§3.3 二次函数

§3.3 二次函数

A组 2015年全国中考题组

一、选择题

1．(2015·山东泰安，19，3分)某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c图象时，列出了下面的表格：

x y … … －2 －11 －1 －2 0 1 1 －2 2 －5 … … ( )

由于粗心，他算错了一个y值，则这个错误的数值是 A．－11

B．－2

C．1

D．－5

解析 由表格知二次函数的对称轴为x＝0，且过点(0，1)，(1，－2)，∴b?－2a＝0，

?a＝－3，?

解得?b＝0，∴二次函数解析式为y＝－3x2＋1.当x＝2时，?c＝1，

??a＋b＋c＝－2.?c＝1.y＝－3×22＋1＝－11，故选D. 答案 D

2．(2015·四川巴中，10，3分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：①abc<0 ②2a＋b＝0 ③a－b＋c>0 ④4a－2b＋c<0其中正确的是 A．①②

B．只有①

( ) C．③④

D．①④

b

解析 由图象可知：a>0，b>0，c<0所以abc<0；故①正确；对称轴－2a＝－1，可得b＝2a，故②错误；当x＝－1时，a－b＋c<0，故③错误；当x＝－2时，4a－2b＋c<0，故④正确． 答案 D

3．(2015·四川泸州，9，3分)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为x＝－1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是( )

A．x<－4或x>2 C．x≤－4或x≥2

B．－4≤x≤2 D．－4

解析 ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为x＝－1，

∴二次函数的图象与x轴另一个交点为(－4，0)． ∵a<0，∴抛物线开口向下，

则使函数值y＞0成立的x的取值范围是－4＜x＜2. 答案 D

4．(2015·浙江宁波，11，4分)二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2

B．－1

C．2

D．－2

解析 由题目画出图象，由图象观察，图象一定经过(2，0)和(6，0)两个点，把其中一个点的坐标代入得：a＝1，故A正确． 答案 A

5．(2015·浙江温州，9，4分)如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是 3

A．y＝2x2 C．y＝23x2

( ) B．y＝3x2 D．y＝33x2

3

解析 ∵OC＝x，∴DE＝2x，∴△DEF的面积为3x2，菱形的面积为△DEF的2倍，∴y＝3x2，故B正确． 答案 B

6．(2015·贵州遵义，6，3分)已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是

( )

解析 根据a的符号可排除A、C，(这两项a的符号相反)；B项，二次函数a<0，b>0，而一次函数a<0，b<0；故错误；D项正确． 答案 D 二、填空题

7．(2015·浙江温州，15，5分)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.

解析 设垂直于墙的一边为x m，则另一边为(30－3x)m2，面积为y，则y＝x(30－3x)＝－3x2＋30x，算出最大值为75 m2. 答案 75

8．(2015·浙江舟山，12，4分)把二次函数y＝x2－12x化为形如y＝a(x－h)2＋k的形式：________．

解析 用配方法可得y＝(x－6)2－36. 答案 y＝(x－6)2－36

9．(2015·山东日照，15，3分)如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：

①2a＋b＝0；②abc>0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个

相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1

b

解析 ∵抛物线的顶点坐标A(1，3)，∴抛物线的对称轴为直线x＝－2a＝1，∴2a＋b＝0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b＝－2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A(1，3)，∴x＝1时，二次函数有最大值，∴方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为(4，0)而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为(－2，0)，所以④错误；∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝mx＋n(m≠0)交于A(1，3)，B(4，0)，∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确． 答案 ①③⑤ 三、解答题

10．(2015·浙江杭州，20，10分)设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．

(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；

(2)根据图象，写出你发现的一条结论； (3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．

解 (1)当k＝0时，y＝－(x－1)(x＋3)，所画函数图象如图；

(2)①图象都经过点(1，0)和点(－1，4)； ②图象总交x轴于点(1，0)；

③k取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称；

④函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)]的图象都经过点(1，0)和(－1，4)；等等．

(其他正确结论也行)

(3)平移后的函数y3的表达式为：y3＝(x＋3)2－2， 所以当x＝－3时，函数y3的最小值等于－2.

11．(2015·浙江舟山，23，10分)某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系?54x（0≤x≤5），式： y＝?

?30x＋120（5

(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值，若要使第(m＋1)天的利润比第m天的利润至少多48元，则第(m＋1)天每只粽子至少应提价几元？ 解 (1)设第n天生产了420只粽子． 由题意可知：30n＋120＝420，解得n＝10. 答：第10天生产了420只粽子． (2)由图象得：当0≤x≤9时，p＝4.1；

?4.1＝9k＋b，当9≤x≤15时，设p＝kx＋b，把点(9，4.1)，(15，4.7)代入上式，得?

?4.7＝15k＋b，?k＝0.1，解得?

?b＝3.2.∴p＝0.1x＋3.2，

①0≤x≤5时，ω＝(6－4.1)×54x＝102.6x，当x＝5时，ω最大＝513(元)； ②5

③9≤x≤15时，ω＝(6－0.1x－3.2)×(30x＋120)＝－3x2＋72x＋336.

b

∵a＝－3<0，∴当x＝－2a＝12时，ω最大＝768(元)．综上，当x＝12时，ω有最大值，ω最大＝768元．

(3)由(2)小题可知m＝12，m＋1＝13.

设第13天提价a元，由题意得：ω13＝(6＋a－p)(30x＋120)＝510(a＋1.5)．∴510(a＋1.5)－768≥48，∴a≥0.1， 答：第13天应至少提价0.1元．

12．★(2015·山东青岛，22，10分)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y1

＝－6x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB

17

的水平距离为3 m，到地面OA的距离为2 m.

(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？

(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

17??

3，?解 (1)由题意得点B的坐标为(0，4)，点C的坐标为，∴2???

12

4＝－×0＋b×0＋c，??6?b＝2，

解得? ?1712

c＝4，?

＝－×3＋b×3＋c，??261

∴该抛物线的函数关系式为y＝－6x2＋2x＋4. 11

∵y＝－6x2＋2x＋4＝－6(x－6)2＋10， ∴拱顶D到地面OA的距离为10 m.

1122

(2)当x＝6＋4＝10时，y＝－6x2＋2x＋4＝－6×102＋2×10＋4＝3>6，∴这辆货车能安全通过．

1

(3)当y＝8时，－6x2＋2x＋4＝8，

即x2－12x＋24＝0，∴x1＋x2＝12，x1x2＝24，

∴两排灯的水平距离的最小值是：

|x1－x2|＝（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2

＝122－4×24＝144－96＝43(m)．

B组 2014～2011年全国中考题组

一、选择题

1．(2013·浙江义乌，10，3分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，2)、(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①当x＞3时，2y＜0；②3a＋b＞0；③－1≤a≤－3；④3≤n≤4

中，正确的是( ) A．①②

B．③④

C．①④

D．①③

解析 ∵A(－1，0)在抛物线上，∴a－b＋c＝0.∵顶点坐标为(1，n)，∴b＝－2a，抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(3，0)．∵开口方向向下，∴a＜0.∴x＞3时，y＜0，故①正确；∵b＝－2a，∴b＋2a＝0，∴b＋3a＝a＜0，②错误；∵a－b＋c＝0，b＝－2a，∴c＝－3a.∵抛物线与y轴的交点在(0，2)、(0，3)2

之间(包含端点)，∴2≤c≤3，∴2≤－3a≤3，∴－1≤a≤－3，③正确；∵an

＋b＋c＝n，b＝－2a，∴a－c＝－n，∵c＝－3a，∴n＝－4a，∴－1≤－4≤28

－3，∴3≤n≤4，④错误，故选D. 答案 D

1

2．(2013·浙江杭州，10，3分)给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝x的图象 1

①如果a＞a＞a2，那么0＜a＜1；

1

②如果a2＞a＞a，那么a＞1；

1

③如果a＞a2＞a，那么－1＜a＜0；

1

④如果a2＞a＞a时，那么a＜－1.则

( )

A．正确的命题是①④ C．正确的命题是①②

B．错误的命题是②③④ D．错误的命题只有③

1??y＝，?x解析 如图分析：联立组成方程组可得：??y＝x，解得x＝1或x＝－1，所以交点坐标为(1，1)和(－1

1，－1)，由图得①描述正确．②如果a2＞a＞a，则根据图象可得a＞1或－1＜a＜0，所以②描述1

错误．③如果a＞a2＞a，则根据图象没有这样的a存在，所以③描述错误．④描述正确． 答案 A

3．(2014·浙江金华，9，3分)如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是

( )

A．－1≤x≤3 C．x≥1

B．x≤－1 D．x≤－1或x≥3

解析 当y＝1时，－x2＋2x＋4＝1，解得x1＝－1，x＝3，结合二次函数的图象知y≤1成立的x的取值范围是x≤－1或x≥3，故选D. 答案 D

4．(2014·浙江嘉兴，10，4分)当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为 7A．－4

B.3或－3

( )

C．2或－3

7

D．2或－3或－4 解析 对于y＝－(x－m)2＋m2＋1，∵a＝－1＜0，∴抛物线的开口向下，对称轴为x＝m，顶点坐标(m，m2＋1)．当－2≤m≤1时，最大值m2＋1＝4，解得m1＝3(不合题意，舍去)，m2＝－3.当m＜－2时，可知x＝－2时有最7

大值，即－(－2－m)2＋m2＋1＝4，解得m＝－4(不合题意，舍去)．当m＞1时，可知x＝1时有最大值，即－(1－m)2＋m2＋1＝4，解得m＝2.综上可知，m的值为2或－3.故选C. 答案 C 二、填空题

5．(2013·浙江衢州，15，4分)某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树，橘子总个数最多．

解析 根据题意得，y＝(600－5x)(100＋x)，化为一般形式为y＝－5x2＋100xb100＋60 000，－2a＝－＝10，当多种10棵树时，橘子总个数最多．故

2×（－5）填10. 答案 10

6．★(2013·山西，18，3分)如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________ m.

解析 以C为原点，过点C平行于AB的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，以1 m为一个单位长度，可得A，B的坐标分别为

(－18，－9)，(18，－9)，C的坐标为(0，0)，点D，E的纵坐标为－16.设抛物线的解析式为y＝ax2，把(18，－9)代入y＝ax2，得－9＝324a，解得a＝ 111

－36，∴抛物线的解析式为y＝－36x2.把y＝－16代入y＝－36x2，得－16＝1

－36x2，解得x＝±24，即D(－24，－16)，E(24，－16)，∴DE＝48(m)． 答案 48

7．(2014·浙江绍兴，13，5分)如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线．以水平方向为x轴，建立平面1

直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－9(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是________________．

1

解析 由y＝－9(x－6)2＋4可知顶点坐标为(6，4)，又因为AB为12 m，则以点B为坐标原点时，抛物线的形状、大小不变，但顶点坐标变为(－6，4)，所1

以抛物线的解析式为y＝－9(x＋6)2＋4. 1

答案 y＝－9(x＋6)2＋4 三、解答题

8．(2014·浙江宁波，23，10分)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点． (1)求二次函数的解析式；

(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；

(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．

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