现代控制理论_第三章_线性系统的能控性与能观性

第三章 线性系统的能控性和能观测性3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 线性系统能控性和能观测性的概念 线性定常连续系统的能控性 线性离散系统的能控性 线性定常系统的输出能控性 线性定常连续系统的能观测性 线性定常离散系统的能观测性 对偶原理 能控性和能观测性与传递函数的关系 线性定常系统结构分解 最小实现

教学要求： 1.正确理解定常和离散系统可控性与可观测 性的基本概念与判据。 2.熟练掌握能控标准型与能观测标准型。 3.掌握对偶原理，规范分解方法。 4.理解传递函数的实现问题， 重点内容： 能控、能观测的含义和定义。 定常系统的能控、能观测的各种判据。 线性变换的不变性。 实现与最小实现的特点和性质。2

3.1

线性系统能(可)控性和能(可)观测性的概念 研究系统的目的:更好地了解系统和控制系统。 含义1: 控制作用: 对状态变量的支配 能控性。 系统输出能否反映状态变量 能观测性。 含义2: 能控性:能否找到使任意初态 确定终态。 能观测性:能否由输出量的测量值 反映各状 态。

多变系统两个基本问题: ① 在有限时间内,控制作用能否使系统从初始 状态转移到要求的状态? ② 在有限时间内,能否通过系统输出的测量估 计系统的初始状态? 简单地说:

如果系统的每一个状态变量的运动都可 由输入来影响和控制,而由任意的始点达到终 点,则系统能控(状态能控) 。 如果系统的所有状态变量的任意形式的 运动均可由输出完全反映,则称系统是状态能 观测的。

例1: 给定系统的状态空间描述: 1 4 0 x1 1 x u x 2 0 5 x2 2 y 0 6 x

解:展开

1 4 x1 u x

2 5x2 2u x

y 6 x2 表明:状态变量 x1, x2 都可通过选择 输入u而由始点 终点完全能控。 输出y只能反映状态变量x2 ,所以 x1 不能观测。6

例2:取 i L和 uc作为状态变量,u—输入, y= uc --输出。 L (1)当 R1R4 R2 R3 + u -

iL

R1

R2

R3

uc

状态可控，可观测 R1R4 R2 R3 uc 0 (2) 当 R4 u只能控制 i L, 不可控，不可观测。

例4.0.1xc

x2

x cx1

0

x1 x2

u 控制

x1 ( t ) x2 ( t ) 任意值

x x ( t ) x ( t ) x 1 2 c2014年6月6日

hh 8

桥形电路 (a) 两个电容相等。选各自的电压为状态变量，且设电容上的初始电压为零，根据电 路理论，则两个状态分量恒相等。相平面图 (b) 中相轨迹为一条直线，因此系统状态只能在相平 面的一条直线上移动，不论电源电压如何变动，

都不能使系统的状态变量离开这条直线 , 显然，它是不完全能控的。

2014年6月6日

hh

含义： 能控性：u(t) x(t) 状态方程 能观测性：y(t) x(t) 状态方程、输出方程

3.2

线性定常连续系统的能(可)控性

1. 定义

Ax Bu 设 x 若存在一分段连续控制向量u(t),能 在 [t0 , t f ]内将系统从任意状态x(t0 )转移到 任意终态 x(t f ) ,则该系统完全能控。

说明： ① 任意初态 x(t0 ) x (状态空间中任 一点),零终态 x(t f ) =0 能控 ② 零初态 x(t0 ) 0 能达 任意终态 x(t f ) x

2. 定理1 设

x Ax Bu

( x R n , u R p , A R n n )

状态完全可控的充要条件是能控性矩阵： A B 的秩为 n n 1 即： rankSc rank B AB A B n n 1

Sc B AB

(n为系统维数)13

定理1(秩判据 )证明：

x(0) x1 (0) x2 (0) xn (0) T

x(t f ) 0求u(t )x(t f ) eA( t f t0 )

t f A(t f ) x(t0 ) e Bu( )d t014

假设 t0 0, x(t f ) 0t f A 则 x(0) e Bu( )d n 1 0 A m 由Hamilton定理推论 e am ( ) A

t f n 1 m x(0) am ( ) A Bu( )d 0 m 0 tf m A B a ( )u ( )d m 0 0 n 1 m

m 0

u1 u 2 u u p 15

tf 令 um am ( )u ( )d 0 tf 0 am ( )u1 ( )d um1 u t f m 2 a ( ) u ( ) d 2 um 0 m u t mp f a ( ) u ( ) d m p 0 16

x(0) A b1 b2m m 0

n 1

um1 u SC m 2 ump

u m1 u m2 bp u mp

已知x(0),求u(t )的充要条件是 rankSC n17

[例] 试判断下列系统的状态可控性。 (1) 2 2 1 0 x 0 2 0 x 0 u 1 4 0 1 1 1 0 0 x 1 u x 0 1 0 0 1 1 0

(2)

解： (1)Sc B

AB

0 A2 B 0 1

1 0 0

2 0 1

rankSc 2 n 3

该系统不可控。

0 1 2 Sc B AB A2 B 1 1 1 0 1 2

(2)

rankSc 2 n 3

该系统不可控。19

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