荷作用点处齿轮直径。 施加位移约束：对齿轮内孔分别对X、Y、Z三个方向上的平动和转动进行约束。 施加载荷：对齿轮其中一个轮齿

1ELEMENTS的齿顶圆上的节点施加圆周力Ft与径向 力Fr。每个节点上施加的力[9]按式（3-3） 和（3-4）计算。其中圆周力Ft为6496N

FJUN 4 201112:55:18YZX，径向力Fr为2364.25N，单个轮齿的齿 顶圆上的节点数为16个，故求得

Fx=147.77N,Fy=406N。施加约束和载荷具 STATIC ANSYS OF A GEAR 体结果见图3-4所示。 图3-4 施加约束和载荷

F Fx?r （3-3）

nF Fy?t （3-4）

n3.2.3计算求解及后处理

有限元模型的求解不是目的，求解得出的数学模型的计算结果才是所关心的。ANSYS提供了2个后处理器：通用后处理器和时间历程后处理器。本文对齿轮进行的是静态分析，采用通用后处理器对求解结果进行后处理。

利用ANSYS求解器对齿轮进行求解：采用通用后处理器对齿轮分析结果进行显示。 （1）浏览节点各分量的位移和应力值。依次选择Main Menu>General Postproc>Plot

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基于ANSYS的齿轮模态分析

Results>Contour Plot>Nodal Solu，弹出【Contour Nodal Solution Data】对话框。在【Item to be contoured】列表框中分别选择“DOF Solution”和“stress”选项，再在“DOF Solution”和“stress” 选项中分别选择X,Y,Z三个方向，单击OK按钮，生成结果如图3-5~图3-10所示。

1NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =1TIME=1UX (AVG)RSYS=0DMX =.026217SMN =-.117E-03SMX =.025728MX1NODAL SOLUTIONJUN 4 201114:19:13STEP=1SUB =1TIME=1SX (AVG)RSYS=0DMX =.026217SMN =-737.571SMX =215.979JUN 4 201114:20:55YXZMNMXMNYXZ-.117E-03.002754.005626.008498.011369.014241.017113.019985.022856-737.571.025728-631.621-525.671-419.721-313.771-207.821-101.8714.079110.029215.979STATIC ANSYS OF A GEAR STATIC ANSYS OF A GEAR 图3-5 齿轮1X方向位移 图3-6 齿轮1X方向应力

1NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =1TIME=1UY (AVG)RSYS=0DMX =.026217SMN =-.005114SMX =.006818MXMN1JUN 4 201114:19:46NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =1TIME=1SY (AVG)RSYS=0DMX =.026217SMN =-459.213SMX =455.493JUN 4 201114:21:09YXZMXMNYXZ-459.213-.005114-.003788-.002462-.001137.189E-03.001515.002841.004167.005493-357.579-255.945-154.311-52.67748.957150.591252.225353.859455.493.006818STATIC ANSYS OF A GEAR STATIC ANSYS OF A GEAR 图3-7 齿轮1Y方向位移 图3-8 齿轮1Y方向应力

1NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =1TIME=1UZ (AVG)RSYS=0DMX =.026217SMN =-.001889SMX =.001933MN1NODAL SOLUTIONJUN 4 201114:20:05STEP=1SUB =1TIME=1SZ (AVG)RSYS=0DMX =.026217SMN =-204.058SMX =141.4JUN 4 201114:21:24YMXMXMNYXZXZ-.001889-.001464-.00104-.615E-03-.190E-03.234E-03.659E-03.001084.001508-204.058.001933-165.674-127.29-88.905-50.521-12.13726.24764.632103.016141.4STATIC ANSYS OF A GEAR STATIC ANSYS OF A GEAR 图3-9 齿轮1Z方向位移 图3-10齿轮1Z方向应力

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齿轮弯曲应力有限元分析

（2）浏览节点上的等效应变和应力值。依次选择Main Menu>General Postproc>Plot Results>Contour Plot>Nodal Solu，弹出【Contour Nodal Solution Data】对话框。在【Item to be contoured】列表框中分别选择“DOF Solution”和“stress”选项”，接着分别选择“Displacement vector sum”和“von Mises stress”选项，单击OK按钮，生成结果如图3-11和图3-12所示。

1NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =1TIME=1USUM (AVG)RSYS=0DMX =.026217SMX =.026217JUN 4 201114:20:33MXYXMNZ.005826.011652.017478.023304.002913.008739.014565.020391.026217STATIC ANSYS OF A GEAR 0 图3-11 Displacement vector sum(位移矢量图)

1NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =1TIME=1SEQV (AVG)DMX =.026217SMN =.902E-03SMX =669.066JUN 4 201114:21:45MXYXZMN.902E-0374.342148.682223.023297.363371.704446.044520.385594.726669.066STATIC ANSYS OF A GEAR 图3-12 von Mises 等效应力图

（3）列出节点的列表结果。依次选择Main Menu >General Postproc >List Result >Nodal Solution，弹出【List Nodal Solution】对话框。在【Item to be listed】

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基于ANSYS的齿轮模态分析

列表中选择“Stress”选项和“von Mises stress”选项，单击【OK】按钮。每个单元角节点的6个应力分量将以列表的形式显示，如图3-13所示。

图3-13 列表显示节点结果

3.3 齿轮弯曲应力的结果对比

Von Mises是一种屈服准则,它遵循材料力学第四强度理论(形状改变比能理论)[10]。由图3-10可得，齿轮在外力的作用下齿轮的最大变形量为0.026217cm，变形量不大；由图3-11可得，齿轮在外力的作用下齿轮的最大应力为669.066MPa。齿轮的需用弯曲应力为722.9MP，因此符合强度要求。除了齿顶圆上的最大应力，其他部分的应力分布远远小于许用应力。

由由图3-11可得最大应力分布在齿顶圆施加载荷的地方，而不是出现在传统的齿根部分，这可能是由于在齿顶圆的线宽上出现了应力集中。

用传统方法计算了齿根弯曲疲劳强度[1]，按式（3-5）计算可得齿根弯曲疲劳强度为454MPa。有限元分析的弯曲应力的结果和传统方法的结果具体见表3-2所示。

?F14?2KFTYFa14YSa14Y? （3-5）

bdm表3-2 结果比较

整个轮齿 齿根

有限元法 669.066MPa 223.023MPa

传统方法 454MP阿 454MPa

由上表可知，有限元法分析的是整个轮齿的应力分布情况，而传统方法只能计算齿根处的弯曲应力，没有将齿顶处的应力集中考虑在内；对于齿根处的弯曲应力，从图3-11中可以看出齿根处得应力为223.023左右，而传统方法计算为454MPa，用传统方法得到的结果具有一定的裕度。

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齿轮接触应力有限元分析

第四章 齿轮接触应力有限元分析

4.1经典接触力学方法

渐开线齿轮齿面为形状较为复杂的曲面。然而由于接触区宽度远小于齿面在接触点的曲率半径，因而可对啮合齿面作适当简化。Weck等人的试验结果表明:当运转条件相同时，轮齿间的接触状态可用一对滚子来模拟，所以图4-1中的一对轮齿之间的啮合可以转换为如图4-2所示的两个圆柱体沿其母线的接触，两圆柱体的半径分别与啮合点大小齿轮的齿面曲率半径相等[11]。

在法向压力Fn作用下，由于接触表面局部弹性变形，形成宽为2b，长为L的长方形接触面，如图 所示。根据赫兹公式[1]，使用公式（4-1）计算赫兹半宽b。

221-μ11-μ2?4FnEE2×1 b? （4-1）

11πL?R1R2式中: E1、E2分别是两圆柱材料的弹性模量， μ1 、μ2是两圆柱材料的泊松比。 接触表面上所承受的压力是处处不等的，此压力向量的分布呈半椭圆柱形。最大压力发生在初始接触线处的各点上，并等于平均压力的π/4 。若接触应力为σHmax，则接触面上压力的合力为πσHmaxbL/2 。接触面上的应力应与外力Fn平衡，故有：

πσHmaxbL Fn? （4-2）

22Fn σHmax? （4-3）

πbL接触应力的基本公式如下：

11?FnRR2?×1 （4-4） 22πL1-μ11-μ2?E1E2σHmax

图4-1 齿轮啮合图 图4-2 两圆柱体接触

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基于ANSYS的齿轮模态分析

4.2 接触分析有限元法思想

弹性接触问题属于边界非线性问题，其中既有接触区变化引起的非线性，又有接触压力分布变化引起的非线性以及摩擦作用产生的非线性，求解过程是搜寻准确的接触状态的反复迭代过程[12]。为此，需要先假定一个可能的接触状态，然后带入定解条件，得到接触点的接触内力和位移，判断是否满足接触条件。当不满足接触条件时修改接触点的接触状态重新求解，直到所有接触点都满足接触条件为止。

接触过程通常是依赖于时间的，并伴随着材料非线性和几何非线性的变化过程。特别是在接触过程中，接触界面的区域和形状以及接触界面上的运动学和动力学的状态也是未知的。这些特点决定了接触问题通常采用增量方法求解。

所谓增量解法，是首先将载荷分为若干步f0，f1，f2??，相应的位移也分为若干步a0，a1，a2??。每两步之间的增长量为增量。增量解法的一般做法是假设第m步载荷fm和相应的位移am己知，而后载荷增加为fm?1?(fm??fm)，再求解am?1?(am??am)，。如果每步载荷增量足够小，则解的收敛性是可以保证的。同时，可以得到加载过程中各个阶段的中间值数值结果，便于研究结构位移和应力等随着载荷变化的情况。图4-3表示了用Newton——R即hson方法求解增量方程的过程。

根据接触状态的判定条件，接触条件都是不等式约束，也称之为单边约束。此外，接触面的范围和接触状态也是未知的，所以如何将接触面条件适当的引入求解过程是接触问题求解的关键。鉴于接触问题的特殊性，求解过程需要采用试探一校核的迭代方法进行，每一增量步的迭代过程[12]可一般性的表述如下：

(l)根据前一增量步的结果和当前增量步给定的载荷条件，通过接触状态的检查和搜索，假设此增量步第一次迭代求解的接触区域和接触状态—指两物体的“粘着”或“滑动”状态。

(2)根据上述对接触面区域和状态所作的假设，对于接触面上的每一点，将运动学或动力学上的不等式约束改为等式约束作为定解条件引入方程并进行求解。

(3)利用接触面上的计算结果和上述等式约束 所对应的动力学或运动学的不等式约束条件作为 校核条件对假定的接触状态进行检查。如果接触 面上的每一点都不违反校核条件，则完成本增量 步的求解并转入下一增量步的计算;否则修改接触 状态，回到步骤。

(4)再次进行搜寻和迭代求解，直至每一点的解

都满足校核条件。然后再转入下一增量步的求解。 图4-3 用N一R法解增量方程 综合以上的分析，给出接触问题求解算法的一般流程图(见图4-4)，以方便理解其整个求解过程。

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齿轮接触应力有限元分析

输入模型 定义接触体 细分增量步 输入增量步 检查接触状态 定义接触约束 施加载荷 迭代 装配刚度矩阵 施加接触约束 平衡方程求解 应力计算

更新接触约束 否 是否收敛 否 是 穿透是否合适 是 是否最后增量是 结束 图4-4 求解算法的流程图

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基于ANSYS的齿轮模态分析

4.3 ANSYS有限元软件的接触分析 4.3.1 ANSYS的接触类型与接触方式

ANSYS软件提供了两种接触类型[13]:刚体一柔体接触与柔体一柔体接触。刚体一柔体接触，适用于两接触面的刚度相差较大的物体间接触，假定刚度较大的面是刚体。一般情况下，一种软材料和一种硬材料的接触可被假定为此类接触;柔体一柔体接触是一种更普遍的类型，它假定两接触体均为变形体，适用于两个弹性模量和结构刚性比较接近的物体间接触。本文中分析的一对啮合齿轮材料相同，有近似的刚度，故采用柔体一柔体接触。

ANSYS软件支持三种接触方式[13]：点一点接触、点一面接触与面一面接触。点一点接触主要用于模拟点一点的接触行为，用户需预先知道确切的接触位置，只适于模拟接触面间有较小相对滑动的情况。点一面接触允许接触面上某一节点和被接触体上的某一单元相接触，不需预先知道确切的接触位置，接触面之间也不需要保持一致的网格，并且允许有热传导、有大的变形和大的相对滑动等非线性行为。面一面接触方式，计算量相对较少，适合于复杂表面、大变形、含摩擦力的接触问题求解。圆柱齿轮传动过程中，由于接触部刚度的变化，导致齿面的接触实际上是发生在接触线附近有限的面上。接触面上的节置在发生相互作用时并不固定，且存在齿面的相对滑动，显然点一点型不适合用于轮的接触分析。点一面型可以指定接触面为一组节点，从而代替面一面型接触。但是面-面单元与点一面单元相比有许多优点，例如:没有刚体表面形状限制，允许有自或网格离散引起的表面不连续;支持有大滑动和摩擦的大变形，协调刚度阵计算，提供不对称刚度选项;提供为工程目的所采用的更好的接触结果，如法向应力和摩擦应力。综合以上，选用面一面单元进行齿轮的接触分析比较合理。 4.3.2 ANSYS的接触算法

ANSYS在对接触问题的求解上提供三类算法[14]:拉格朗日乘子(Lagrangemethod)，罚函数法 (penaltymethod)和增广拉格朗日乘子法(AugmentedLagrangemethod)，下面对这三种算法作简单的介绍。

(l)拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法通过增加一个独立自由度，即接触压力，来满足无穿透条件，不需要定义人为的接触刚度去满足接触面间不可穿透的条件，可以直接实现穿透为零的真实接触条件，计算结果较精确。但是该方法增加了系统变量数目，并使刚度阵中出现了对角线元素为零的子矩阵，需要实施额外的操作才能保证计算精度，给计算带来麻烦，这对圆柱齿轮这类三维接触问题尤为不利。还有一个可能发生的严重问题，就是在接触状态发生变化时，接触力有个突变，接触状态的振动式交替改变，如何控制这种改变是纯粹的拉格朗日算法所难以解决的。这种算法主要用于采用特殊的界面单元描述接触的问题分析。该方法限制了接触物体之间的相对运动量，并需要预先知道接触发生的确切位

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基于ANSYS的齿轮模态分析

的结果具有较大的裕度。

第五章 齿轮模态的有限元分析

5.1 模态分析的必要性

一般来说静力分析也许能够确保一个结构可以承受稳定载荷的条件，但是这些远远不够。模态分析用于确定设计结构振动的固有特性，即结构的固有频率和主振型，它们是动态载荷结构设计中的重要参数。同时，也可以作为其它动力学分析的起点，例如动力学分析、谐响应分析和谱分析，其中模态分析也是进行谱分析或模态叠加法谐分析或瞬态动力学分析所必需的前期分析过程[18]。齿轮传动是最重要的机械传动形式，在内部激励和外部激励作用下有可能发生机械振动，使整个系统发生严重破坏，无法估量的经济损失。为了避免这种情况发生，有必要对整个齿轮传动系统进行模态分析，求出固有频率和主振型。在进行结构设计时，使激振力的频率与系统的固有频率错开，可以有效的避免共振的发生。目前，进行模态分析最行之有效方法是有限元法，就是利用有限元法在有限元分析软件ANSYS中对齿轮副进行了模态分析。

在变速箱齿轮传动中有时齿轮的转速很高，这时就有必要对变速箱齿轮传动进行模态分析了。由于我们关心的是齿轮的固有振动频率，尽量防止出现齿轮的转速与其固有频率相同的状况。因为一旦外载荷与结构固有频率相同，必然发生共振，造成结构屈服。 5.2 齿轮的固有振动分析

齿轮副在啮合过程中，因为受到周期性冲击载荷的作用，产生振动的高频分量就是齿轮的固有振动频率。齿轮传动副的固有振动频率一般是指齿轮系统扭转振动的固有频率，齿轮系统的扭振主要是由轴的扭振和轮齿的弹性扭振组成。影响齿轮副固有频率的因素很多，如轮齿的刚度大小、齿轮副的大小、轴的刚度大小、润滑油膜厚度及各种阻尼等等[19]。近似可由下式计算：

f0?12?k （5-1） m式中，m 和k分别为齿轮的等效质量和刚度系数，其大小可以查阅相关手册或者根据经验而定。

齿轮振动固有频率范围一般为1KHZ~10 KHZ[20]，为了避免齿轮啮合时发生共振现象，必须精确地测出齿轮的固有振动频率，同时也为齿轮系统的故障诊断提供了一个重要参数。

5.3 模态分析理论基础

由弹性力学有限元法，可得齿轮系统的运动微分方程【21】为：

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齿轮模态的有限元分析

??}?[C]{X?}?[K]{X}?{F?t?} （5-2） [M]{X

式中，[M]，[C]，[K]分别为为齿轮质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；

??? {X} ，{X}，{X}分别为齿轮振动加速度向量、速度向量和位移向量，{X}?{x1,x2,...,xn}T；

{F?t?}为结构所受的激振力向量，{F?t?}?{f1,f2,...,fn}T。

将分析对象离散为有限个三维实体单元,分别求出每个单元的刚度矩阵[22]为：

[Kij]?[Bi][D][Bj]dv （5-3）

ve?T式中：

[D]——弹性矩阵

[Bi]，[Bj]——应力、应变关系矩阵

每个单元的质量矩阵为：

[Mij]??[Ni][Nj]dv （5-4）

ve?T式中：

[Ni]，

[Nj]——形函数矩阵

?——单元质量密度

和单元质量矩阵后,按照单元节点自由度与总

e[Kij][Mij]e体节点自由度的一一对应关系,将单元刚度矩阵和单元质量矩组集成结构的总体刚度矩阵[K]和总质量矩阵[M],如果节点上有附加质量块,则将它叠加到总体质量矩阵[M]所对应的节点自由度位置上,根据边界条件对总体刚度矩阵[K]和总质量矩阵[M]进行降阶,即得到给定边界条件下的总体刚度矩阵[K]和总质量矩阵[M]。在模态分析过程中,没有激振力的作用,取{F(t)=0},得到系统的自由振动方程。在求齿轮自由振动的频率和振型即求齿轮的固有频率和固有振型时，阻尼对它们影响不大，因此，阻尼项也可以略去，得到无阻尼自由振动的运动方程为：

???X} [M]{K[]X{?} 0 （5-5）

形成单元的单元刚度矩阵

[Kij]e[Mij]e其对应的特征值方程为：

([K]??i[M]){A}?0 （5-6）

2(i) - 23 -

基于ANSYS的齿轮模态分析

式中：?i为第i阶模态的固有频率,i=1,2…n；

(i){A}为与第i阶固有频率对应的主振型。

这时的振动系统一般存在着n个固有频率和n个主振型，每一对频率和振型代表一个单自由度系统的自由振动，这种在自由振动时结构所具有的基本振动特性称为结构的模态。多自由度系统的自由振动可以分解为n个单自由度的简谐振动的叠加，或者说系统的自由振动是n个固有模态振动的线性组合。这就意味着多自由度系统一般说来不是作某一固有频率的自由振动，而是作多个固有频率的简谐振动的合成振动[23]。 5.4 模态分析简介 5.4.1模态提取方法

无阻尼模态分析求解的基本方程是经典的特征值问题，有许多数值方法可用于求解上面的方程。ANSYS提供了7种模态提取方法：Block Lanczos(分块兰索斯法)、Subspace(子空间法)、Power Dynamics(动力源法)、Reduced(缩减法)、Unsymmetric(非对称法)、Damped(阻尼法)和QR Damped(QR阻尼法)[24]。采用何种模态提取方法主要取决于模型的大小(相对于计算机能力而言)和具体的应用场合。其中，前四种方法是最常用的模态提取方法。表5-1比较了这四种模态提取方法，并分别对各方法做了简要描述。

表5-1模态提取方法比较

模态提取方法 适用范围

Block 用于提取大模型的多阶模态(40阶以上)

Lanczos 建议在模型中包含形状较差的实体和壳单元时采用此法

最适合于由壳或壳与实体组成的模型 可以很好地处理刚体振型

速度快，但要求比子空间法内存多50%

Subspace 用于提取大模型的少数阶模态(40阶以下)

适合于较好的实体及壳单元组成的模型 在具有刚体振型时可能会出现收敛问题 可用内存有限时该法运行良好

建议在具有约束方程时不要用此方法

Power 用于提取大模型的少数阶模态(20阶以下)

Dynamics 适合于100K以上自由度模型的特征值快速求解

对于网格较粗的模型只能得到频率近似值 复频情况时可能遗漏模态

Reduced 用于提取小到中等模型(小于10K自由度)的所有模态

选取合适主自由度时可获取大模型的少数阶(40阶以下)模态，此时频率计算的精度取决于主自由度的选取。

内存要求 中 存贮要求 低

低 高

高 低

低 低

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齿轮模态的有限元分析

5.4.2模态分析的步骤

模态分析过程主要由四个步骤组成：建模、网格划分、加载及求解、扩展模态、查看结果和后处理。

(1)建模

建立有限元模型需要完成下列工作：首先指定工作名和分析标题，然后在前处理器(PREP7)中定义单元类型、单元实常数、材料性质以及几何模型，其中几何模型可以在ANSYS中直接建立也可以在其他CAD软件中生成后再导入ANSYS中。在模态分析中

只有线性行为是有效的，如果指定了非线性单元，它们将被当作是线性的。例如，如果模态分析中包含接触单元，那么系统取其初始状态的刚度值并且此刚度值不再改变。材料性质可以是线性的，各向同性的或正交各向异性的，恒定的或和温度相关的。在模态分析中必须指定弹性模量EX(或某种形式的刚度)和密度DENS(或某种形式的质量)，而非线性特性将被忽略。

(2)网格划分

网格划分是建模中非常重要的一个环节，它将几何模型转化为由节点和单元构成的有限元模型。网格划分的好坏将直接影响到计算结果的准确性和计算速度，甚至会因为网格划分不合理而导致计算不收敛。

(3)加载和求解

主要完成下列工作：首先定义分析类型、指定分析设置、定义载荷和边界条件、指定加载过程设置，然后进行模态的有限元求解。在模态分析中，要施加必需的位移约束来模拟实际的固定情况，在没有施加位移约束的方向上将计算刚体振型而且不允许施加非零位移约束。因为振动被假定为自由振动，所以忽略外部载荷。然而，ANSYS程序形成的载荷向量可以在随后的模态叠加分析中使用。

(4)扩展模态和模态扩展求解

对于缩减法而言，扩展模态意味着从缩减振型计算出全部振型；对于其它方法而言，扩展模态意味着将振型写入到结果文件中。总之，如果想在后处理器中观察振型，或者计算单元应力，或者进行后续的频谱分析都必须进行模态扩展。

(5) 查看结果和后处理

模态分析的结果被写入到结构分析结果文件jobname.rst中，可以在通用后处理器(/POST1)中观察模态分析的结果。 5.5 齿轮的模态分析

5.5.1 将Pro/E 模型导入ANSYS 软件中

启动PRO/E，打开gear1.rpt，.将文件保存IGES格式文件副本； 5.5.2 定义单元属性和网格划分

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基于ANSYS的齿轮模态分析

选用六面体八节点单元solid45进行网格 划分。其力学特性为弹性模量E=206GPa ， 泊松比υ= 0.28，密度ρ=7.8×103kg/。

利用Meshtool 自由划分，并利用网格划 分控制对局部网格尺寸进行控制。对总体单元 大小和面单元大小的长度设置为3，网格划分

结果见图5-1和图5-2所示。 图5-1 网格划分

图5-2 列表显示节点数和单元数

5.5.3 加载及求解

模态分析中唯一有效的“载荷”是零位移约束，如果在某个自由度处指定了一个非零位移约束，程序将以零位移约束替代在该自由度处的设置[25]。为了正确的施加位移约束，将节点坐标系旋转到柱坐标系下，则X、Y、Z分别代表R(径向)、θ(周向)、Z(轴向)。对齿轮内圈表面上的其中一个节点施加所有位移约束，加载结果如图5-3所示。

1ELEMENTSJUN 4 201117:14:58ZYXMODAL ANSYS OF A GEAR 图5-3 加载结果

进入求解器，设定分析类型为模态分析，采用Block Lanczos法提取10阶模态。不考虑预应力的影响，采用稀疏矩阵求解器求解。查看求解选项确认无误后进行求解。 5.5.4扩展模态和模态扩展求解

为了在通用后处理器(POST1)中观察振型，使用MXPAND命令应该进行模态扩展，扩

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