九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲数学建模(含答案)

趣题引路】 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元。因为在生产过程中，平均每生产 一件产品有0.5m ）污水排出，为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理.方案1：工厂污水先净化 处理后再排出：每处理Inf 污水所有原材料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工 厂将污水排到污水厂统一处理，每处理lnr ：污水需付14元排污费.

问题：（1）设工厂每月生产x 件产品，每月利润为y 元，分别求岀依方案1和方案2处理污水时y 与x 的函数关系式：（2）设工厂每月生产量为6000件产品时，你若作为厂长在不污染环境，又节约资金的前 提下，应选用哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明.

解析（1）设选用方案1，每月利润为屮，元，选用方案2,每月利润为户，元，贝叽

yi=（5O-25） X -2X 0.5A -30000=24.1-30000,），2=（50~25） A -14x0.5.x-1 8A .

故 yj=24A —30000, >'2= 18x ：

（2）当 *6000 时，yi=24x6000-30000= 114000 （元），力=1 8A -= 18x6000= 108000 （元）

答：我若作为厂长，应选方案1.

点评本例是生产经营决策问题，英难点在于建立相应的数学模型，构建函数关系式，然后，通过问题 中所给的条件判断，若不能判断，就要进行分类讨论.

知识延伸】

例 某工厂有14m 长的旧墙一面，现在准备利用这而旧墙，建造平面图形为矩形，而积为126m?的厂 房，工程条件为：①建lm 新墙的费用为“元：②修lm 旧墙的费用为￡元；③拆去Im 旧墙，用所得材料 4 建适lm 新墙的费用为￡元，经过讨论有两种方案：（I ）利用旧墙的一段兀m （A <14）为矩形厂房一面的边 2 长：（1【）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x （x>14）.问：如何利用旧墙，即x 为多少米时，建墙费用最省？ （I ）（II ）两种方案哪个更好？

解析 设利用旧墙的一面矩形边长为xm,则矩形的另一边长为竺m ? x

（I ）利用旧墙的一段xm （x<14）为矩形一而边长，则修旧墙费用为元.将剩余的旧墙拆得材料建新 4

墙的费用为（14小￡号元，其余建新墙的费用为（"+艺竺"4）?“元. 2 x

故总费用为 y = 巴 + —_ + （2x + 兰？ — 14 \^a = 7a\ 丄 4- —— 1）?（0

第二十讲 数学〕

??.注7卡护弓一 1 =35^7.当且仅当中=弓，即T2m 时，ymin=35“（元）：

（II ）若利用旧墙的一而矩形边长 总14,则修旧墙的费用为元，建新墙的费用为 4 2

（2r+ —-14）"元

x

故总费用为 y = f a+ （ + 一 14 = fa + 列 — 7 j （A >14）

设 14 则 Xl-X2<0t X1A*2>196|

???函数y=x+ —-14在区间（14,址）上为增函数.

x

故当入=14 时，y min = Z a+2a （\4+ — -7）=35.5t/>35r/

2 14

综上讨论可知，采用第（I ）方案，建墙总费用最省，为35“元.

点评解答选择方案应用题同处理其他应用题一样，重点要过好三关（1）事理关：读懂题意，知逍讲 的是什么事情，要比较的对象是什么：（2）文理关：把实际问题文字语言转化为数学的符号语言，然后用 数学式子表达数学关系式；（3）数理关：在构建数学模型的过程中，要对数学知识有检索的能力，认左或 构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化.

好题妙解】

佳题新题品味

例任一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出他们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资为1500 元，以后每月工资比上一年工资增加230元：B 公司允诺第一个月工资为2000元，以后每月工资在上一年 月工资基础上递增5%,设某人年初被A 、B 两家公司同时录取、试问：

（1） 若该人打算在A 公司或B 公司连续工作“年，则他第“年的月工资收入各为多少？

（2） 如该人打算连续在一家公司工作10年，仅以工资收入来看，该人去哪家公司较合算？

解析⑴ 此人在儿B 公司第料年的月工资数分别为 ^1500+230（^1）, ^=2000（l+5%r *t 其中兀为 正整数； （2）若该人在A 公司连续工作10年,则他的工资收入总量为12（ai+a 2+……+aio ）=3O42OO （元）.若该 人在B 公司连续工作10年,则他的工资收入总量为12（析+6+……+^1<）） =301869 （元）故该人应选择在A 公司工作.

点评最佳方案的选择问题充分体现了数学在生活中的无穷乐趣，同时也从数学角度诠释了“知识就是 力量"，“知识就是财富''的道理.

126 126

126 A. +——

中考真题欣赏

例(长沙市)某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x 元 与日销售量y 之间有如下关系：

(1)在所给的直角坐标系(图1)中：

① 根据提供的数据描出实数对(x, >■)对应点：

② 猎测并确左日销售量y 件与日销售单价尤元之间的函数关系式，并画出图象.

(2)设经营此商品的日销售利润为"元，根拯日销售规律：

① 试求出日销售利润"元与日销售单价*元之间的函数关系式，并求出日销售单价x 为多少元时，才能 获得最大日销售利润？试问：日销售利润“是否存在最小值？若有，试求岀，若无，试说明理由；

② 在给左的直角坐标系中，画出日销售利润"元与日销售单价x 元之间的函数图象，观察图象，写出x 与P 的取值范围.

解析(1)①准确描出四点位宜： ②猜测它是一次函数

y=k.x+b,

由两点(3, 18), (5, 14)代人上式求得k=-2, b=24,则有尸-2r+24. (9, 6), (11, 2)代人同样满 足，???所求函数关系式为尸-2x+24.由实际意义知，所求函数关系式为：尸-2x+24(g<12)和尸0(.°12).

(2)(X)p=xy'~2y t 即 p=y(x~2)=( 24~2x)(x~2) =-2V 2+28A —48=-2(x-7)2+50.

当x=7时，日销售利润取最大值50元.

当x>12时，此时无人购买，故此时利润p=0 (A >12).

由实际意义知，当销售价.=0即亏完本卖出，此时利润尸-48,即为最小值；

②据实际意义有：0$<2时，亏本卖出.

当x=2或*12时，利润尸0.当Q12时，即髙价卖出，无人购买，尸0?故作出图象，(图2)由图象知， x>0, 一48祜50.

()

竞赛样题展示

例（1998年“粗冲之杯“初中数学邀请赛）某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天

可卖出60个，商店经理在市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售就减少5个：若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销售疑就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应泄为多少元？

解析设商品每个售价x元，每日利润为y元，则当.018时，y=[60-5（x-18）]（x-10）=-5（x-20）2+500.

即在商品提价时，提到20元时，片讥=500元：

当x<18 时，y=[60 + 10（18-x）]（x-10）= -10（x-17）2+490.

即在商品降价时，降到17元时，=490元.

综上可得，此商品售价定为20元时，才能获得每日最大利润.

点评：本题首先应搞淸题目的意思，设未知数，转化为函数问题，因为售价的上升或下降，利润的情况是不一样的，故应分情况讨论.

过关检测】

A级

1. 某移动通讯公司开设了两种通讯业务，“全球通"：使用者先缴50元月租费，然后每通话lmin,再付话费0.4元：“快捷通"：不缴月租费，每通话lmin,付话费0.6元（本题通话均指市内通话）.若一个月内通话A-min,两种方式的费用分别为开元和儿元.

（1）写出儿，儿与*之间的函数关系式：

（2）—个月内通话多少分钟，两种通讯费用相同？

（3）某人估让一个月内通话300 min,应选择哪种移动通讯合算些？

2. 某旅行社有客房120间，每间房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提髙租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则客房每天岀租会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房将日租金提髙到多少元时，客房日租金的总收入最髙？比装修前日租金总收入增加多少元？

3. 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了64%,使得利润增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是多少？

1.某环形道路上顺时针排列着4所中学：A,, A2, A一A4,它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台?为使各校的彩电数相同，允许一些中学向相邻中学调出彩电.问怎样调配才能使调出的彩电台数最少?并求调岀彩电的

最少总台数.

2.某家电生产企业根据市场调查分析，决泄调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器，

彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:

问：每周应生产空调器、彩电、冰箱齐多少台，才能使产值最髙，最髙产值是多少?

第二十讲数学建模

A 级

i. (1 )的=0. 4?

=0.6*； (2) 令 y } =y 2t 0.4x+50=0. 6x 9 则兀=250 ； 故每一个月内通话250 min ■通讯费用相同. (3) 全球通合其些.

2-设每间房的日租金提商兔个5元，日租金总收人为八则

"(50+5兀)(120-6幻即厂-30(?-5)2+6 750

当％ =5 时Mg =6 750.

???日租金总收入多6 750 -120 x 50 =f750 ( 55).电

3.17%?

… B 级 1-设出中学调给仏彩电衍台(若衍V0,则认为是令向右调出1列1台)9A 2中学调给令彩电也台片 调给人巧台凡调给右叫台?因为共有40台彩电■平均每我10台，因此」5 -衍+x 4 =10,8-X 2 +x t =10,5 -巧 + *2 =10,12 4 *3 = 10,得 1

% =?1 _5,宠1 =%2 +29X 2 =%3 +5t %3 =x 4 _2，鴛3 =(X, -5) _2=兀］-7,x 2 =(^ -7) +5 -2. 本题即求/= +1靭1 +1巧I + I 珂I =lx,l + lx, -21 + lx, -71 + % -51的最小值,其中衍是满足 -8W 衍W15的整数设衍二?并考虑定义在-8JW15上的函数:+lx-2l +lx-7l + lx-5l t 当 2WX5时』取最小值10,即当御=2,3,4,5时“丨+ I 衍?21*丄￡二7卜-51取到最小值10.

从而调岀彩电的最少台数为10,调配方秦有如下4种： ? ‘\二

图

39

2.设3

??? x

工时总数=y? + yr+ -^-? = ^(6x+4y +3“

= ^-(* + r + z) +^(3x +y) syx360+^(3x +y)

3唸(珀刃

总产值数4 =4^+3/+2? = 2(x+y + z) +(2x+y)

= 2x360 + (2x+y) =720 + (2x+y)

尢*yW300,

由90十吉(3z + y) =120, ,=>J = 1 080-x^l 050.

X=72G + (2x; + r) =720 + (3x+y)-r.

当总产值彳取到最大值1 050时，

x = 3O f y =270 f z = 60 ?

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/l8nq.html